中考数学总复习专项突破-几何图形与动点问题

中考数学总复习专项突破--几何图形与动点问题一、综合题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S＝425S△ABC2．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，①BP＝▲厘米，CP＝▲厘米．（用含t的代数式表示）②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值。（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇．3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且BE=CD，连接DE，过点A作AM⊥DE于M．（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为，使得AN=14．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间.5．已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、点C重合）．以AD为边作△ADE，且AD＝AE，连接CE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，当点D在边BC上时，试说明：①△ABD≌△ACE；②BC＝DC+CE；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，探究线段BC、DC、CE之间存在的数量关系，并说明理由．6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．（1）求证：△ABP∽△DPE；（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．7．如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=cm，PB=cm；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=20cm，AC=16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t>0）（1）求BC的长．（2）当PA=PB时，求t的值．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当点Q到达点B时，点P也停止运动．（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为35平方厘米；（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的四分之一？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．10．矩形管在我们日常生活中应用广泛，石油、天然气的运输，制造建筑结构网架，制造公路桥梁等领域均有应用．如图，若矩形管ABCD的两边长AB=20cm,AD=6cm，（1）若点PQ分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)（2）若点P在边AB上，从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，点Q在边BC上，从BC中点出发，沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当点P运动到AB中点时，点Q开始向上运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动时间为t秒，△PBQ的面积为mcm11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）当t＝时，四边形ABQP是矩形；（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；（3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值；（4）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是．12．如图，ΔABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒．（1）根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，ΔCPQ与ΔABC相似．13．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动.若P、Q同时出发运动时间为t（s）.（1）t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？14．如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以1.5cm/s的速度移动，在B点停止，点P，Q分别从A、C同时出发4秒钟后PQ＝210（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ.15．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，点D为BC边上的一个定点，连接AD，点P为AC边上一个动点．（1）如图1，若AD＝BP，CD＝2，求AP的长；（2）如图2，∠CAD＝20°，点Q为AD上的一个动点，连接PQ、PD，当线段PQ与PD之和最小时，求∠PDQ的度数；（3）在（2）问的条件下，将△ACD绕点D沿顺时针方向旋转得到△A′C′D，设旋转角为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，直线A'C'、直线A′D分别与AB所在的直线交于点E和F，是否存在这样的位置，使得△A'EF为等腰三角形？若存在，求出此时的旋转角α；若不存在，请说明理由．16．如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（－1，a）.且l1与y轴相交于C点，l（1）求直线l1（2）求四边形PAOC的面积；（3）若点Q是x轴上一动点，连接PQ、CQ，当△QPC周长最小时，求点Q坐标.

答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20-4t，因此Rt△CPQ的面积为S=12×(20−4t)×2t＝20t−4t2cm2∴S＝20t－4t2；（2）解：根据题意得：AP=4tcm，CP=AC-AP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，则当t=3秒时，CP=8cm，CQ=6cm，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴PQ=CP即当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是10cm；（3）解：列方程20t－4t2＝425×1∴t为2秒或3秒时S＝425S△ABC2．【答案】（1）解：①4t|（10-4t）②∵点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，运动的时间为t秒，∴CQ=at，当△BPE≌△CPQ时，∴BP=PC，BE=CQ，即8t=10，∴t=5∴54解得a=4.当△BPE≌△CQP时，∴BP=CQ，BE=PC∴−4t=−4，∴t=1，∴4=a，即a=4；以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，a的值为4.8或4（2）解：①当a=4.由题意得，4.解得t=37.∴点P共运动了37.5×4=150cm，∵150÷40=3334∵点P从B出发，走完3圈后再走30cm到A处，∴点P与点Q在点A相遇.；②当a=4时，点P与点Q的速度相等，∴点P与点Q不会相遇．