2023-2024学年福建省福州市多校联考高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，则A∪B＝（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|x≥﹣2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1}2．（5分）若复数z满足z+i＝2i（z﹣i），则|z|＝（）A．1 B． C． D．23．（5分）已知向量，，且与的夹角，则＝（）A． B．10 C． D．134．（5分）圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A．10π B．20π C．8π D．16π5．（5分）某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成．其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（）A．5 B．4.5 C．3.5 D．186．（5分）已知α为锐角，且，则sinα＝（）A． B． C． D．7．（5分）命题p：0＜a＜1，命题q：函数f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）在（﹣∞，3）上单调，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）若向量，，则以下说法正确的是（）A． B． C．若m≠0，n＝0，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为（多选）10．（6分）已知正数a，b满足a+5b＝ab，则（）A． B．a与b可能相等 C． D．a+b的最小值为（多选）11．（6分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（）A．动点F轨迹的长度为 B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为 C．B1F与A1B不可能垂直 D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为25π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）若角α满足tanα＝2，则＝．13．（5分）某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从3～6岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在16～18岁年龄段的问卷中抽取的份数为．14．（5分）已知f（x），g（x）是定义域为R的函数，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，满足f（x）+g（x）＝ax2+x+2，若对任意的1＜x1＜x2＜2，都有成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设a为常数，函数f（x）＝asin2x+cos（2π﹣2x）+1（x∈R）．（1）设，求函数y＝f（x）的严格增区间；（2）若函数y＝f（x）为偶函数，求此函数在上的值域．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝120°，AB＝2，AC∩BD＝O，PO⊥底面ABCD，点E在棱PD上．（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若OP＝2，点E为PD的中点，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．17．（15分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”．阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求a，b的值；（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数，标准差s＝6，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．18．（17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若△ABC为锐角三角形，AC＝2，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．19．（17分）若定义在D上的函数f（x）满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，最小的M称为函数f（x）的上确界．（1）求函数f（x）＝|sinx|+sinx的上确界；（2）已知函数，证明：2为函数f（x）的一个上界；（3）已知函数，若3为f（x）的上界，求实数λ的取值范围．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10．

2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，则A∪B＝（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|x≥﹣2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1}【考点】并集及其运算．【答案】B【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≥﹣2}．故选：B．2．（5分）若复数z满足z+i＝2i（z﹣i），则|z|＝（）A．1 B． C． D．2【考点】复数的模；复数的运算．【答案】A【分析】由已知复数z，然后根据模的求解公式化简即可求解．【解答】解：由已知可得z+i＝2iz+2，则z＝，所以|z|＝|＝＝＝＝1．故选：A．3．（5分）已知向量，，且与的夹角，则＝（）A． B．10 C． D．13【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】由平面向量数量积的定义可求得，再由平面向量的求模公式计算即可．【解答】解：因为，所以，因为，且与的夹角，所以＝，所以＝＝＝．故选：C．4．（5分）圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为（）A．10π B．20π C．8π D．16π【考点】圆台的侧面积和表面积．【答案】D【分析】根据题意，求出圆台的上、下底面的半径，由圆台的侧面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，则该圆台的上、下底面的半径分别为1和3，又由其母线长为4，则圆台的侧面积为S＝．故选：D．5．（5分）某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成．其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（）A．5 B．4.5 C．3.5 D．18【考点】用样本估计总体的离散程度参数．【答案】A【分析】根据题意，利用平均数与方差的公式，分别算出红队、黄队6人的得分数据的和以及各项与平均数的差的平方和，然后利用方差的公式算出答案．【解答】解：设红队的得分数据分别为x1，x2，…，x6，黄队的得分数据分别为x7，x8，…，x12，则红队数据的平均数为，可得，方差为，可得．