2023-2024学年北京大学附中元培学院高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年北京大学附中元培学院高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）已知集合A＝{x，0}、B＝{y，0，1}，其中x，y∈{0，1，2，3，4，5}，且A⊆B．满足以上条件的全部有序数对（x，y）的个数为（）A．6 B．8 C．20 D．362．（4分）已知a＞b、bcd＜0、abcd＞0，则下列选项可能成立的是（）A．a＜0、b＞0、c＜0、d＞0 B．a＞0、b＜0、c＞0、d＜0 C．a＜0、b＜0、c＞0、d＞0 D．a＞0、b＞0、c＜0、d＜03．（4分）已知关于x1，x2，x3，x4的方程组x1+x2+x3=c1x2+x3+x4=c2x3+xA．x1＜x2＜x3＜x4 B．x4＜x1＜x2＜x3 C．x4＜x3＜x2＜x1 D．x3＜x2＜x1＜x44．（4分）已知关于x，y的方程组xy=kx−ky=1A．恰有一组实数解 B．恰有两组实数解 C．没有实数解 D．条件不足无法判断5．（4分）函数y＝x2﹣2x﹣4的图象关于____作对称，再向____平移1个单位，得到函数y＝x2+2x﹣5的图象．（）A．x轴、上 B．y轴、下 C．x轴、左 D．y轴、右6．（4分）在△ABC中，顶点A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，则△ABC的内角大小可能为（）①30°，60°，90°②60°，60°，60°③45°，45°，90°④30°，30°，120°A．①② B．①③ C．②③ D．②④7．（4分）在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，AC＝1，则BC＝（）A．2 B．2cosB C．12cosB D．8．（4分）已知命题p：关于x的不等式a1x2+b1x+c1＜0与A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．若sin(θ−45°)=152，则tanθ10．（4分）已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是π6，π3，π2，π11．（4分）已知集合A＝[a，+∞）、B＝[3，+∞）．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则a的取值范围为．12．（4分）已知集合A＝{x2，y2}、B＝{4x+21，4y+21}．若A＝B，则x+y＝．13．（4分）函数f(x)=3x−1x214．（4分）已知函数y＝kx+2、y＝x3+3x2+2x+1的图象恰有三个交点，交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）．则下列判断：①x②x1x2x3＝1③x④1其中正确的是．三、解答题（共4小题，共44分）15．（14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）|x−1|≥2（2）x+1＜16．（10分）（1）观察：11=12+12（2）求证：对于任何n∈N*、n≥3，存在m，k∈N*，使得1n17．（12分）已知一个等腰直角△DEF的三个顶点分别在另一个等腰直角△ABC的三条不同的边上．（1）如图，若△DEF的直角顶点在△ABC的斜边上，求△DEF，△ABC的面积之比的最小值．（2）如图，若△DEF的直角顶点在△ABC的直角边上．求△DEF，△ABC的面积之比的最小值．18．（8分）一个与自然数n有关的命题，如果：①当n＝n0时，命题成立；②在假设“当n＝k（k≥n0）时，命题成立”的前提下，能够推出“当n＝k+1时，合题成立”．那么，命题对于任何不小于n0的自然数n成立．上述方法，称为“数学归纳法”．例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的n个圆将平面至多分为n2﹣n+2个区域，其中n∈N*．注意1个圆将平面分为2个区域．当n＝1时，n2﹣n+2＝2．所以，当n＝1时，命题成立．假设当n＝k（k≥1）时，命题成立，即平面内的k个圆将平面至多分为k2﹣k+2个区域．在此基础上，增加1个圆．为使区域最多，应使增加的圆与前k个圆均相交，于是增加了2k个交点，2k个交点将增加的圆分为2k段弧，2k段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了2k个区域．从而，平面内的k+1个圆将平面至多分为（k2﹣k+2）+2k＝k2+k+2个区域．当n＝k+1时，n2﹣n+2＝（k+1）2﹣（k+1）+2＝k2+k+2．所以，当n＝k+1时，合题成立．综上，命题对于任何n∈N*成立．利用“数学归纳法”证明：（1）12+22+⋯+n（2）2n＞n2，其中n∈N*，n≥5．

