《正方形的性质与判定》第1课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊的平行四边形第4课正方形的性质与判定新版北师大数学九年级上册数学第1课时正方形的性质学习目标1.通过对比正方形与矩形、菱形的定义与性质,经历猜想、证明正方形独有性质的过程,掌握正方形的特殊性质,能精准运用性质解决几何问题.2.通过对课本例1的深度拆解与一题多变拓展探究,掌握正方形中线段数量与位置关系的通用解题方法,提升与逆向思维能力.3.通过探究课本“尝试・交流”问题,深化对正方形与其他四边形从属关系的理解,建立“从一般到特殊”的几何研究思维,在解决现实问题的过程中,体会数学与生活的紧密联系,增强数学应用意识,涵养家国情怀与集体荣誉感.情境启航问题构建协作破冰教师示范巩固拓展当堂检测反思总结作业设计目录情境启航问题1同学们,学校要制作一批正方形的社会主义核心价值观宣传展板,生活中我们随处可见正方形的应用,你能举出哪些例子？正方形相比长方形、菱形,给你最直观的特殊感受是什么？七巧板、地砖、桌面、魔方等;正方形不仅方正规整,同时兼具了长方形的直角特征和菱形的等边特征,比两者更特殊.问题构建问题2回顾旧知,我们已经学过平行四边形、矩形、菱形的定义与核心性质,请你完成下表的对比,明确矩形、菱形分别是平行四边形在哪方面的特殊化？图形边的核心性质角的核心性质对角线的核心性质平行四边形矩形菱形对边平行且相等对角相等互相平分对边平行且相等四个角都是直角相等且互相平分四条边都相等，对边平行对角相等互相垂直平分，平分内角矩形是平行四边形角的特殊化,菱形是平行四边形边的特殊化问题构建问题3结合宣传展板的制作需求,你认为正方形是平行四边形经过怎样的特殊化得到的？它和矩形、菱形有什么从属关系？正方形既是有一组邻边相等的矩形（边的特殊化），也是有一个角是直角的菱形（角的特殊化）；因此正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是最特殊的平行四边形平行四边形菱形矩形正方形问题构建问题4结合正方形与矩形、菱形的从属关系,请你尝试提炼:正方形相比矩形,有哪些独有的性质？相比菱形,又有哪些独有的性质？对比矩形（共有性质:四个角为直角、对边相等、对角线相等且平分）,正方形的独有性质:四条边都相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角；对比菱形（共有性质：四条边相等、对边平行、对角线互相垂直平分、平分内角）正方形的独有性质:四个角都是直角、对角线相等问题构建定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等定理2:正方形的对角线相等且互相垂直平分定理1证明:∵正方形是有一组邻边相等的矩形,矩形的四个角都是直角、对边相等∴正方形四个角为直角,且邻边相等+对边相等→四条边全部相等同时,正方形是有一个角为直角的菱形,菱形四条边相等∴正方形四条边相等,且一个直角可推导出四个角均为直角定理2证明:∵正方形是特殊的矩形,矩形对角线相等且互相平分;正方形是特殊的菱形,菱形对角线互相垂直且平分∴正方形的对角线同时具备两者的核心特征,即相等且互相垂直平分问题构建问题6回到我们的思政宣传展板场景,如图,在正方形宣传展板ABCD中,E为CD边上的加固点,F为BC延长线上的固定点,且CE=CF,我们要在BE、DF的位置安装金属支架,请问这两个支架的长度有什么关系？位置有什么关系？请你用本节课所学的正方形独有性质说明理由.解（1）BE=DF∵四边形ABCD是正方形∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形四条边相等，四个角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°，∴∠BCE=∠DCF又∵CE=CF∴△BCE≌△DCF（SAS）∴BE=DF问题构建问题6回到我们的思政宣传展板场景,如图,在正方形宣传展板ABCD中,E为CD边上的加固点,F为BC延长线上的固定点,且CE=CF,我们要在BE、DF的位置安装金属支架,请问这两个支架的长度有什么关系？位置有什么关系？请你用本节课所学的正方形独有性质说明理由.（2）BE⊥DF延长BE,交DF于点M∵△BCE≌△DCF∴∠CBE=∠CDF∵∠DCF=90°∴∠CDF+∠F=90°∴∠CBE+∠F=90°∴∠BMF=90°∴BE⊥DF协作破冰问题7回顾例1的解题过程,我们解决这个问题的核心步骤是什么？