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第七章数列素能培优(八)

子数列问题子数列问题是近几年高考的重点和热点，常出现在解答题中．其一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.2023年新课标Ⅱ卷出现在第18题，考查了奇偶项问题，难度中等．核心考向目录核心考向考向一奇偶项问题解：(1)由已知，a1＝1，a2＝a1＋1＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋1＝5，所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5，因为a2n＋1＝a2n＋2＝a2n－1＋1＋2＝a2n－1＋3，即a2n＋1－a2n－1＝3，所以数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列，对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求S2k－1.考向二公共项问题(2025·河南安阳模拟)已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且bn∈N*，若a1＝b2＝2，a1＋a2＋a3＝b1＋b2＋b3＋b4＝15.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设由{an}，{bn}的公共项构成的新数列记为{cn}，求数列{cn}的前5项和S5.两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．(2025·湖北宜昌模拟)已知{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1.(1)证明{bn－n}是等比数列，并求{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{an}与{bn}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立．按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn.解：(1)由题意可得an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，而b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1，变形可得bn＋1－(n＋1)＝3bn－3n＝3(bn－n)，b1－1＝3，故{bn－n}是首项为3，公比为3的等比数列，从而bn－n＝3n，即bn＝3n＋n(n∈N*)．(2)由题意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，因为3k，3m是3的倍数，考向三增减项问题对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差、等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项．(2025·湖北武汉模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－1(n∈N*)，bn＝log2(an－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)将数列{bn

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