2023-2024学年北京大学附中元培学院高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）已知集合A＝{x，0}、B＝{y，0，1}，其中x，y∈{0，1，2，3，4，5}，且A⊆B．满足以上条件的全部有序数对（x，y）的个数为（）A．6 B．8 C．20 D．36【考点】集合的包含关系的应用；集合的确定性、互异性、无序性．【答案】B【分析】根据集合中元素的互异性以及集合之间的包含关系进行分类讨论求解．【解答】解：依题意，当x＝1时，y＝2，3，4，5，有序数对（x，y）有4个；当x＝y时，y＝2，3，4，5，有序数对（x，y）有4个；全部有序数对（x，y）的个数为8个．故选：B．2．（4分）已知a＞b、bcd＜0、abcd＞0，则下列选项可能成立的是（）A．a＜0、b＞0、c＜0、d＞0 B．a＞0、b＜0、c＞0、d＜0 C．a＜0、b＜0、c＞0、d＞0 D．a＞0、b＞0、c＜0、d＜0【考点】不等关系与不等式．【答案】C【分析】先判断出a＜0，排除BD，再根据a＞b和bcd＜0判断AC即可．【解答】解：因为bcd＜0、abcd＞0，故a＜0，排除BD；因为a＞b，所以b＜0，ab＞0，又abcd＞0，所以cd＞0，故A错误，C正确．故选：C．3．（4分）已知关于x1，x2，x3，x4的方程组x1+x2+x3=c1x2+x3+x4=c2x3+xA．x1＜x2＜x3＜x4 B．x4＜x1＜x2＜x3 C．x4＜x3＜x2＜x1 D．x3＜x2＜x1＜x4【考点】函数与方程的综合运用；不等关系与不等式．【答案】D【分析】根据题设得到x1+x2+x3+x4=c1+c【解答】解：由x1得到3（x1+x2+x3+x4）＝c1+c2+c3+c4，即x1令A=c则x1又c1＜c2＜c3＜c4，所以x4＞x1＞x2＞x3．故选：D．4．（4分）已知关于x，y的方程组xy=kx−ky=1A．恰有一组实数解 B．恰有两组实数解 C．没有实数解 D．条件不足无法判断【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【答案】D【分析】解方程组可得答案．【解答】解：由xy=kx−ky=1得ky2+y﹣k＝0，当k＝0时，解得y=k=0x=1，方程组有一组实数解，当k≠0时，Δ＝1+4k2综上，条件不足无法判断．故选：D．5．（4分）函数y＝x2﹣2x﹣4的图象关于____作对称，再向____平移1个单位，得到函数y＝x2+2x﹣5的图象．（）A．x轴、上 B．y轴、下 C．x轴、左 D．y轴、右【考点】二次函数的图象及其对称性．【答案】B【分析】根据二次函数的对称轴与顶点性质判断即可．【解答】解：函数y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，对称轴为x＝1，顶点为（1，﹣5），函数y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，对称轴为x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣6），故函数y＝x2﹣2x﹣4的图象关于y轴作对称，得到y＝（x+1）2﹣5，再向下平移1个单位，得到函数y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6的图象．故选：B．6．（4分）在△ABC中，顶点A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，则△ABC的内角大小可能为（）①30°，60°，90°②60°，60°，60°③45°，45°，90°④30°，30°，120°A．①② B．①③ C．②③ D．②④【考点】余弦定理．【答案】A【分析】由题意及余弦定理可得cosC的值，再由角C的范围，考虑到角C的大小，判断出所给命题的真假．【解答】解：因为（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，则（a+b）2﹣c2＝3ab，即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得：a2+b2﹣c2＝2abcosC，所以cosC=12，而C∈（0，可得C=π再由只有①②满足题意．故选：A．7．（4分）在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，AC＝1，则BC＝（）A．2 B．2cosB C．12cosB D．【考点】利用正弦定理解三角形；二倍角的三角函数．【答案】B【分析】由正弦定理和二倍角公式化简得结果．【解答】解：在锐角△ABC中，∵∠A＝2∠B，AC＝1，∴正弦定理得：BCsinA故选：B．8．（4分）已知命题p：关于x的不等式a1x2+b1x+c1＜0与A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】解一元二次不等式；充分不必要条件的判断．