第一章《特殊的平行四边形》单元复习课课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

新版北师大数学九年级上册数学第一章特殊的平行四边形单元回顾与思考复习目标知识目标能力目标素养目标1.精准掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定定理,厘清三者的从属关系与逻辑关联；2.熟练运用特殊平行四边形的边角、对角线性质,完成边长、周长、面积的规范计算；3.能严谨运用判定定理,完成矩形、菱形、正方形的几何证明.1.提升几何图形直观分析能力、逻辑推理与规范证明能力；2.培养图形转化、动态问题拆解的综合解题能力；3.能将实际问题抽象为几何模型，强化数学建模与应用能力1.落实逻辑推理、直观想象的数学核心素养；2.体会“特殊与一般”的辩证数学思想,建立结构化的几何知识体系；3.感受几何图形的实际应用价值，提升数学应用意识目录典例精选知识网格复习目标思想方法巩固拓展当堂检测反思总结作业设计知识网格1.说说平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，它们各有哪些性质？2.菱形、矩形、正方形的对称性对你发现它们的其他性质有怎样的帮助？3.画图说明判定一个四边形是菱形、矩形、正方形的条件4.回顾特殊平行四边形的研究过程，你是怎样发现它们的性质和判定条件的？与同伴进行交流5.在证明特殊平行四边形的性质定理和判定定理的过程中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流知识网格典例精选本节课以班级参加校园文创设计大赛为完整主线,进行习题的复习板块一:文创产品基础尺寸测算——基础性质与计算类题目来源:教材P26第1题、第4题整合改编1.我们设计的菱形书签,两条对角线的长分别为4cm和8cm;同时设计的菱形文创徽章,边长为13cm,其中一条对角线BD长10cm.请完成以下计算：（1）求菱形书签的边长；（2）求菱形徽章的另一条对角线AC的长度；（3）分别计算两款菱形文创产品的面积

考查知识点：菱形的性质（对角线互相垂直且平分）、勾股定理、菱形面积公式典例精选1.我们设计的菱形书签,两条对角线的长分别为4cm和8cm;同时设计的菱形文创徽章,边长为13cm,其中一条对角线BD长10cm.请完成以下计算：（2）求菱形徽章的另一条对角线AC的长度；（3）分别计算两款菱形文创产品的面积

1.菱形的核心解题抓手是“对角线互相垂直平分”,所有边长、对角线计算，都可转化为直角三角形,用勾股定理解决；2.牢记菱形面积的两种计算方式：底×高、对角线乘积的一半,已知对角线时优先用后者.典例精选题目来源：教材P27第10题改编

考查知识点：正方形的性质、勾股定理、正方形边长与对角线的数量关系

典例精选板块二:文创产品合规判定——特殊平行四边形的判定类题目来源:教材P26第2题、P27第7题整合改编

考查知识点：正方形的判定、特殊平行四边形的对角线性质、旋转的性质典例精选

(2)这个菱形是正方形,理由如下：∵菱形绕对角线交点旋转90°后与原图重合∴菱形的两条对角线长度相等∴对角线相等的菱形是正方形,因此这个装饰画是正方形.(3)这个四边形是正方形,理由如下：∵四边形绕对角线交点旋转90°后与原图重合∴四边形的对角线互相垂直、平分且相等∴对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,因此这个展板是正方形.正方形的判定:1.先证是平行四边形,再证同时具备矩形和菱形的核心特征；2.旋转重合的本质是图形的对称性,旋转90°重合说明图形邻边相等、内角为90°3.对角线判定高频结论:对角线互相平分→平行四边形;+相等→矩形;+垂直→菱形;+相等且垂直→正方形.典例精选题目来源:教材P27第8题、第11题、第13题整合改编考查知识点:菱形、正方形的判定,平行四边形的判定,角平分线的性质4.我们在设计文创产品的边框时,需要完成以下证明,确保设计的图形符合要求：（1）如图,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E,交AC于点F,求证:四边形AEDF是菱形；（1）证明：∵DE∥AC,DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD∵DF∥AB，∴∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠ADF，∴AF=DF∴平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）典例精选（2）如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两条线交于点P,求证:四边形CODP是菱形；

