2023-2024学年甘肃省兰州六十三中高三(上)第二次月考数学试卷

2023-2024学年甘肃省兰州六十三中高三（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}，则∁U（A⋃B）＝（）A．（﹣∞，﹣1]⋃（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1）⋃[2，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）2．（5分）已知命题p：∀x≥0，cosx≤ex，则￢p为（）A．∀x≥0，cosx＞ex B．∃x0＜0， C．∀x＜0，cosx＞ex D．∃x0≥0，3．（5分）已知a＝212，，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（5分）若函数为幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．2或﹣35．（5分）函数f（x）＝2x+log2x的零点所在区间是（）A． B． C．（1，2） D．（2，3）6．（5分）函数f（x）＝x3﹣lnx+2图象在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y＝2x B．y＝4x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝4x﹣27．（5分）过函数f（x）＝﹣x2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A． B． C． D．8．（5分）若函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上单调递增，若f（1）＝0，则不等式（x2﹣1）f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．R C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞） D．∅二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列命题不正确的是（）A．∃x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈R，2x＞x2 C．“a+b＝0”的充要条件是“” D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件（多选）10．（5分）下列各组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1 B．与 C．f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0） D．与（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝|x﹣2|+1，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值可以是（）A．0.6 B．0.7 C．0.85 D．0.75（多选）12．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，若，则满足的是（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若A＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知x＜0，则的最大值为．15．（5分）不等式≥0的解集为．16．（5分）当x＞1时，不等式x2+ax+9＞0恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知关于x的不等式x2﹣3x+1＞a（a∈R）．（1）若a＝5，求不等式x2﹣3x+1＞a的解集；（2）若不等式x2﹣3x+1＞a的解集为R，求实数a的取值范围．18．（12分）（1）已知函数f（x）＝4x+2x+1+3，求函数f（x）的值域；（2）已知3m＝4n＝36，求值．19．（12分）设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间上的最值．20．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x）﹣ax﹣3在区间[2，3]上不单调，求实数a的取值范围．21．（12分）已知曲线方程f（x）＝x3+1．（1）求以点A（0，1）为切点的切线方程；（2）求过点B（1，1）与曲线y＝f（x）相切的直线方程．22．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）的单调递减区间为，求实数a的值；（2）若函数f（x）在（2，3）单调递减，求实数a的取值范围．

2023-2024学年甘肃省兰州六十三中高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}，则∁U（A⋃B）＝（）A．（﹣∞，﹣1]⋃（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1）⋃[2，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）【考点】补集及其运算．【答案】C【分析】解出集合A中的不等式，解出集合B中函数的定义域，得到这两个集合，再进行并集和补集的运算．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3≤0解得﹣1≤x≤3，函数y＝lg（2﹣x）有意义，则2﹣x＞0，即x＜2，则A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝[﹣1，3]，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}＝（﹣∞，2），所以A⋃B＝（﹣∞，3]，所以∁U（A⋃B）＝（3，+∞）．故选：C．2．（5分）已知命题p：∀x≥0，cosx≤ex，则￢p为（）A．∀x≥0，cosx＞ex B．∃x0＜0， C．∀x＜0，cosx＞ex D．∃x0≥0，【考点】全称命题的否定．【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则否定是特称命题：即∃x0≥0，，故选：D．3．（5分）已知a＝212，，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【答案】A【分析】先确定出a＞b，再通过b、c与1的大小关系确定出b＞c．【解答】解：因为，所以1＜b＜a，，所以c＜b＜a，故选：A．4．（5分）若函数为幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．2或﹣3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质．【答案】B【分析】根据函数为幂函数以及幂函数具有的性质，可列式计算，即得答案．