2026届湖南省长沙市高三数学压轴冲刺方程不等式与应用建模分层训练卷（含答案解析、评分细则与学生作答区）第028组

2026届湖南省长沙市高三数学压轴冲刺方程不等式与应用建模分层训练卷（含答案解析、评分细则与学生作答区）第028组第页2026届湖南省长沙市高三数学压轴冲刺方程不等式与应用建模分层训练卷（含答案解析、评分细则与学生作答区）第028组适用对象：湖南省长沙市2026届高三学生考试时间：120分钟总分：150分答案解析状态：含参考答案、逐题解析、评分细则与学生作答区打印规格：A4黑白打印，试题区与答案区分页呈现

卷头说明考试时间：120分钟；满分：150分。适用对象：湖南省长沙市2026届高三学生，用于数学压轴冲刺阶段的方程、不等式与应用建模综合训练。作答说明：选择题请在答题表中填写选项；填空题只写最终结果；解答题须写出必要的推理、计算过程和结论。注意事项：所有答案均须写在学生作答区内；涉及实际问题时，应说明变量含义、取值范围和单位含义。答案另页提示：参考答案与解析置于试题结束后的新页，试题区不提前呈现答案。客观题答题表题号Q01Q02Q03Q04Q05Q06Q07Q08Q09Q10Q11Q12答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）Q01.（5分）方程x²-(a+1)x+a=0有两个不同正根的充要条件是（）。A.a>0B.a≥0C.a>0且a≠1D.a<0Q02.（5分）已知A={x|x²-5x+6≤0}，B={x||x-a|<1}。若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）。A.1≤a≤4B.1<a<4C.a≤1或a≥4D.2<a<3Q03.（5分）不等式log₂(x-1)+log₂(5-x)≥1的解集为（）。A.(1,5)B.[2,4]C.[3-√2,3+√2]D.(3-√2,3+√2)Q04.（5分）方程e^x=ax在x>0上有两个不同正根的条件是（）。A.0<a<eB.a=eC.a>eD.a≥eQ05.（5分）不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集是（）。A.[-3,4]B.[-2,3]C.(-2,3)D.[-1,2]Q06.（5分）若x>0，y>0，且2x+y=6，则xy的最大值为（）。A.9/2B.4C.6D.3√2Q07.（5分）方程x³-3x+a=0有三个不同实根的充要条件是（）。A.a<-2B.-2<a<2C.a=±2D.a>2Q08.（5分）在约束x+y≤5，x+2y≤8，0≤x≤2，y≥0下，z=2x+y的最大值为（）。A.5B.6C.7D.8二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全选对得5分，少选且无错选得2分，有错选得0分）Q09.（5分）设f_t(x)=x²-2tx+t。下列说法正确的是（）。A.f_t(x)≥0对一切实数x成立的充要条件是0≤t≤1B.f_t(x)=0有两个不同正根的充要条件是t>1C.t=2时，f_t(x)<0的解集为(2-√2,2+√2)D.t<0时，f_t(x)=0的两个根均为负数Q10.（5分）某资料包的需求模型为p=120-2q（p为单价，q为销量），成本模型为C(q)=20q+800。利润记为P(q)。下列判断正确的是（）。A.P(q)=-2q²+100q-800B.盈利时销量满足10<q<40C.最大利润为600D.取得最大利润时单价为70Q11.（5分）关于方程lnx=ax（x>0），下列说法正确的是（）。A.a<0时有且仅有一个正根B.a=1/e时唯一正根为x=1C.0<a<1/e时有两个正根D.a>1/e时无正根Q12.（5分）若x>0，y>0，且x+y=4，则下列不等式一定成立的是（）。A.x²+y²≥8B.1/x+1/y≥1C.xy≥4D.(x-1)(y-1)≤1三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）Q13.（5分）若不等式x²-2x+a≤0在区间[0,3]内至少有一个解，则实数a的最大值为__________。