典例精选（3）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的角平分线,DE⊥BC,DF⊥AC，垂足分别为E、F,求证:四边形CEDF是正方形.（3）证明：∵DE⊥BC,DF⊥AC,∠ACB=90°∴∠DFC=∠DEC=∠ACB=90°∴四边形CEDF是矩形∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC∴DF=DE∴矩形CEDF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）1.特殊平行四边形判定的通用思路：先证平行四边形,再证特殊条件2.高频解题技巧：角平分线+平行线，必出等腰三角形,是证邻边相等的核心方法3.矩形、菱形的对角线性质,是转化边角等量关系的关键,需熟练运用巩固拓展板块三:文创产品创意优化——综合证明与几何探究类题目来源：教材P27第5题、第9题整合改编5.（1）我们设计的四边形装饰牌,两条对角线互相垂直且相等,请证明：以这个四边形的四边中点为顶点,可画出一个正方形；

巩固拓展（2）我们设计的三角形文创挂件,△ABC的两条高分别为BE、CF,点M为BC的中点,求证：ME=MF

1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形；对角线相等→中点四边形是菱形；对角线垂直→中点四边形是矩形；对角线垂直且相等→中点四边形是正方形；2.看到“直角+中点”，优先考虑直角三角形斜边中线定理，无需额外证明全等，简化解题步骤.巩固拓展板块四：文创产品动态展示——动态几何与实际应用类题目来源：教材P28第14题改编6.我们设计的矩形动态展示框,AB=20cm,动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动.点P和点Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为ts,请问当t为多少时,四边形APQD是矩形？考查知识点：矩形的判定、动态几何问题、一元一次方程的应用解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，∠A=90°∴当AP=DQ时，四边形APQD是平行四边形巩固拓展又∵∠A=90°∴平行四边形APQD是矩形由题意得：AP=4tcm，CQ=tcm∵CD=AB=20cm，∴DQ=CD-CQ=(20-t)cm令AP=DQ,即4t=20-t解得：t=4经检验，t=4在动点的运动取值范围（0≤t≤5）内,符合要求.答：当t=4s时,四边形APQD是矩形.1.动态几何问题的核心解题方法:化动为静,用含时间t的代数式表示线段长度,转化为静态几何问题；2.动态问题中矩形的判定,优先利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”,先证对边相等得到平行四边形,再结合直角判定；3.解题后需检验t的取值是否在动点的运动范围内,避免出现不符合实际的解.思想方法1.特殊与一般：一般平行四边形,到特殊的矩形、菱形,再到最特殊的正方形,层层递进.特殊图形具备一般图形的所有性质,同时拥有专属性质；判定时也遵循从一般到特殊的路径,先证平行四边形再,证矩形/菱形,最终证正方形.2.转化与化归思想:将特殊平行四边形的问题,转化为直角三角形、等腰三角形的问题解决.3.数形结合思想:将几何图形的性质,与边长、角度、面积的计算深度结合,通过图形性质推导数量关系,通过数量关系判定图形形状,实现形与数的相互转化.4.对称思想:矩形、菱形、正方形均为轴对称图形,菱形和正方形还是中心对称图形,利用对称性可快速解决折叠、旋转类几何变换问题,是本章的重要解题思想.当堂检测1.我们在设计折叠文创贺卡时,遇到了以下几何问题,请你解决：（1）如图,四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上一点,且EC=AC,求∠DAE的度数；(第6题)（1）解：∵四边形ABCD是正方形∴∠DAC=∠ACB=45°（正方形对角线平分内角）∵AC=EC，∴∠E=∠CAE∵∠ACB是△ACE的外角，∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE∴∠CAE=22.5°∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=45°-22.5°=22.5°答：∠DAE的度数为22.5°.当堂检测（2）如图，把一张矩形贺卡沿对角线折叠，请问重合部分是什么图形？请说明理由；(第15题)（2）解：重合部分是等腰三角形，理由如下：设矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点C´处，BC´与AD交于点E.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD由折叠的性质得：∠CBD=∠C´BD∴∠ADB=∠C´BD，∴EB=ED∴△BED是等腰三角形,即重合部分是等腰三角形.当堂检测（3）如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,顶点A落在BC边上的点A´处，展开后得到四边形ABA´E,请问这个四边形是正方形吗？为什么？(第19题第①问)（3）解：这个四边形是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABA´=90°由折叠的性质得：∠BA´E=∠A=90°，AB=A´B∴四边形ABA´E的三个角都是直角，∴四边形ABA´E是矩形又∵AB=A´B，∴矩形ABA´E是正方形反思总结1.请你梳理矩形、菱形、正方形的性质和判定定理,用思维导图厘清