【解答】解：由题意函数为幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，可得m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1＜0，解得m＝3．故选：B．5．（5分）函数f（x）＝2x+log2x的零点所在区间是（）A． B． C．（1，2） D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【答案】A【分析】根据零点存在性定理分析判断．【解答】解：因为y＝2x，y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）＝2x+log2x在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）至多有一个零点，因为，，所以f（x）在零点在区间．故选：A．6．（5分）函数f（x）＝x3﹣lnx+2图象在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y＝2x B．y＝4x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝4x﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】C【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数值，再求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）＝x3﹣lnx+2，得，则f′（1）＝2，又f（1）＝3，∴所求切线方程为y﹣3＝2（x﹣1），即y＝2x+1．故选：C．7．（5分）过函数f（x）＝﹣x2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】B【分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．【解答】解：由函数，得f′（x）＝x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故选：B．8．（5分）若函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上单调递增，若f（1）＝0，则不等式（x2﹣1）f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．R C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞） D．∅【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】C【分析】由题意可得f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣1）＝f（1）＝0，推得f（x）＞0和f（x）＜0的解集，讨论x2﹣1＞0，x2﹣1＜0，可得x的不等式组，解不等式可得所求解集．【解答】解：函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上单调递增，若f（1）＝0，可得f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣1）＝f（1）＝0，则f（x）＞0的解集为（﹣1，1），f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．不等式（x2﹣1）f（x）＜0等价为或，即为或，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列命题不正确的是（）A．∃x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈R，2x＞x2 C．“a+b＝0”的充要条件是“” D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用；充分条件与必要条件；全称量词和全称命题．【答案】ABC【分析】利用二次函数的性质可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用充分条件的定义可判断D选项．【解答】解：对于A选项，∀x∈R，x2+1＞0，所以，命题“∃x∈R，x2+1≤0”为假命题，A错；对于B选项，当x＝3时，2x＜x2，故命题“∀x∈R，2x＞x2”为假命题，B错；对于C选项，当a＝b＝0时，a+b＝0，则无意义，a+b＝0”推不出“”，另一方面，当时，则有a＝﹣b，即a+b＝0，即“a+b＝0”⇐“”，所以，“a+b＝0”的充分不必要条件是“”，C错；对于D选项，当a＞1，b＞1时，ab＞1，即“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件，D对．故选：ABC．（多选）10．（5分）下列各组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1 B．与 C．f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0） D．与【考点】判断两个函数是否为同一函数．【答案】AD【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案．【解答】解：对于A，f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1的定义域都是R，对应关系相同，值域相同，故f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（s）＝s2﹣2s﹣1是同一函数，故A正确；对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，故B错误；对于C，f（x）＝x与g（x）＝x（x＞0），前者的定义域为R，后者定义域为（0，+∞），故二者不是同一函数，故C错误；对于D，与的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一函数，D正确．故选：AD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝|x﹣2|+1，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值可以是（）A．0.6 B．0.7 C．0.85 D．0.75【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】ABCD【分析】作出f（x）的图象，对k分类，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）＝|x﹣2|+1的图象如图，直线y＝kx过坐标原点O，若k≤0，不满足方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，当k＝1时，直线y＝x与射线y＝x﹣1（x≥2）所在直线平行，，则要使方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则k∈（），结合选项可得，实数k的取值可以是ABCD．故选：ABCD．（多选）12．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，若，则满足的是（）A． B． C． D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】BC【分析】根据函数的单调性，奇偶性即可得不等式的解集．【解答】解：f（x）为奇函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，故函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，，由可知，当x＜0时，f（x）≥0＝f（﹣），可得﹣≤x＜0，当x＞0时，f（x）≤0＝f（），可得0＜x≤，综上所述，不等式的解集为[﹣，0）∪（0，]．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若A＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]⋃[1，+∞）．【考点】充分条件与必要条件．【答案】（﹣∞，﹣2]⋃[1，+∞）．【分析】依题意有A⫋B，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围．【解答】解：因为A是B的充分不必要条件，所以A⫋B，又A＝{x|2a﹣1＜x＜2a+1}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}，因此2a+1≤﹣3或2a﹣1≥1，解得a≤﹣2或a≥1，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]⋃[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]⋃[1，+∞）．14．（5分）已知x＜0，则的最大值为﹣12．【考点】基本不等式及其应用．【答案】﹣12．【分析】根据基本不等式进行求解即可．【解答】解：由于x＜0，则﹣x＞0，根据基本不等式，，于是，即当时，的最大值是﹣12．故答案为：﹣12．15．（5分）不等式≥0的解集为（﹣2，1]．【考点】其他不等式的解法．【答案】见试题解答内容【分析】不等式≥0，即为，或，运用一次不等式的解法，计算即可得到所求解集．【解答】解：不等式≥0，即为：或，解得或，即有﹣2＜x≤1或x∈∅，则﹣2＜x≤1．即解集为（﹣2，1]．故答案为（﹣2，1]．16．（5分）当x＞1时，不等式x2+ax+9＞0恒成立，则实数a的取值范围为{a|a＞﹣6}．【考点】不等式恒成立的问题．【答案】{a|a＞﹣6}．【分析】根据二次函数的性质分类讨论求解最值即可求解，或者利用参数分离，结合基本不等式求解最值．【解答】解：方法一∵当x＞1时，不等式x2+ax+9＞0恒成立，∴只需求出函数y＝x2+ax+9（x＞1）的最小值，令最小值大于0即可．二次函数y＝x2+ax+9的图象的对称轴为．当，即a≥﹣2时，函数在x＝1处取得最小值a+10，则a+10＞0，a＞﹣10，∴a≥﹣2．当，即a＜﹣2时，函数在处取得最小值，∴，解得﹣6＜a＜6，∴﹣6＜a＜﹣2．综上，实数a的取值范围为{a|a＞﹣6}．方法二：∵x＞1，∴由x2+ax+9＞0得．∵，当且仅当，即x＝3时等号成立，∴的最大值为﹣6，∴a＞﹣6．故a的取值范围为{a|a＞﹣6}．故答案为：{a|a＞﹣6}．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知关于x的不等式x2﹣3x+1＞a（a∈R）．（1）若a＝5，求不等式x2﹣3x+1＞a的解集；（2）若不等式x2﹣3x+1＞a的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（1）{x|x＞4或x＜﹣1}；（2）．【分析】（1）解一元二次不等式，求出答案；（2）转化为x2﹣3x+1﹣a＞0恒成立，由Δ＜0求出答案．【解答】解：（1）a＝5时，x2﹣3x+1＞5，即x2﹣3x﹣4＞0，解得x＞4或x＜﹣1，故不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}；（2）由题意得x2﹣3x+1﹣a＞0恒成立，故Δ＝（﹣3）2﹣4（1﹣a）＜0，解得，所以实数a的取值范围是．18．（12分）（1）已知函数f（x）＝4x+2x+1+3，求函数f（x）的值域；（2）已知3m＝4n＝36，求值．【考点】函数的值域；对数的运算性质．【答案】（1）（3，+∞）；（2）1．【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，（2）根据指对互化，即可由对数的运算性质求解．【解答】解：（1）∵f（x）＝（2x）2+2⋅2x+3，令2x＝t（t＞0），则f（t）＝t2+2t+3＝（t+1）2+2（t＞0），由于f（t）在t∈（0，+∞）单调递增，所以f（t）＞f（0）＝3，故f（x）的值域为（3，+∞）；（2）由3m＝4n＝36，得，∴．19．（12分）设f（x）＝loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）＝2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间上的最值．【考点】复合函数的单调性；对数的运算性质；函数的定义域及其求法．【答案】（1）a＝2，（﹣1，3）；（2）最小值是log23，最大值是2．【分析】（1）利用代入法，结合对数型函数的定义域进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（1）＝2，∴f（1）＝loga2+loga2＝，解得a＝2，或a＝﹣2舍去，由得﹣1＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）；（2）由（1）知f（x）＝log2（1+x）+log2（3﹣x），x∈（﹣1，3）．∴．∵二次函数g（x）＝﹣（x﹣1）2+4的图像开口向下，对称轴为x＝1，∴g（x）在[，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．∵，g（1）＝4，g（2）＝3，∴g（x）min＝g（2）＝3，g（x）max＝g（1）＝4．∴当时，3≤﹣（x﹣1）2+4≤4．又∵y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，∴当时，．∴f（x）在区间上的最小值是log23，最大值是2．20．（12分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x）﹣ax﹣3在区间[2，3]上不单调，求实数a的取值范围．【考点】幂函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】（1）f（x）＝x2；（2）（4，6）．【分析】（1）根据幂函数的定义结合函数奇偶性分析求解；（2）根据二次函数单调性运算求解．【解答】解：（1）因为f（x）为幂函数，则m2﹣5m+7＝1，解得m＝2或m＝3，当m＝2时，则f（x）＝x为奇函数，不合题意；当m＝3时，则f（x）＝x2为偶函数