2023-2024学年安徽省芜湖市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年安徽省芜湖市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知数列{an}是等比数列，满足a1＝1，公比q＝2，则a3＝（）A．2 B．4 C．8 D．162．（5分）直线x﹣2y﹣2＝0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13．（5分）随机变量X与Y满足Y＝2X+1，若D（X）＝2，则D（Y）＝（）A．8 B．5 C．4 D．24．（5分）为研究数学成绩x与物理成绩y（单位：分，满分100分）之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩（取高二学年这两科所有考试成绩的均分），统计如下表数学成绩x100137116142125物理成绩ya89899785根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为ŷ=1A．78 B．85 C．88 D．905．（5分）正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞4）＝0.38，则P（X＜﹣2）＝（）A．0.76 B．0.38 C．0.24 D．0.126．（5分）已知F1，F2是椭圆C：x216+y212=1的两个焦点，点P在C上，且|A．3 B．4 C．6 D．107．（5分）在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）的展开式中，含x的项的系数是（）A．120 B．240 C．274 D．2828．（5分）若函数f(x)=ex+a−A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜0 D．a＞0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知直线l：y＝kx﹣k，圆C：x2+y2＝4，则下列结论正确的有（）A．直线l过定点（1，0） B．直线l与圆C恒相交 C．直线l被圆C截得的弦长最短为4 D．若直线l被圆C截得的弦长为14，则k＝±1（多选）10．（6分）不透明的盒子里装有除颜色外互异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是（）A．两次摸到的都是红球的概率为310B．第二次摸到的是红球的概率为34C．第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为12D．第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为2（多选）11．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AA1的中点，H为底面ABCD上一点，则下列结论正确的是（）A．若H为BD中点，则MH⊥BD1 B．若MH∥平面B1CD1，则点H的轨迹长度是22C．若MH=32，则点HD．若直线MH与AB所成角为45°，则点H在双曲线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）函数f（x）＝lnx+2x的图象在点（1，2）处的切线方程为．13．（5分）若安排5名同学去校园A，B，C三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，C处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有种．（用数字作答）14．（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，左焦点为F．若过点F的直线l斜率为3，且与双曲线C左支交于两点，则e的取值范围为；过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2，M，N分别为PC，PD的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）求直线PB与平面ABN所成角的大小．16．（15分）石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．A材料B材料合计实验成功实验失败合计单位：次（1）由等高堆积条形图提供的信息，填写2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为试验的结果与材料有关；（2）以实验结果成功的频率为概率，用A材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82817．（15分）函数f（x）＝ex，g（x）＝kx+b（k，b∈R）（1）令h（x）＝f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的单调性；（2）若k＞0，且f（x）≥g（x）在实数R上恒成立，求k+b的最大值．18．（17分）抛物线E的准线方程为y=−14，抛物线E上的三个点A，B，C构成一个以（1）求抛物线E的标准方程；（2）若点B坐标为（1，1），证明：直线AC过定点；（3）若|BA|＝|BC|，求△ABC面积的最小值．19．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（1）求数列{an}的通项公式an；（2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若x＞﹣1且n为正整数时，（1+x）n≥1+nx，当且仅当n＝1或x＝0时等号成立．（ⅰ）证明：数列{(（ⅱ）已知n≥4（n∈N*）时，(1−1n+2)

