中考数学一轮复习（培优篇）：相似三角形的应用

中考数学一轮复习（培优篇）：相似三角形的应用一、单选题1．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对C．两人都对 D．两人都不对2．小明的身高为1.6m,某一时刻他在阳光下的影子长为2m，与他邻近的一棵树的影长为6m，则这棵树的高为（）A．3.2m B．4.8m C．5.2m D．5.6m3．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为()A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米4．如图，在□ABCD中，点E在BC边上，连结DE并延长交AB的延长线于点F.若CEBE=43，则A．1：3 B．3：7 C．4：7 D．3：45．如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m6．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（）A．5m B．7m C．7.5m D．21m7．中午1点，身高为165cm的小冰的影长为55cm，同学小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（）A．180cm B．175cm C．170cm D．160cm8．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A．4m B．6m C．8m D．12m9．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯子的长为（）A．3.5m B．3.85mC．4m D．4.2m10．如图，AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚距墙2米，梯子上的点D距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为()A．5.6米 B．6米 C．6.1米 D．6.2米11．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点A，B，C，D到支点O的距离满足AOOC=OBOD=2，且OA=OB．现在只要测得卡钳外端CA．图形的旋转 B．图形的平移C．图形的轴对称 D．图形的相似12．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm二、填空题13．如图，以矩形ABOD的两边OD、OB所在直线为坐标轴建立直角坐标系．若E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交OD于F点，若OF＝1，FD＝2，则G点的坐标为．14．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是m．15．如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是米.16．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．17．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．18．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到BC的距离OE为．三、综合题19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，CE为△ABC外接圆的切线，AE⊥CE于点E。（1）求证：∠ACE=∠B.（2）若AE=2，求CE的长.20．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度越来越（用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；（2）当小亮离开灯杆的距离OB=3.6m时，身高为1.6m的小亮的影长为1.2m，①灯杆的高度为多少m？②当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长变为多少m？21．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．22．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米．（1）求建筑物OB的高度；（2）求旗杆的高AB．23．如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC=2.4m．（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m，请求出旗杆DE的高度．24．如图，直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C，点B在x轴上，OB=OC，过点B作直线m∥CD．点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠POQ=45°（1）则∠PBO=度；（2）问：PB•CQ的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（3）求证：CQ2+PB2=PQ2．

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】D12．【答案】C13．【答案】（35，414．【答案】115．【答案】816．【答案】2017．【答案】518．【答案】2cm19．【答案】（1）证明：取AB的中点O,连接OC,CE为△ABC外接圆的切线，∴∠ECO=∠ACB=∴∠ECA=∠OCB,∵OB=OC,∴∠B=∠OCB,∴∠ACE=∠B.（2）解：∵AE⊥CE,∴∠E=∠ACB=90∠ACE=∠B.∴△ECA∽△CBA.∴AEA∴AC=4,CE=20．【答案】（1）短；如图所示，BE即为所求；（2）解：①先设OP=x米，则当OB=3.6米时，BE=1.2米，∵AB//PO，∴△AEB∽△PEO，∴ABOP=BE∴x=6.4；②当OD=6米时，设小亮的影长是y米，∵CD//OP，∴△FCD∽△FPO，∴DFDF+OD∴y6+y∴y=2．即小亮的影长是2米．21．【答案】（1）解：∵点D关于直线AE的对称点为F，∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，又∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠DAF，∵AB=AC，∴ABAD∴△ADF∽△ABC（2）解：∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB=AC∠DAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2（3）解：DE2=BD2+CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB=AC∠DAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2．22．【答案】（1）解：根据题意得：BC∥EG，∴∠BCO=∠EGF，∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△BOC∽△EFG，∴BOEF=OC∴BO=12米（2）解：根据题意得：AD∥EG，∴∠ADO=∠EGF，∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△AOD∽△EFG，∴AOEF=OD∴AO=15米，由（1）得BO=12米，∴AB=AO−BO=15−12=3（米），∴旗杆的高AB是3米．23．【答案】（1）解答：影子EG如图所示；；（2）解答：∵DG∥AC，∴∠G=∠C，∴Rt△ABC∽Rt△DGE，∴，即，解得，∴旗杆的高度为．24．【答案】（1）135（2）解：PB•CQ是定值，理由如下：∠OCQ=∠ODC+∠COD=45°+90°=135°=∠PBO，∵∠COQ+∠CQO=180°﹣∠OCQ=45°，∠BOP+∠BPO=180°﹣∠PBO=45°，∴∠COQ+∠CQO=∠BOP+∠BPO=45°，又∵∠COQ+∠BOP=∠BOC﹣∠POQ=90°﹣45°=45°，∴∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP，∴△COQ∽△BPO，∴CQBO（3）解：证明：过点