2027届新高三数学热点复习指数式与对数式的运算

2027届新高三数学热点复习指数式与对数式的运算x根式aa

0没有意义3．指数幂的运算性质(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝________(a＞0，b>0，r∈Q).ar＋sarsarbr4．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．x＝logaNblogaM＋logaNlogaM－logaNN

××××答案：AB

答案：D

4．(人教A版必修一P126练习T1(2)改编)(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2＝________．答案：1解析：(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝1.命题点一指数式的化简与求值

学霸笔记：(1)首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．答案：C

答案：31

学霸笔记：(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质、换底公式，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算．164

答案：D

答案：D

学霸笔记：对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k>0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解．答案：A

命题点四指数式与对数式的实际应用例4

(链接·2025年北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(

)A．2 B．4C．20 D．40答案：B

真题探源

(源自人教A版必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M.2021年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?

学霸笔记：先弄清题目条件与所求之间的关系，再运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求．

答案：C

2．(2026·临汾模拟)已知2log2a＝3，log55b＝2，则a－b＝(

)A．3 B．1C．－1 D．－3答案：B3．已知2a＝5，log89＝b，则43b－3·4a＝(

)A．6 B．4C．2 D．1答案：A解析：因为3b＝3log89＝log29，所以23b＝9，所以43b＝(23b)2＝81，又4a＝(2a)2＝25，所以43b－3·4a＝81－75＝6.故选A.

答案：A

5．已知a>0，b>0且ab＝4，则(

)A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1C．2a·2b＝16 D．(2a)b＝16答案：D解析：由题意得A项中的log2a·log2b和C项中的2a·2b＝2a＋b的值无法确定；对于B，log2a＋log2b＝log2ab＝2；对于D，(2a)b＝2ab＝16.故选D.

答案：B

答案：B

8．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年相关部门相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的计划，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C(单位：A·h)、放电时间t(单位：h)、放电电流I(单位：A)三者之间满足关系C＝Ilog1.52·t.假设某款电动汽车的蓄电池容量为3074A·h，正常行驶时放电电流为15A，那么该汽车能持续行驶的时间大约为(参考数据：6×10log1.53≈3074)(

)A．60h B．45hC．30h D．15h答案：C

答案：BD

答案：ABD

答案：1

答案：6

(3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是2，2026的位数是4，试判断22026的位数．(注：lg2≈0.301)答案：设22026＝t，则lgt＝2026·lg2，又lg2≈0.301，所以lgt≈2026×0.301＝609.826，所以t≈10609.826，则t∈(10609，10610)，所以22026的位数为610.15．(5分)(2026·泰安模拟)已知3x＝4y＝6z，则3x，4y，6z的大小关系不可能为(

)A．3x＝4y＝6z B．3x<4y<6zC．3x>4y>6z