2025-2026学年广西崇左市凭祥高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广西崇左市凭祥高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(−1,3),b=(x,−1)，且a/​/b，则A.3 B.−3 C.13 D.2.设复数z=−1+ii(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列说法正确的是(

)A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C.底面是矩形的四棱柱是长方体

D.三棱台有8个顶点4.已知a⋅b=−12且|b|=3，则向量a在向量A.−43b B.43b 5.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是(

)

A.6 B.32 C.12 6.已知在△ABC中，2B=A+C，b2=ac，则△ABC的形状是(

)A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形7.已知AB是圆O的弦，且AB=3，则AB⋅A.−32 B.−34 C.8.已知点P在△ABC所在平面内，若PA⋅(AC|AC|−AB|A.外心 B.垂心 C.重心 D.内心二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知α，β为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法错误的是(

)A.若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

B.若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C.若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面10.已知非零平面向量a，b，下列结论正确的是(

)A.若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b

B.若{a,b}是平面所有向量的一组基底，且{a+kb,ka+4b}不是基底，则实数k=±2

C.若存在非零向量c使得a11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.已知(a+b+c)(a+b−c)=(2+3)ab，则C=π6

C.已知a=7，b=23，c=5，则最小内角的度数为π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=(m+1)+(2−m)i(m∈R)是纯虚数，则|z+1|=

．13.《九章算术⋅商功》中将正四面形棱台(即正四棱台)建筑物称为方亭.现有一方亭ABCD−A1B1C1D1，已知AB=1，且该方亭的高为6，体积为2614.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为

m.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(2,1)，b=(−1,m)．

(1)若a⊥(a−b)，求实数m的值；

(2)若a与16.(本小题15分)

如图，在△ABC中，已知B=30°，D是边BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求：

(1)cos∠ADC；

(2)AB的长．17.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别为棱AA1、AB的中点．

(1)求证：E、F、C、18.(本小题17分)

如图，在四边形ABCD中，BC//AD，AD=3BC，E是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设AB=a，AD=b，AE=λAP(λ∈R)．

(1)若A(1,1)，D(7,4)，C(2,3)，E是线段CD的中点，求与BE同向的单位向量的坐标；

(2)若DE=2EC，用a，b19.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足b2+acac=sinAsinC+sinCsinA，c=12．

(1)求B；

(2)若D为线段BC上一点，且满足AD=BD，AC=321，求参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.C

6.D

7.D

8.D

9.ABC

10.BD

11.ABC

12.1013.3

14.1515.解：(1)因为a⊥(a−b)，

所以a⋅(a−b)=0，即a2−a⋅b=0，

又a=(2,1)，b=(−1,m)，

根据平面向量数量积的坐标运算可得22+12−[2×(−1)+1×m]=0，

解得m=7；

(2)因为a与b的夹角为135°，且向量a=(2,1)，b=(−1,m)，

所以根据两向量的夹角公式可得cos135°=2×(−1)+1×m22+12⋅(−1)2+m2，

所以−2+m5⋅1+m2=−22，

两边平方得m2−4m+45m2+5=12，所以5m2+5=2m2−8m+8，

所以3m217.(1)证明：如图，连线段EF、CD1、A1B，

∵AF=BF，AE=A1E，∴EF//A1B，

又∵长方体ABCD−A1B1C1D1，∴A1B//CD1，

∴EF//CD1，

则E、F、C、D18.解：(1)因为BC//AD，AD=3BC，所以BC=13AD=(2,1)，

因为C(2,3)，所以B(0,2)，

又E是线段CD上的中点，所以E(92,72)，

所以BE=(92,32)，|BE|=3102，

故与BE同向的单位向量为BE|BE|，其坐标为(319.解：(1)a，b，c满足b2+acac=sinAsinC+sinCsinA，

由题可得b2+acac=ac+ca⇒b2=a2+c2−ac，

所以co