（不符，舍去）答：经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．3．【答案】（1）解：补全图形如下图，DM与ME之间的数量关系为DM=ME．证明：连接AE，AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABE=180°-∠ABC=135°．∵由旋转，∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．∴∠ABE=∠ACD．∵AB=AC，BE=CD，∴△ABE≌△ACD．∴AE=AD．∵AM⊥DE于M，∴DM=EM．（2）解：CD=2证明：连接AD，AE，BM．∵AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=2．∵BE=CD=2，∴BE=BC．∵由（1）得DM=EM，∴BM是△CDE的中位线．∴BM=12CD，BM∥CD．∴∠EBM=∠ECD=90°．∵∠ABE=135°，∴∠ABM=135°=∠ABE．∵N为BE中点，∴BN=12BE=12CD．∴BM=BN．∵AB=AB，∴△ABN≌△ABM．∴AN=AM．∵由（1），△ABE≌△ACD，∴∠EAB=∠DAC，AD=AE．∵4．【答案】（1）解：设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12（2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t．∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得：t=4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN（3）解：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB．∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵AC=AB∠C=∠B∠AMC=∠ANB，∴△ACM≌△ABN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立，∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．5．【答案】（1）解：①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD（2）解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE；∴BD＝CE，∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD6．【答案】（1）证明：∵∠A=90°，∴∠ABP+∠APB=90°，∵PE⊥BP，∴∠EPD+∠APB=90°，∴∠ABP=∠EPD，∵AB//CD，∠A=90°，∴∠D=90°，∴ΔABP∽ΔDPE；（2）解：∵ΔABP∽ΔDPE，∴ABPD=AP则y=−12x（3）解：当四边形ABED为矩形时，DE=AB=2，即y=2，则−1解得，x1=1，∴当AP=1或AP=4时，四边形ABED能构成矩形．7．【答案】（1）2t；（5-t）（2）解：由题意得：（5-t）2+（2t）2=52，解得：t1=0，t2=2；当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；（3）解：存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30-26=4（cm2），（5-t）×2t×12解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1．即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．8．【答案】（1）解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴由勾股定理可得：BC2+AC2=AB2，BC=A=2=12；（2）解：∵点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，运动时间为t秒(t>0)，PA=PB，∴PA=PB=t，则PC=16−t，∵在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∴由勾股定理可得：PC即(16−t)2解得t=25∴当点P运动到PA=PB时，t的值为2529．【答案】（1）解：设运动时间为t，∵点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，AC＝12cm，BC＝16cm，∴PC=12−t，CQ=2t，∵∠C＝90°，∴S解得t=5秒或t=7秒，∴如果P、Q同时出发，5秒或7秒后，可使△PCQ的面积为35平方厘米；（2）解：∵∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，∴S∵△PCQ的面积等于△ABC的面积的四分之一，∴解得t=6+23或t=6−2当t=6+23时，CQ=2×(6+2∴存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的四分之一，运动的时间为(6−2310．【答案】（1）解：由题意得，BQ=x,AP=2x∵AB=20，∴BP=AB−AP=20−2x，∵S∴y=1即y=−∴y=−(x−5)∵a=−1<0，且0<x≤6,∴当x=5时，y最大值=25即ΔPBQ的最大面积是25c（2）解：∵m∴m与t的函数关系式为m=11．【答案】（1）8（2）解：四边形AQCP为菱形；理由如下：∵t＝6，∴BQ＝6，DP＝6，∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，∴AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，AQ＝AB2+B∴AQ＝CQ，∴平行四边形AQCP为菱形，∴当t＝6时，四边形AQCP为菱形；（3）8﹣42或8+42（4）6412．【答案】（1）t；（4﹣2t）（2）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若RtΔABC∽RtΔQPC，则ACBC=QC②若RtΔABC∽RtΔPQC，则PCQC=ACBC，即由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使ΔCPQ与ΔCBA相似，运动的时间为1.2或161113．【答案】（1）解：∵点A（0，6），B（8，0），∴AO＝6，BO＝8，∴AB＝AO∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AQ＝t，AP＝10﹣t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴APAO即10−t6解得t＝254②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴AQAO即t6解得t＝154综上所述，t＝154（2）解：如图，过点P作PC⊥OA于点C，则PC＝AP·sin∠OAB＝（10﹣t）×810＝4∴△APQ的面积＝12×t×4整理，得：t2﹣10t+20＝0，解得：t＝5+5＞6（舍去），或t＝5﹣5，故当t＝5﹣5（s）时，△APQ的面积为8cm2．14．【答案】（1）证明：P、Q同时出发4秒钟后:PC2=∴PC∵PQ=210，∴P∴PC∴∠PCQ=90°，即：∠ACB=90°.（2）解：设经过x秒钟后PQ=BQ，则：PC=AC−AP=6−x,CQ=1.5x，BQ=8−1.5x，∵PQ=BQ，∴PQ2=BQ2.∵PQ∴(6−x)2解得:x1=2，答:经过2秒钟后，PQ=BQ.15．【答案】（1）解：∵等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5∴BC＝AC＝5