2023-2024学年安徽省芜湖市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知数列{an}是等比数列，满足a1＝1，公比q＝2，则a3＝（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】由等比数列中若干项求通项公式或其中的项．【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件直接求解即可．【解答】解：因为数列{an}是等比数列，满足a1＝1，公比q＝2，所以a3故选：B．2．（5分）直线x﹣2y﹣2＝0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】直线的截距式方程．【答案】C【分析】令x＝0，解得y＝﹣1，即可得直线x﹣2y﹣2＝0在y轴上的截距．【解答】解：由题意可知，直线方程为x﹣2y﹣2＝0，令x＝0，解得y＝﹣1，所以直线x﹣2y﹣2＝0在y轴上的截距为﹣1．故选：C．3．（5分）随机变量X与Y满足Y＝2X+1，若D（X）＝2，则D（Y）＝（）A．8 B．5 C．4 D．2【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【答案】A【分析】由题意，根据方差的性质进行求解即可．【解答】解：易知D（Y）＝D（2X+1）＝22D（X）＝4D（X）＝4×2＝8．故选：A．4．（5分）为研究数学成绩x与物理成绩y（单位：分，满分100分）之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩（取高二学年这两科所有考试成绩的均分），统计如下表数学成绩x100137116142125物理成绩ya89899785根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为ŷ=1A．78 B．85 C．88 D．90【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】D【分析】由经验回归方程必过样本中心点计算即可得．【解答】解：x=100+137+116+142+1255则360+a5=1故选：D．5．（5分）正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞4）＝0.38，则P（X＜﹣2）＝（）A．0.76 B．0.38 C．0.24 D．0.12【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】B【分析】正态曲线关于x＝1对称，利用已知条件转化求解概率即可．【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（1，σ2），所以正态曲线关于x＝1对称，所以P（X＜﹣2）＝P（X＞4）＝0.38．故选：B．6．（5分）已知F1，F2是椭圆C：x216+y212=1的两个焦点，点P在C上，且|A．3 B．4 C．6 D．10【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．【答案】C【分析】由椭圆定义和|PF2|＝3得到|PF1|＝8﹣3＝5，结合|F1F2|＝4，由余弦定理得cos∠F【解答】解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝8，故|PF1|＝8﹣3＝5，又|F则由余弦定理得cos∠F故sin∠F故S△P故选：C．7．（5分）在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）的展开式中，含x的项的系数是（）A．120 B．240 C．274 D．282【考点】二项式定理的应用．【答案】C【分析】在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）的展开式中含x的项即从5个因式中取4个常数，1个x，即可写出含x的项．【解答】解：在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）的展开式中含x的项即从5个因式中取4个常数，1个x，所以含x的项为2×3×4×5x+1×3×4×5x+1×2×4×5x+1×2×3×5x+1×2×3×4x＝274x，所以含x的项的系数是274．故选：C．8．（5分）若函数f(x)=ex+a−A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜0 D．a＞0【考点】利用导数求解函数的极值．【答案】B【分析】先对函数求导，然后由题知f′（x）有两个变号零点，结合函数的性质可求得结果．【解答】解：函数的定义域为R，由f(x)=e得f′（x）＝ex+a﹣x，令g（x）＝f′（x）＝ex+a﹣x，则g′（x）＝ex+a﹣1，当x＞﹣a时，g′（x）＞0，当x＜﹣a时，g′（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，﹣a）上递减，在（﹣a，+∞）上递增，所以g（x）的极小值为g（﹣a）＝1+a，当x→+∞时，g（x）→+∞，当x→﹣∞时，g（x）→+∞，所以要使f(x)=ex+a−12所以1+a＜0，得a＜﹣1．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知直线l：y＝kx﹣k，圆C：x2+y2＝4，则下列结论正确的有（）A．直线l过定点（1，0） B．直线l与圆C恒相交 C．直线l被圆C截得的弦长最短为4 D．若直线l被圆C截得的弦长为14，则k＝±1【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．【答案】ABD【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线l被圆C截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D．