黄队数据的平均数为，可得，方差为，可得．两组数据混合后，新数据的平均数为，方差为＝＝+﹣+＝×[30+18﹣2×（3﹣3）×6+2×（5﹣5）×6+12]＝5．故选：A．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα＝（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】D【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin（α+）的值，由α＝（α+）﹣，结合两角差的正弦公式求解即可．【解答】解：α为锐角，且，则sin（α+）＝，所以sinα＝sin[（α+）﹣]＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝×﹣×＝．故选：D．7．（5分）命题p：0＜a＜1，命题q：函数f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）在（﹣∞，3）上单调，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合函数的单调性；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】由命题q求出a的取值范围，再判断充分性和必要性即可．【解答】解：设t＝6﹣ax，则f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）可化为y＝logat．充分性：当0＜a＜1时，函数y＝logat在（﹣∞，3）上单调递减，t＝6﹣ax在（﹣∞，3）上单调递减，且t＞0，所以f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）在（﹣∞，3）上单调递增，因此充分性成立．必要性：当0＜a＜1时，y＝logat在（﹣∞，3）上单调递减，t＝6﹣ax在（﹣∞，3）上单调递减，且t＞0，所以f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）在（﹣∞，3）上单调递增；当a＞1时，y＝logat在（﹣∞，3）上单调递增，t＝6﹣ax在（﹣∞，3）上单调递减，且t＝6﹣ax＞0在（﹣∞，3）上恒成立，所以6﹣3a≥0，则1＜a≤2，此时函数f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）在（﹣∞，3）上单调递减．综上可知，当函数f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）在（﹣∞，3）上单调时，0＜a＜1或1＜a≤2，因此必要性不成立．所以p是q的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]【考点】正弦函数的图象．【答案】C【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得ω的取值范围．【解答】解：当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）若向量，，则以下说法正确的是（）A． B． C．若m≠0，n＝0，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为【考点】平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】BCD【分析】利用特殊值判断A，由垂直得到判断B，根据判断C，由投影向量的定义判断D．【解答】解：对于A：当时，满足，但是、无意义，故A错误；对于B：当，则，故B正确；对于C：若，则，故C正确；对于D：若，则，，所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确．故选：BCD．（多选）10．（6分）已知正数a，b满足a+5b＝ab，则（）A． B．a与b可能相等 C． D．a+b的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【答案】BD【分析】先对已知等式进行变形，然后结合基本不等式检验各选项即可．【解答】解：因为正数a，b满足a+5b＝ab，两边同时除以ab，得＝1，A错误；当a＝b＝6时，显然符合题意，B正确；因为ab＝a+5b，当且仅当a＝5b，即b＝2，a＝10时取等号，所以，C错误；a+b＝（a+b）（）＝6++≥6+2＝6+2，当且仅当a＝b，即b＝1+，a＝5时取等号，D正确．故选：BD．（多选）11．（6分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（）A．动点F轨迹的长度为 B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为 C．B1F与A1B不可能垂直 D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为25π【考点】棱锥的体积；球的表面积．【答案】AB【分析】取CC1中点M，C1D1的中点N，通过证明平面B1MN∥平面A1BE，得F点轨迹为线段MN，从而判断A，由此可得F与点N重合时，三棱锥B1﹣D1EF体积的最小，求体积判断B，F与点M重合时，三棱锥B1﹣D1DF体积的最大，确定B1D的中点O是直角三角形B1D1D的外心，从而确定外接球的球心位置，求得外接球半径得表面积从而判断D，证明当F是MN中点时，有A1B⊥B1F可判断C．【解答】解：取CC1中点M，C1D1的中点N，连接B1M，B1N，MN，ME，则MN∥CD1，正方体中易知CD1∥A1B，从而MN∥A1B，又MN⊄平面A1BE，而A1B⊂平面A1BE，所以MN∥平面A1BE，又正方体中ME与C1D1平行且相等，从而ME与A1B1平行且相等，则A1B1ME是平行四边形，所以B1M∥A1E，同理可得证B1M∥平面A1BE，B1M∩MN＝M，B1M，MN⊂平面A1MN，所以平面B1MN∥平面A1BE，平面B1MN∩平面CDD1C1＝MN，所以当F∈MN时，B1F∥平面A1BE，即线段MN为点F的轨迹，，A正确；三棱锥B1﹣D1EF中，B1到平面D1EF的距离为定值2，当F与N重合时，△D1EF的面积最小值，此时，所以体积最小值为，B正确；连接C1D，AB，正方体中易知A1B⊥AB1，AD⊥平面ABB1A1，而A1B⊂平面ABB1A1，所以AD⊥A1B，AD∩AB1＝A，AD，AB1⊂平面ADC1B1，则A1B⊥平面ADC1B1，设MN∩平面ADC1B1＝F（即C1D与MN的交点为F），此时B1F⊂平面DAB1C1，所以A1B⊥B1F，C错；由选项B讨论可知当F与点M重合时，三棱锥B1﹣D1DF的体积，取AA1中点H，连接MH，则MH∥A1C1，正方体中同理选项C中证明可证A1C1⊥平面B1D1D，所以MH⊥平面B1D1D，正方体中MH与B1D交于点O且O为MH，B1D的中点，△B1D1D是直角三角形且∠B1D1D＝90°，则O是△B1D1D的外心，因此三棱锥B1﹣D1DM的外接球的球心K在直线MH上，设外接球半径为R，即KB1＝KM＝R，又，，由MH⊥平面B1D1D，B1D⊂平面B1D1D得MH⊥B1D，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为，D错．故选：AB．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）若角α满足tanα＝2，则＝2．【考点】运用诱导公式化简求值．【答案】2．【分析】利用诱导公式及即可求解．【解答】解：＝＝tanα＝2．