【答案】D【分析】假设q为真，验证能否得到p，再假设p为真，验证能否得到q即可得．【解答】解：若a1a2=b则a1x2若a1x2如x2+x+1＜0、x2+x+2＜0，此时两不等式解集都为空集，不满足a1综上所述，p是q成立的既不充分又不必要条件．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．若sin(θ−45°)=152，则tanθ【考点】两角和与差的三角函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】43或3【分析】根据已知，利用差角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，建立方程组求解．【解答】解：因为sin(θ−45°)=1所以sinθ−cosθ=1两边平方有：1−2sinθcosθ=1所以sinθcosθ=12所以(sinθ+cosθ)2所以sinθ+cosθ=±7当sinθ+cosθ=7又sinθ−cosθ=1所以sinθ=4此时tanθ=4当sinθ+cosθ=−7又sinθ−cosθ=1所以sinθ=−3此时tanθ=3故答案为：43或310．（4分）已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是π6，π3，π2，π【考点】三角形的面积公式；弧长公式．【答案】3+3【分析】根据圆的周长公式计算圆的半径，结合三角形面积公式求得四边形的面积．【解答】解：已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是π6，π3，π2设圆的半径为r，可知π6+π所以四边形的面积由四个三角形面积组成，四边形的面积为12故答案为：3+311．（4分）已知集合A＝[a，+∞）、B＝[3，+∞）．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则a的取值范围为．【考点】必要不充分条件的判断；集合的包含关系的应用．【答案】（﹣∞，3）【分析】根据题意，因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集，再根据集合之间的真包含关系求解．【解答】解：根据题意，因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集，又由集合A＝[a，+∞）、B＝[3，+∞）．所以a＜3，则a的取值范围为（﹣∞，3）．故答案为：（﹣∞，3）．12．（4分）已知集合A＝{x2，y2}、B＝{4x+21，4y+21}．若A＝B，则x+y＝．【考点】集合的相等．【答案】±4．【分析】根据A＝B、集合的性质可得答案．【解答】解：集合A＝{x2，y2}、B＝{4x+21，4y+21}，A＝B，∴x2=4x+21y由x2=4x+21y2=4y+21，解得x=−3y=7或当x=−3y=7时，A＝{9，49}，B＝{9，49}，满足A＝B，则x+y当x=−3y=−3时，x2＝y2当x=7y=7时，x2＝y2当x=7y=−3时，A＝{9，49}，B＝{9，49}，满足A＝B，则x+y由x2=4y+21y2=4x+21，解得x=−3y=−3或当x=−3y=−3时，x2＝y2当x=7y=7时，x2＝y2当x=−5y=1时，A＝{1，25}、B＝{1，25}，满足A＝B，则x+y当x=1y=−5时，A＝{9，49}、B＝{9，49}，满足A＝B，则x+y综上，x+y＝4，x+y＝﹣4．故答案为：±4．13．（4分）函数f(x)=3x−1x2【考点】求函数的最值．【答案】1．【分析】合理换元，后讨论参数范围，利用基本不等式和对钩函数性质求解即可．【解答】解：令3x﹣1＝t，则t＞﹣1，即x=t+1所以f(x)=3x−1x2当t＝0时，y＝0，当t≠0时，y=9当t∈（0，+∞）时，t+4当且仅当t=4t时取到等号，解得所以此时9t+所以此时f(x)=3x−1当t∈（﹣1，0）时，因为函数y=t+4得到t+4t所以9t+4t综上所述，函数f(x)=3x−1故答案为：1．14．（4分）已知函数y＝kx+2、y＝x3+3x2+2x+1的图象恰有三个交点，交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）．则下列判断：①x②x1x2x3＝1③x④1其中正确的是．【考点】函数与方程的综合运用．【答案】①②④．