中考数学专题复习-锐角三角函数讲义

第十三讲锐角三角函数一、知识点梳理1.锐角三角函数：（1）在直角三角形中：①一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作：sinA；②一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作：cosA；③一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作：tanA。正弦：余弦：；正切：。（2）常见三角函数值：锐角α三角函数30°45°60°12.解直角三角形：解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：3.解直角三角形的类型：已知条件解法两直角边(如a，b)由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝eq\r(a2＋b2)斜边、一直角边(如c，a)由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝eq\r(c2－a2)一锐角与邻边(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝eq\f(b,cosA)一锐角与对边(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝eq\f(a,tanA)；c＝eq\f(a,sinA)斜边与一锐角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA4.锐角三角函数实际应用中的相关概念:(1)仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。(2)坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝eq\f(h,l)，坡面与水平面的夹角α叫坡角。(3)方向角：:指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线。(4)方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角。

5.三角函数常见模型:图1图2如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，变式为图2，则结论为二、真题练习1.（2022·天津）的值等于（

）A．2 B．1 C． D．2.（2022·贵州毕节）计算的结果，正确的是（

）A． B． C． D．3.（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（

）A． B． C． D．4.（2022·广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（

）A． B． C． D．5.（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（

）A． B． C． D．6.（2021·广东深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（

）A． B． C． D．7.（2022·内蒙古通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（

）A． B． C． D．8.（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（

）A． B． C． D．39.（2022·广西柳州）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为____m．10.（2020·湖北省直辖县级单位）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．11.（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么__．12.（2021·贵州黔西）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是___m．13.（2022·湖北武汉）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测杆顶E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：）14.（2022·吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85