高等数学上册教学课件453

第1章函数、极限与连接1.1函数及其性质1.2极限的概念1.3无穷小量与无穷大量1.4极限的四则运算法则1.5两个重要极限1.6无穷小量的比较1.7函数的连续性

1.1函数及其性质一、函数的概念

1.区间与邻域

1)区间数学中讨论的量分为两类：常量与变量.在给定的问题中，不变的、保持一定值的量叫做常量;由于某种缘故变化着的，取不同值的量叫变量.任何一个变量，都有确定的变化范围，如果变量的变化范围是连续的，常用一种特殊的数集——区间来表示，例如：点x0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径.

因为|x－x0|＜δ相当于－δ＜x－x0＜δ，即x0－

δ＜x＜x0+δ，所以在几何上，邻域U(x0，δ)表示以点x0为中心，长为2δ的开区间(x0－

δ，x0+δ)，如图1-1所示.图1-1或

2.函数的定义现实世界中各种变化着的量不是孤立的，而是相互联系和相互制约的，这种变量间的相依关系反映到数学上就是函数，它描述了自然现象中量的变化规律.

例1圆的面积公式：

S=πr2

式中r是圆的半径，圆的半径不同，圆的面积也就不同，而π在圆的面积计算中总是不变的，因此，在这个给定的问题中，π是常量，圆的半径r和圆的面积S都是变量，当圆的半径r取定某一数值时，则圆的面积S

也随之有一个确定的数值与之对应，如r=1m时，S=3.14m2.图1-2例3某种牌号语音机，当单价为230元时，每月可销售1500台，如果单价每降低10元，则可多销售25台，单价不得低于160元.销量Q与单价P有如下关系：当P在允许的降价范围内变化时，销售量Q也随之有一个确定的值与之对应.综合上述各例，就其所涉及的应用领域而言，有几何的、气象的、经济的，但其共同本质是参与给定问题的变量之间存在相互依赖的关系，当其中一个变量在某一范围内每取一个数值时，按照某种确定的对应关系(如公式、图形和列表)，另一个变量就有一个确定的值与之对应.函数的一般概念正是这样抽象出来的.定义1设x和y

是两个变量，数集D是变量x的变化范围，如果对于属于D的每个数x，变量y按照一定的规律f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数，记作

y=f(x),x∈D称变量x是自变量，变量y是函数(或因变量),数集D是函数的定义域.若对于确定的x0∈D，通过对应规律f，函数y有确定的值y0与之对应，则称y0为y=f(x)在x0处的函数值，记作

y0=y|x=x0=f(x0)

全体函数值组成的集合，称为函数的值域，记作M.为了理解这个定义，说明以下几点：

(1)在函数定义中，仅要求对自变量x∈D，都有确定的y∈M与之对应，因此，常量y=C也符合函数的定义，因为当x∈R时，所对应的y

值都是确定的常数C，一般称y=C为常函数.

(2)若函数在某个区间上的每一点都有定义，则称这个函数在该区间上有定义.

(3)若对于D中的每个x的取值，y有唯一的值与之对应，称这样的函数为单值函数，否则叫做多值函数，以后我们所涉及和讨论的函数一般是指单值函数.

(4)一般函数的对应规律用字母“f”来表示，对不同的函数的对应规律可以用不同的字母来表示.

(5)函数通常有三种表示法。公式法(或解析法)：用一个数学表达式表示两个变量之间函数关系的方法，如例1.

图形法：用几何图形表示两个变量之间函数关系的方法，如例2.

列表法：用表格表示两个变量之间函数关系的方法，如例3.

(6)函数的定义中涉及定义域D、对应规律f和值域M三个因素，显然，给定D和f，M就被相应确定了，D和f就是决定一个函数的两个要素，于是两个函数相等的充要条件是定义域相同且对应规律相同.例如y=x2，u=r2甚至x=y2都是同一个函数，因为它们的定义域都是(－∞，+∞)，且对应规律都是因变量等于自变量的平方，这也表明因变量、自变量与字母无关.需要注意的是，同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的记号分别表示它们各自的对应规律.