用到了正方形的哪些性质？核心步骤:①利用正方形的边、角独有性质,证明两个三角形全等；②利用全等三角形的性质得到线段相等；③利用直角三角形的两锐角互余,推导角度关系,证明垂直.用到的正方形性质:四条边相等、四个角都是直角变式1:在正方形宣传展板ABCD中，将点E移动到CD的延长线上,点F移动到BC延长上,仍然保持CE=CF,请问例1的结论BE=DF,且BE⊥DF还成立吗？请说明理由.协作破冰变式2:在正方形宣传展板ABCD中,点E在CD边上,点F在BC边上,仍然保持CE=CF,请问BE和DF的数量关系还成立吗？位置关系还成立吗？请说明理由变式3:在正方形宣传展板ABCD中,点E在CD边上,点F在BC延长线上,已知BE⊥DF,且BE=DF,求证:CE=CF教师示范变式4:在例1的条件下,连接EF,①请判断△ECF的形状,并说明理由；②若正方形ABCD的边长为10cm,CE=4cm,求EF、BE的长度变式5:在正方形宣传展板ABCD中,要在边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H,使得EG⊥FH,且EG=FH,请问这四个点需要满足什么条件？请你结合例1的探究方法,动手画一画,并说明理由.教师示范问题8我们要在正方形宣传展板上,以展板的对角顶点A、C为两个顶点,设计一个菱形装饰图案,请问这个菱形的另外两个顶点需要满足什么条件？请你动手画一画,并说明画图的理由.另外两个顶点必须在正方形另一条对角线BD所在的直线上,且到AC中点的距离相等.理由:菱形的核心性质是对角线互相垂直平分,AC作为菱形的一条对角线,另一条对角线必须与AC垂直且平分;而正方形的对角线BD恰好与AC垂直且互相平分（正方形对角线的独有性质）,因此另两个顶点在BD所在直线上,且关于AC的中点对称,即可保证四条边相等,构成菱形.巩固拓展问题9:在图中画一个矩形EFGH,使矩形的四个顶点E、F、G、H依次在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上,则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试,并与同伴交流你画图的理由.问题10木工师傅完成了正方形思政宣传展板的制作,现有测量工具只有卷尺,你能利用本节课学的正方形独有性质,帮师傅检验制作的展板是不是标准的正方形吗？请说出你的检验方案和对应的依据.核心方案:①先用卷尺测量展板的四条边②再测量两条对角线的长度依据:对角线相等是正方形区别于普通菱形的性质,四条边相等是正方形区别于普通矩形的独有性质.当堂检测1.下列关于正方形的性质,说法错误的是（）A.正方形的四条边相等,四个角都是直角B.正方形的对角线相等且互相垂直平分C.正方形的对角线平分内角，每个内角被平分为30°的角D.正方形既是特殊的矩形,也是特殊的菱形C解析:对角线平分内角,每个内角90°,被平分为45°的角,而非30°,其余选项均为正方形的正确性质与从属关系.当堂检测2.如图,在正方形ABCD中,BE⊥DF,BE=DF,若CE=3cm,正方形的边长为8cm,则CF的长度为______cm,BE的长度为______cm.

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当堂检测3.如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,点F在CD边上,且AE=BF,求证：AE⊥BF证明:∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°在Rt△ABE和Rt△BCF中,AE=BF,AB=BC∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）∴∠BAE=∠CBF∵∠BAE+∠AEB=90°∴∠CBF+∠AEB=90°∴AE与BF的夹角为90°,即AE⊥BF当堂检测4.如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,连接BE、DE,延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,求∠ADE的度数.

反思总结1.本节课我们探究的正方形,它区别于矩形、菱形的核心独有性质有哪些？请你用最简洁的语言梳理出来.2.围绕课本例1,我们做了多组一题多变的探究,你发现解决