Q14.（5分）某资料包日利润模型为P(x)=-x²+100x-1600（x为正整数，单位：件）。要使利润为正，至少生产__________件，至多生产__________件。四、解答题（本大题共4小题，共80分。请写出必要的推理、计算与结论）Q15.（17分）已知函数f_a(x)=|x-a|+|x+1|。（1）当a=1时，解方程f_a(x)=4；（2）求使方程f_a(x)=4恰有两个不同实数解的a的取值范围。学生作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Q16.（19分）设h(x)=lnx/x（x>0）。（1）求h(x)的单调区间与最大值；（2）讨论方程lnx=ax的正根个数；（3）当0<a<1/e时，记方程的两个正根为α，β（α<β），证明1<α<e<β。学生作答区：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Q17.（21分）某学校为压轴冲刺阶段印制数学训练资料包。调研得到：单价p元时日销量q=360-4p（20≤p≤80），每份可变成本20元，固定成本3200元。（1）建立日利润P(p)关于单价p的函数模型；（2）求使日利润为正的单价范围；（3）求日利润最大时的单价、销量与最大利润；（4）若要求日销量不少于150份且单价取整数，求应选择的单价及对应利润。学生作答区：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Q18.（23分）已知a>0，函数F_a(x)=alnx-x+1（x>0）。（1）证明：当a=1时，F_1(x)≤0，且等号仅在x=1时成立；（2）讨论方程F_a(x)=0的正根个数，并说明根与1的相对位置；（3）在一个标准化投入模型中，约束F_a(x)≥0表示“达标”。若要求区间[1,3]内的每个投入方案均达标，求a的最小值，并写出此时达标区间。学生作答区：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________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参考答案与解析客观题与填空题答案题号Q01Q02Q03Q04Q05Q06Q07Q08Q09Q10Q11Q12Q13Q14答案CBCCBABCABCABDACDABD121，79分值55555555555555逐题解析Q01.答案：C解析：x²-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)，两个根为1与a。要两个不同正根，需a>0且a≠1。评分细则：选C得5分；错选、不选得0分。Q02.答案：B解析：A=[2,3]，B=(a-1,a+1)。两区间相交等价于a+1>2且a-1<3，即1<a<4。评分细则：选B得5分；把端点误取等号不得分。Q03.答案：C解析：定义域为1<x<5。由对数运算得(x-1)(5-x)≥2，化为x²-6x+7≤0，故解集为[3-√2,3+√2]。评分细则：选C得5分；漏写定义域导致开区间或错端点不得分。Q04.答案：C解析：e^x=ax等价于e^x/x=a。函数g(x)=e^x/x在x>0上最小值为e；当a>e时，直线水平高度与曲线有两个交点。评分细则：选C得5分；a=e只有一个重根。Q05.答案：B解析：按-1、2分段：x<-1时得x≥-2；-1≤x≤2时恒满足；x>2时得x≤3，合并为[-2,3]。评分细则：选B得5分；端点开闭错误不得分。Q06.答案：A解析：由y=6-2x得xy=x(6-2x)=-2x²+6x，当x=3/2时最大，此时y=3，最大值为9/2。评分细则：选A得5分。Q07.答案：B解析：令f(x)=x³-3x+a，f′(x)=3x²-3。极大值f(-1)=a+2，极小值f(1)=a-2。三不同实根需a+2>0且a-2<0，即-2<a<2。评分细则：选B得5分；含端点会出现重根，不得分。Q08.答案：C解析：可行域顶点为(0,0)、(2,0)、(2,3)、(0,4)。代入z=2x+y得0、4、7、4，最大值为7。评分细则：选C得5分。