【解答】解：对于A，直线l：y＝kx﹣k，即y＝k（x﹣1），则直线恒过定点（1，0），故A正确；对于B，因为12+02＝1＜4，所以定点（1，0）在圆C：x2+y2＝4内部，所以直线l与圆C恒相交，故B正确；对于C，直线l与x轴垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时l：x＝1，直线l被圆C截得的弦长为24−12对于D，直线l：kx﹣y﹣k＝0，圆心C到直线l的距离d=|−k|得k＝±1，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（6分）不透明的盒子里装有除颜色外互异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是（）A．两次摸到的都是红球的概率为310B．第二次摸到的是红球的概率为34C．第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为12D．第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为2【考点】全概率公式；相互独立事件的概率乘法公式．【答案】AC【分析】利用独立概率的乘法公式、条件概率与全概率公式逐项计算即可得解．【解答】解：设事件A为第一次摸到的球的颜色为红色，事件B为第二次摸到的球的颜色为红色，对A：P(AB)=35×对B：P(B)=P(AB)+P(AB)=3对C：P(A|B)=P(对D：P(B|A)=P(A故选：AC．（多选）11．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AA1的中点，H为底面ABCD上一点，则下列结论正确的是（）A．若H为BD中点，则MH⊥BD1 B．若MH∥平面B1CD1，则点H的轨迹长度是22C．若MH=32，则点HD．若直线MH与AB所成角为45°，则点H在双曲线上【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；根据定义求双曲线的标准方程；直线与平面平行．【答案】BCD【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点H坐标，从而可借助空间向量解决相应问题，对A：计算向量数量积即可得；对B：求出平面法向量后，结合向量垂直可得点H轨迹，即可得其轨迹长度；对C：借助空间中两点距离公式计算即可得点H轨迹；对D：借助空间向量夹角公式计算即可得点H轨迹．【解答】解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有D（0，0，0）、B（1，1，0），D1（0，0，1）、M(1，0，12)，设H（m，n，0），0≤m对A：由题意可知，H(12，则MH→BD1→故MH与BD1不垂直，故A错误；对B：MH→=(m−1，n，−12)，则B1C→设平面B1CD1的法向量为m→则有B1令x＝1，则有y＝﹣1，z＝﹣1，即m→若MH∥平面B1CD1，则有MH→⋅m故H(n+12，n，0)，0≤n≤12对C：若MH=32，则(m−1)2故点H在圆上，故C正确；对D：若直线MH与AB所成角为45°，则有|cos〈AB即|cos〈AB整理得n2=(m−1)2+14，即4故点H在双曲线上，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）函数f（x）＝lnx+2x的图象在点（1，2）处的切线方程为．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】见试题解答内容【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．【解答】解：函数f（x）＝lnx+2x的导数为f′（x）=1在点（1，2）处的切线斜率为k＝3，则在点（1，2）处的切线方程为y﹣2＝3（x﹣1），即为3x﹣y﹣1＝0．故答案为：3x﹣y﹣1＝0．13．（5分）若安排5名同学去校园A，B，C三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，C处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有种．（用数字作答）【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．【答案】60．【分析】先从5名同学中选2名同学去C处，再将剩下的3名同学安排到A，B两处，每处至少一人，即可求解．【解答】解：从5名同学中选2名同学去C处，有C5再将剩下的3名同学安排到A，B两处，每处至少一人，有C3所以不同的安排方案共有C5故答案为：60．14．（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，左焦点为F．若过点F的直线l斜率为3，且与双曲线C左支交于两点，则e的取值范围为；过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为【考点】求双曲线的离心率．【答案】（1，2）；3或62【分析】由渐近线的性质与离心率定义计算可得空一；分A、B在y轴同侧与在y轴异侧进行讨论，结合倾斜角与斜率的关系，结合正切函数二倍角公式计算即可得ba【解答】解：空一：由题意可得ba∈(0，3空二：不妨设渐近线lOA：y=−bax，若A则tan∠AOF=ba=即2ba1−(ba若A、B在y轴异侧，则tan∠AOF=btan∠AOB=tan(π−2∠AOF)=|AB|即−2ba1−(b综上所述，e=3或6故答案为：（1，2）；3或62四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2，M，N分别为PC，PD的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）求直线PB与平面ABN所成角的大小．