故答案为：2．13．（5分）某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从3～6岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在16～18岁年龄段的问卷中抽取的份数为120份．【考点】分层随机抽样．【答案】120份．【分析】利用分层随机抽样的定义求解．【解答】解：因为7～12岁年龄段回收了180份问卷，而样本在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，所以抽样比为＝，因为分层抽取的样本的容量为300，故回收的问卷品数为＝900（份），可得x＝90﹣120﹣180﹣260＝360（份），所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为（份）．故答案为：120份．14．（5分）已知f（x），g（x）是定义域为R的函数，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，满足f（x）+g（x）＝ax2+x+2，若对任意的1＜x1＜x2＜2，都有成立，则实数a的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】．【分析】根据题意，得到﹣f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，联立方程组，求得g（x）＝ax2+2，结合题意转化为g（x1）+3x1＜g（x2）+3x2成立，构造h（x）＝g（x）+3x＝ax2+3x+2，得到h（x）在x∈（1，2）单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解．【解答】解：因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，满足f（x）+g（x）＝ax2+x+2，可得f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，联立方程组，解得g（x）＝ax2+2，又因为对任意的1＜x1＜x2＜2，都有成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜﹣3x1+3x2，所以g（x1）+3x1＜g（x2）+3x2成立，构造h（x）＝g（x）+3x＝ax2+3x+2，所以由上述过程可得h（x）＝ax2+3x+2在x∈（1，2）单调递增，（i）若a＜0，则对称轴，解得；（ii）若a＝0，h（x）＝3x+2在x∈（1，2）单调递增，满足题意；（iii）若a＞0，则对称轴恒成立；综上可得，，即实数a的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设a为常数，函数f（x）＝asin2x+cos（2π﹣2x）+1（x∈R）．（1）设，求函数y＝f（x）的严格增区间；（2）若函数y＝f（x）为偶函数，求此函数在上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【答案】（1）；（2）[1，2]．【分析】（1）结合辅助角公式先化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；（2）结合偶函数的定义先求出a，然后结合余弦函数的性质即可求解函数的值域．【解答】解：（1）当时，函数，令，k∈Z，得kπ﹣，k∈Z．所以此函数的单调递增区间为，k∈Z；（2）由题意，得函数f（x）的定义域为R，因为函数y＝f（x）为偶函数，所以对于任意x∈R，均有f（﹣x）＝f（x）成立，即asin（﹣2x）+cos（﹣2x）+1＝asin2x+cos2x+1，即2asin2x＝0对于任意实数x均成立，只有当a＝0时成立，此时f（x）＝cos2x+1．因为0≤cos2x≤1，所以1≤1+cos2x≤2，故此函数的值域为[1，2]．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝120°，AB＝2，AC∩BD＝O，PO⊥底面ABCD，点E在棱PD上．（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若OP＝2，点E为PD的中点，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理得PO⊥AC，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可．（2）根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可．【解答】解：（1）证明：因为PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又BD∩PO＝O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD．（2）如图，连接OE，则OE⊂平面ACE，由AC⊥平面PBD，OE⊂平面PBD，OP⊂平面PBD，得AC⊥OE，AC⊥OP，故∠POE即为二面角P﹣AC﹣E的平面角，在菱形ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，所以，又PO＝2，所以，由点E为PD的中点，得，所以△POE为等腰三角形，在△POE内过点E作高，垂足为H，则HO＝1，所以，即二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．17．（15分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”．阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求a，b的值；（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数，标准差s＝6，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）a＝0.032，b＝0.004；（2）晋级分数线划为78分合理；（3）90；38.75．【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出a的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值；（2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可；（3）根据平均数和方差的计算公式求出结果．【解答】解：（1）由题意知，所以0.0162＝0.008a，解得a＝0.032，又（0.008+0.016+0.032+0.04+b）×10＝1，解得b＝0.004．所以a＝0.032，b＝0.004；（2）成绩落在[50，70）内的频率为：0.16+0.32＝0.48，落在[50，80）内的频率为：0.16+0.32+0.40＝0.88，设第80百分位数为m，则（m﹣70）0.04＝0.8﹣0.48，解得m＝78，所以晋级分数线划为78分合理；（3），故x1+x2+x3+⋯+x10＝10×90＝900，又，，剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为x1，x2，x3，…，x8，平均数与标准差分别为，s0，则剩余8个分数的平均数：，方差：．18．（17分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）