Q09.答案：ABC解析：判别式Δ=4t(t-1)。A由Δ≤0且二次项系数为正得到；B由两根和2t>0、积t>0、Δ>0得到t>1；C代入t=2可得x²-4x+2<0；D中t<0时两根异号。评分细则：多选题全对得5分；少选且无错选得2分；有错选得0分。Q10.答案：ABD解析：P(q)=pq-C(q)=(120-2q)q-(20q+800)=-2q²+100q-800。P(q)>0等价于(q-10)(q-40)<0；最大值在q=25处，为450，此时p=70。评分细则：全对得5分；少选且无错选得2分；选C不得分。Q11.答案：ACD解析：令h(x)=lnx/x，最大值为1/e。a<0时交点在(0,1)内唯一；0<a<1/e时有两个交点；a=1/e时唯一根为x=e；a>1/e时无根。评分细则：全对得5分；少选且无错选得2分；把唯一根误写为x=1不得分。Q12.答案：ABD解析：x²+y²=(x+y)²-2xy=16-2xy≥8，因为xy≤4；1/x+1/y=(x+y)/(xy)=4/(xy)≥1；C应为xy≤4；D中(x-1)(y-1)=xy-3≤1。评分细则：全对得5分；少选且无错选得2分；选C不得分。Q13.答案：1解析：存在x∈[0,3]使x²-2x+a≤0，等价于a≤2x-x²在[0,3]上的最大值。函数2x-x²在x=1处最大，最大值为1。评分细则：填1得5分；只写“a≤1”但未给最大值，酌情给3分。Q14.答案：21，79解析：P(x)>0等价于-x²+100x-1600>0，即x²-100x+1600<0，得20<x<80。因x为正整数，所以至少21件，至多79件。评分细则：两个空均正确得5分；只对一个空得2分；忽略整数条件写(20,80)得3分。解答题参考答案、评分细则与常见失分提醒Q15.答案与解析：（1）当a=1时，方程为|x-1|+|x+1|=4。若x≤-1，则-2x=4，得x=-2；若-1≤x≤1，则左边恒为2，不合；若x≥1，则2x=4，得x=2。因此解集为{-2,2}。（2）|x-a|+|x+1|表示数轴上点x到a与-1的距离和。两定点距离为|a+1|。当4>|a+1|时，方程有两个不同实数解；当4=|a+1|时，两个定点之间任一点均为解；当4<|a+1|时无解。故所求范围为-5<a<3。评分细则：第（1）问8分，其中分段或距离意义2分，三段讨论3分，得出x=-2、x=2各1分，完整写出解集1分。第（2）问9分，其中说明最小距离为|a+1|3分，列出4>|a+1|4分，化为-5<a<3两分。常见失分提醒：把4=|a+1|误判为两个解会丢关键分；只代入特殊a值不能代替参数讨论。Q16.答案与解析：（1）h′(x)=(1-lnx)/x²。故h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，最大值h(e)=1/e。（2）方程lnx=ax等价于h(x)=a。由h(x)在(0,1)上为负，在x=1处为0，在(1,+∞)上先增后减且最大值为1/e，可得：a<0时一个正根；a=0时一个正根x=1；0<a<1/e时两个正根；a=1/e时一个正根x=e；a>1/e时无正根。（3）当0<a<1/e时，h(1)=0<a，h(e)=1/e>a。由(1)的单调性可知，在(1,e)内有且仅有一个根α；又h(x)在(e,+∞)上递减并趋于0，所以在(e,+∞)内有且仅有一个根β，故1<α<e<β。评分细则：第（1）问7分，导数3分，单调性2分，最大值2分；第（2）问8分，转化为h(x)=a2分，按a的五类情况讨论6分；第（3）问4分，利用端点值与单调性各2分。常见失分提醒：讨论根个数时不能只看最大值，还要区分a<0与a=0；a=1/e的根是x=e，不是x=1。Q17.答案与解析：（1）销量q=360-4p，收入为p(360-4p)，成本为20(360-4p)+3200，故P(p)=p(360-4p)-20(360-4p)-3200=-4p²+440p-10400，定义域为20≤p≤80。（2）P(p)>0等价于-4p²+440p-10400>0，即p²-110p+2600<0。方程p²-110p+2600=0的根为55±5√17，所以盈利单价范围为55-5√17<