【考点】几何法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）π6【分析】（1）由三角形中位线定理结合四边形ABCD为正方形，可得MN∥AB，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A﹣BDP，利用空间向量求解即可．【解答】解：（1）证明：因为M，N分别为PC，PD的中点，所以MN∥CD，因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以MN∥AB，因为AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB；（2）因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以AB，AD，PA两两垂直，所以以A为原点，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A﹣BDP，因为PA＝AB＝2，所以P（0，0，2），B（2，0，0），A（0，0，0），N（0，1，1），所以PB→设平面ABN的法向量为n→则n→令y0＝1，则z0＝﹣1，所以n→设直线PB与平面ABN所成角为θ，所以sinθ=|cosPB因为θ∈[0，π2]所以直线PB与平面ABN所成角的大小为π616．（15分）石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．A材料B材料合计实验成功实验失败合计单位：次（1）由等高堆积条形图提供的信息，填写2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为试验的结果与材料有关；（2）以实验结果成功的频率为概率，用A材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．【答案】（1）没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关；（2）85【分析】（1）借助等高堆积条形图可得2×2列联表，再计算出卡方即可得；（2）求出X的所有可能取值及其对应概率后可得其分布列，再利用期望公式即可得期望．【解答】解：（1）由题意可得如下表格：A材料B材料合计实验成功437实验失败123合计5510提出假设H0：实验的结果与材料无关，χ2所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关；（2）设产品制作成功件数为X，由题意可知X服从二项分布，成功的概率为45，即X∼B(2，则X的可能取值为0，1，2，∴P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C∴X的分布列为：X012P1258251625∴E(X)=0×117．（15分）函数f（x）＝ex，g（x）＝kx+b（k，b∈R）（1）令h（x）＝f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的单调性；（2）若k＞0，且f（x）≥g（x）在实数R上恒成立，求k+b的最大值．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；函数恒成立问题．【答案】（1）当k≤0时，h（x）在R上单调递增，当k＞0时，h（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增．（2）e．【分析】（1）求得h′（x）＝ex﹣k，分k≤0和k＞0，两种情况讨论，即可求解；（2）由（1）可知，当k＞0时，elnk﹣klnk﹣b≥0，转化为k+b≤2k﹣klnk，令p（k）＝2k﹣klnk（k＞0），通过导数求p（k）max即可．【解答】解：（1）因为h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣kx﹣b，所以h′（x）＝ex﹣k，当k≤0时，h′（x）＞0恒成立，h（x）在R上单调递增，当k＞0时，h′（x）＝0时，x＝lnk，当x＜lnk，h′（x）＜0，h（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，当x＞lnk，h′（x）＞0，h（x）在（lnk，+∞）上单调递增，综上所述：当k≤0时，h（x）在R上单调递增，当k＞0时，h（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增．（2）结合（1）与题意可得h（lnk）≥0，即elnk﹣klnk﹣b≥0，即b≤elnk﹣klnk，从而得k+b≤elnk﹣klnk+k＝2k﹣klnk令p（k）＝2k﹣klnk（k＞0）所以令p′（k）＝1﹣lnk＝0⇒k＝e当k∈（0，e）时，p′（k）＞0，p（k）在（0，e）上单调递增当k∈（e，+∞）时，p′（k）＜0，p（k）在（e，+∞）上单调递减所以p（k）max＝p（e）＝e所以k+b≤e，即k+b的最大值为e．18．（17分）抛物线E的准线方程为y=−14，抛物线E上的三个点A，B，C构成一个以（1）求抛物线E的标准方程；（2）若点B坐标为（1，1），证明：直线AC过定点；（3）若|BA|＝|BC|，求△ABC面积的最小值．【考点】抛物线的定点及定值问题；根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．【答案】（1）y＝x2；（2）证明见解析；（3）1．【分析】（1）根据准线方程求出抛物线方程；（2）设A，C点的坐标分别，直线AC的方程为y＝mx+b，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，依题意kBA•kBC＝﹣1，即可得到m、b