(7)确定用公式法表示的函数的定义域，应考虑两种情况，一是确定使该式子有意义的自变量的全体，二是对实际问题要根据变量的实际变化范围来确定.一般地，应注意如下几点：

①分母不能为零;

②偶次根号下非负;图1-3图1-4图1-5常用到.定义9由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的，并且可以由一个式子表示的函数，叫做初等函数.了1.2极限的概念极限描述变量在某一过程中的变化趋势.极限方法是微积分研究采用的基本方法，微积分学中许多重要概念及其运算都离不开极限的概念和运算法则.用微积分研究实际问题，必须掌握极限的概念、性质和计算.研究函数的极限，就是研究当自变量在无限变化的状态下函数的变化趋势.

2.数列的极限下面讨论当n→∞时，会引起一般项xn什么样的变化趋势.观察上述5个数列在n无限增大时的变化趋势，可以看到:图1-6图1-7二、无穷大量图1-81.7函数的连续性图1-9图1-10图1-11第2章一元函数微分学2.1导数概念2.2导数的基本公式及运算法则2.3函数的微分2.4高阶导数2.5微分中值定理与洛比达法则2.6函数的单调性及其极值2.7函数的最值2.8曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘

2.1导数概念一、引例

1.求平面曲线的切线斜率在平面几何里,圆的切线定义为与曲线只有一个公共点的直线.显然这一定义具有特例的性质,不适用更一般的曲线,我们给出一般曲线的切线定义：在曲线Ｌ上一定点P0附近再取一点P,作割线P0P,当点P

沿曲线移动而趋近于P0时,割线

P0P

的极限位置P0T

称为曲线

L

在点P0处的切线(见图2-1).图2-1图2-22.2导数的基本公式及运算法则一、基本初等函数及常数的导数图2-3图2-4值得注意的是,该定理要求f(x)应同时满足三个条件,若f(x)不能同时满足这三个条件,则结论就可能不成立.图2-5直观地说明了当其中一个条件不满足时,结论不成立,即在开区间(a,b)内不存在水平切线.图2-5如果连续曲线除端点外,处处都具有不垂直于Ox

轴的切线,那么该曲线上至少有这样一点存在,在该点处曲线的切线平行于联结两端点的直线(如图2-6所示).图2-6因为0＜ξ＜x,所以即可得2.6函数的单调性及其极值图2-7图2-8图2-9图2-10图2-11图2-122.7函数的最值图2-132.8典线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘图2-15图2-17图2-18图2-19图2-20第3章一元函数积分学3.1不定积分的概念与性质3.2换元积分法3.3分部积分法3.4定积分的概念及性质3.5微积分基本公式3.6定积分的积分方法3.7定积分的应用

3.1不定积分的概念与性质一、原函数

数学的各种运算及其逆运算都是客观规律的反映.因此,一种运算的逆运算不光在数学中是可能的,而且也是解决实际问题所必须的.那么解决哪些实际问题应用导数运算的逆运算呢?

例如,若已知物体的运算规律(函数)是S=S(t),其中t是时间,s是距离,则导数s′(t)=v(t)就是物体在时刻t的瞬时速度.在力学中有时要遇到相反的问题.若已知物体的瞬时速度函数v(t),问物体的运动规律S(t)=?,即(?)′=v(t).显然,这是求导运算的逆运算问题.图3-13.2换元积分法图3-2图3-3图3-43.3分部积分法于是3.4定积分的概念及性质图3-5二、定积分的概念图3-7图3-8图3-9图3-10图3-11四、定积分的性质图3-13图3-143.5微积分基本公式图3-15解解3.7定积分的应用图3-16图3-17图3-19可见,方法2的计算更简便些.这就告诉我们在求平面图形的面积时,要依据平面图形,正确地选取积分变量.图3-20三、立体的体积

1.旋转体的体积一个平面图形绕这平面内的一条定直线旋转一周所成的立体叫旋转体,这条定直线叫做旋转轴.圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠都