2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若直线l的倾斜角α满足，且，则其斜率k满足（）A． B． C．k＞0或 D．k＞0或2．直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+1＝0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y+7＝0 B．2x﹣3y+5＝0 C．3x+2y﹣1＝0 D．2x﹣3y+8＝03．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．3，﹣，+2 B．2，﹣2，+2 C．，2，﹣ D．，，﹣4．在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，向量、、、是（）A．有相同起点的向量 B．等长的向量 C．共面向量 D．不共面向量5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A．14米 B．15米 C．米 D．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝+m﹣n，则m，n的值分别为（）A．，﹣ B．﹣，﹣ C．﹣， D．，7．四棱锥P﹣ABCD中，＝（2，﹣1，3），＝（﹣2，1，0），＝（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（）A． B． C． D．8．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．（多选）9．下列说法正确的是（）A．直线y＝ax﹣2a+1必过定点（2，1） B．直线3x﹣2y+4＝0在y轴上的截距为﹣2 C．直线的倾斜角为120° D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为（多选）10．已知，，，则下列结论正确的是（）A． B． C．为钝角 D．在方向上的投影向量为（4，0，4）（多选）11．圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3＝0，直线l：3x﹣4y﹣7＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C相交 B．|PQ|的最小值是1 C．若P到直线l的距离为2，则点P有2个 D．从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是3（多选）12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（）A．AC与BD1的夹角为60° B．三棱锥B1﹣ACD1外接球的体积为 C．AB1与平面ACD1所成角的正切值 D．点D到平面ACD1的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x、y满足x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0，则的最大值是．14．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1A＝3，则A1C的长为．15．已知矩形ABCD，AB＝1，，沿对角线AC将△ABC折起，若二面角B﹣AC﹣D的大小为120°，则B，D两点之间的距离为．16．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（﹣4，0），B（0，4），其欧拉线方程为x﹣y+2＝0，则顶点C的坐标可以是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知空间向量＝（2，4，﹣2），＝（﹣1，0，2），＝（x，2，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求；（Ⅱ）若⊥，求cos＜，＞的值．18．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．已知以点C（﹣1，1）为圆心的圆与直线m：3x+4y+4＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）过点P（﹣2，3）的作圆C的切线，求切线方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝AP＝2，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A到平面PBD的距离．21．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，DD1＝3，AD＝2，，E为棱BB1上一点，BE＝1，过A，E，C1三点作平面α交DD1于点G．（1）求点D到平面BC1G的距离；（2）求平面AEC与平面BEC夹角的余弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，