【分析】首先根据对称性得到两个函数图象的三个交点关于（﹣1，1）对称，且（﹣1，1）应为其中一个交点，不妨设x1＜x2＜x3，根据x1+x根据x1，x3是方程x2+2x﹣1＝0的两个根借助韦达定理判断②的正误；根据立方和公式和②中韦达定理得到的结论判断③的正误；根据对称性得y1+y【解答】解：因为y＝f（x）＝x3+3x2+2x+1＝（x+1）3﹣x，又f（﹣1﹣x）+f（﹣1+x）＝（﹣x﹣1+1）3﹣（﹣1﹣x）+（x﹣1+1）3﹣（﹣1+x）＝2，所以y＝x3+3x2+2x+1的对称中心为（﹣1，1），因为函数y＝kx+2、y＝x3+3x2+2x+1的图象恰有三个交点，且y＝kx+2也是中心对称图形，所以两个函数图象的三个交点也关于（﹣1，1）对称，不妨设x1＜x2＜x3，则（﹣1，1）应为其中一个交点，故x2＝﹣1，y2＝1，对于①，因为（x1，y1），（x3，y3）关于（﹣1，1）对称，则x1所以x1+x对于②，将（﹣1，1）代入直线方程得k＝1，即y＝x+2，联立y=x得：x3+3x2+x﹣1＝0⇒（x+1）（x2+2x﹣1）＝0，因为x1，x2，x3是方程的根且x2＝﹣1，所以x1，x3是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，由韦达定理得x1x3＝﹣1，所以x1x2x3＝1，故②正确；对于③，因为x2＝﹣1，所以x1又x＝（﹣2）×[（﹣2）2+3]＝﹣14，所以x13+对于④，1x因为两个函数图象的三个交点也关于（﹣1，1）对称，所以y1+y即1x1+故答案为：①②④．三、解答题（共4小题，共44分）15．（14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）|x−1|≥2（2）x+1＜【考点】绝对值不等式的解法；解一元二次不等式．【答案】（1）{x|x＜0或x≥2}；（2）{x|x＞1}．【分析】（1）分情况讨论x与0，1的大小关系，结合分式与二次不等式求解即可；（2）先求得x＞0，再两边平方求解即可．【解答】解：（1）当x＜0时，|x−1|≥0＞2当0＜x＜1时，即1−x≥2x，则x﹣x2≥2，即x2﹣x+2≤0，当x≥1时，x−1≥2x，即x2﹣x≥2，即（x+1）（x﹣2）≥0，解得综上有解集为{x|x＜0或x≥2}．（2）当x≤0时，2x≤0，故x+1≥0，故x+1＜两边平方有x+1＜2x2，即2x2﹣x﹣1＞0，（2x+1）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜−1又x＞0，故解集为{x|x＞1}．16．（10分）（1）观察：11=12+12（2）求证：对于任何n∈N*、n≥3，存在m，k∈N*，使得1n【考点】裂项相消法；归纳推理．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）发现规律，归纳出1n（2）运用第一问的结论，结合裂项可证明．【解答】解：（1）规律：左右两边分子都是1，等式左边的分母是从1开始的连续整数，等号右边的分母是等式左边分母加1和左边分母加1与左边分母的积，即1n证明：1n+1（2）证明：由于1m(m+1)+=1m−=1当n＝3时，存在m＝2，k＝3，使得13当n＝4时，存在m＝3，k＝8，使得14...，取m＝n﹣1，k＝n2﹣2n，则1n故对于任何n∈N*、n≥3，存在m，k∈N*，使得1n17．（12分）已知一个等腰直角△DEF的三个顶点分别在另一个等腰直角△ABC的三条不同的边上．（1）如图，若△DEF的直角顶点在△ABC的斜边上，求△DEF，△ABC的面积之比的最小值．（2）如图，若△DEF的直角顶点在△ABC的直角边上．求△DEF，△ABC的面积之比的最小值．【考点】利用正弦定理解三角形；三角形的面积公式．【答案】（1）14（2）15【分析】（1）由E，A，F，D四点共圆，在△CED和△BFD中，应用正弦定理得CD＝BD，过点D作DH⊥AC于点H，有DE≥DH=12AB（2）设AC＝1，AE＝x（0≤x≤1），∠CED＝α（0＜α＜90°），则ED=EF=xsinα，由正弦定理EDsinC=CE【解答】解：（1）当等腰直角三角形DEF的直角顶点D在等腰直角三角形ABC的斜边BC上时，如图所示，则有E，A，F，D四点共圆，则∠CED＝∠AFD＝180°﹣∠BFD，所以sin∠CED＝sin∠BFD，在△CED和△BFD中，分别应用正弦定理得EDsinC=CD又B＝C＝45°，ED＝DF，所以CD＝BD，即D为BC的中点，过点D作DH⊥AC于点H，则DE≥DH=1所以S△DEFS△ABC=DE2AB（2）等腰直角三角形DEF的直角顶点E在等腰直角三角形ABC的直角边上时，不妨设直角顶点E在直角边AC上，如图所示，设AC＝1，AE＝x（0≤x≤1），∠CED＝α（0＜α＜90°），则∠AFE＝90°﹣∠AEF＝∠CED＝α，在Rt△AEF中，EF=AE在△CED中，CE＝1﹣x，ED=EF=xsinα，∠EDC＝180°﹣∠CED﹣C＝135°﹣在△CED中，由正弦定理有EDsinC=CE得xsinα=1−x可得S△DEF可得S△DEFS△ABC=(1cosα+2sinα)218．（8分）一个与自然数n有关的命题，如果：①当n＝n0时，命题成立；②在假设“当n＝k（k≥n0）时，命题成立”的前提下，能够推出“当n＝k+1时，合题成立”．那么，命题对于任何不小于n0的自然数n