辽宁省鞍山市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷

24，则扇形的面积为（ 1i2z44iz的虚部为（

D．2 B．

sin21tan2

1 2 向左平移πyfx的一个零点是（

2 ．

​

在VABC中，abccosBcosA，则这个三角形一定是 等腰三角 B．直角三角 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角若tan2α422cos2α3sin2α（ 1cos1或 B．2或 VABCAD2BD1M为线段CE上的动点，则MAMC的最小值为（

z的叙述正确的是（zi3z

z11z的虚部为若z1，

zi1，则0zfxtan2xπ，则下列说法正确的是（ 3 f(x)的值域是 B．f(x)在定义域内是增函fx的最小正周期是T

f(x1的解集是

kπ,πkπk fxcos2xcosx，有下列四个结论，其中正确的结论为（ fx在区间3π3π 2πfxxπ3πfx的值域为2944

8 fxy 已知向量ab6

a

，b1，则3ab 若x0,π，sinxπ3，则sin2xπ 2

6

12 2 18361836 已知非零向量aba2b，且abb求a与b ab14b

3 已知

sinβα

π,π 2

cosπαtanπ

fgx2f2xfπx2在0π的值域

， 2在面积为S的VABCAB,C，所对的边分别为abc，且sinCsinBabsin c求角C若c23,S ，求VABC的周长若VABC为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求VABC面积的取值范围.拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（以下简称T点”）.通过研究发现三角形中的T点”满足到三角形三个顶点的距离和TATBTC最小.当VABC的三个内角均小于120时，使得AOBBOCCOA120的点O即为T点”；当VABC有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为T点”.试用以上知识解决下面问题已知VABCAB,C所对的边分别为abc若3bcsinA

①A②若bc4P为VABC的T点”PAPBPBPCPCPA 若acosBbcosAcP点为VABC的T点”PBPC2tPA，求实数t的最小值由扇形的周长和面积公式求解【详解】由扇形的周长公式得C2rl2r2r4r4解得r1，所以扇形的面积为S1r2α112 根据复数的模的计算公式得到2z44iz，从而判断其虚部

1i221i2z44i，即2z44iz22iz【详解】对于选项A：sin15∘cos15∘1sin30∘1；对于选项B：cos2πsin2πcosπ 3；对于选

∘

∘

tan45

2

31tan 21tan yfx图象相邻两条对称轴之间的距离为π，得到周期为πfxsin2xφy 用平移变换得 sin2x3φ图象，然后根据图象关于y轴对称，求得解析式即可 yfx图象相邻两条对称轴之间的距离为π，可知其周期为yf

y 将函 的图象向左平移3个单位后，得到函 y 所以2φkπ，kZ，即φk，kZ 又φ 6 由sin2x0得，2xkπ,kZ，即x

kπ

【详解】由图象知，函数的最小正周期T42ππ 3 即ω2π1A3，由五点对应法则代入2π,3

12πφπ2kπ,kZ，因为|φ|π，解得φπ

3sin1xπ，则f(0) 由正弦定理和三角恒等变换得到sinBsinA或cosC0【详解】abccosBcosA，由正弦定理得sinAsinBsinCcosBcosA，故sinAsinBsinCcosBsinCcosA，又sinBsinACsinAcosCcosAsinC所以sinBcosCsinAcosC0，即sinBsinAcosC0，所以sinBsinA或cosC0，由sinBsinABAABπ（舍去，由cosC0得Cπtanα简要求值的式子，带值计算即可得到答案【详解】tan2α42tanα4tanα1或2 1tan2α 22cos2α3sin2α1cos2α222cos2α16 1124cos2α6223tanαtanα根据题意结合余弦定理求得AE1,CE2,AC ，从而可求得CA•CE5，设CMλCE,0λ1，【详解】因为VABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，又QAD2BD1，AE2CE22AECEcosAE2CE22AECEcosCE2CA2则CECAcosACE 5，即CA•CE5

5 则MAMC(CACMCM

又0≤λ≤1，则λ5MAMC取最小值25 根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项Azi3i2iiziABz111

1iz的虚部为1Ba2CzabiabRza2aaabiaaabiaaa2

1，所以a2b2a2a2Dzi1z对应的点在以0,1为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最02，所以0z2，D正确.ABCxππ时，由tanx1πkπ2xππkπ,kZ22

D项AfxRAB项，由2xππkπkZxπkπkZfx的定义域为x|x

πkπ,kZ

由πkπ2xππkπkZ5πkπxπkπkZfx 5πkπ,πkπkZB 2 2 Cfx的最小正周期是TπCD项，当tππ时，由tant1πtπ22 πkπ2xππkπkZπkπxπkπ,kZ f(x1的解集是πkπ,πkπkZD项错误 2 2 Ax[π5π]fxBC xπ3πfx的解析式，设cosxt[1 44fx

ycosx是Rfxcos2xcosx，A：x[π5πfxcos2xcosx2cos2xcosx1，设cosxt[1

2]g(t)2t2t12(t1)29g(t在[1 ycosx在[π5π上单调递增，fx在[3ππA

2fxπcos(2x2π)cos(xπcos2xcosxf(xB错误；C： xπ3πfxcos2xcosx2cos2xcosx 44设cosxt[2,2]， 则h(t2t2t12(t1)29 因为t[2,2 所以h(t)

C, fx定义域为Rf(x)cos(2x)cos(x)cos2xcosxf(x，fx)yD正确；​根据|3ab

aab

计算可得结果9|a|9|a|6a|ba 3ab

99a6ab→→ →

93936313 2 故答案为 17x0,π以及sinxπ3

3求出cos(xπ4

6 6 sin2(xπ 24

π

) 6 果

cos2(x) 6

sin(2x )sin2(x) 4x

xππ

2

6 x π

3当6( )时，sinx

( sinxπ

6x

π 6 5 ，所

6, 1sin2(x1sin2(x

63)4所以sin2(xπ

3 6)2sin(x6)cos(x6)2 5cos2(xπ2cos2(xπ121617 6

所以sin(2xπ)sin2(xππsin2(xπ πcos2(xπ 2427

6 4

)cos 6

)sin 6 172172xπfxxπfx故n12π

2 2, fx在区间π5π5πππT，即可得T2π 1836

解得ω12，又ω4n2nN，当ω10时，fxcos10x 4 fx

π此时 cos10x2在区间 单调，满足题意 1836π.15（1）π（2）

→→ （1）由abb，得abb0，则abb

0a2b可求得a与b （2）ab

→14a

14a2b （1）abb，∴abb0→→∴abb→ → →∴abcosa,b →

0→ →∵a2b，∴2b

a,b

0∴→

→ a,b∵a,

0,π，∴a与b的夹角为 （2）∵ab

→14，∴a

14 ∵a2b，又由（1）知

→ a,b→∴7

14，∴b 16．(1)2(2)（1）因为απ,π，所以2απ,παππ

因为sin

5，所以cos2α

1sin22α25

3

（2）

π,π，所 2

24 因为sinβα100，所以βαππ，且cosβα310 25(310)

510 2 8

sinαsinαsinαsinα（1）

cosπαtanπ

（2）由（1）gx2cos2xcosπx221sin2xsinx22sin2xsinx4 ，令tsinx，Qx0π，t， 2htgx2t2t4，t对称轴为t1 1 1

当t4htmaxh42

4 当t1时，ht h12143，故函数gx的值域为3,33. 818．(1)(2) 43,23 利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角C先由三角形面积公式求出ab的值，再结合余弦定理求出ab的值，进而得到三角形的周长根据三角形面积公式得到ab与面积SA的范围，（1）sinCsinBcbcbabsin

ca2b2 所以c2b2a2ab，由余弦定理，cosC 因C0π，则Cπ

a2b22abcosCc2，即a2b2ab12又S1absinC3ab，由条件知S

，所以ab8 所以a2b220ab236ab6所以VABC周长为 6由

V

1ch1absinC4c

sin

sin

sin

4

，即得：b 2,a sin sin 1absinC1

2

3则

2sin

sin

sinAsin3 cosA cosA3sin2A11cos2

4 2sin2Aπ 6

由VABC

0A

πAπ 0 A 则π2Aπ5π1sin2Aπ143

23

6

即VABC面积的取值范围为4323 19．(1)①π；②2(2)13（1）①在V

中，由正弦定理得3sinBsinCsinA

QBπ（AC，有sinBsin(AC3sinAcosCcosAsinC)sinCsinA

3sinAcosC3cosAsinCsinCsinAQsinC0，tanA A(0Aπ②由①Aπ，则V

由T点”APBBPCAPC120

PAxPByPCz，由SVAPBSVBPCSVAPCSVABC1xy

31yz

31xz

314

3xyyzxz4 PAPBPBPCPAxy1yz1xz11422 2 2 （2）由acosBbcosAc，结合正弦定理sinAcosBsinBcosAsinC，有sin（AB)sinC，QABC均为三角形内角，ABCABCπ（舍A