2023-2024学年广东省广州市八区高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年广东省广州市八区高二（下）期末数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3＝1，S6＝4，则S9＝（）A．7 B．8 C．9 D．122．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＜4）＝0.6，则P（ξ＜2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．（5分）已知函数f（x）＝x﹣lnx，则f（x）单调递增区间是（）A．（﹣∞，0） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（0，1）4．（5分）五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（）A．42 B．72 C．78 D．965．（5分）2025有（）个不同的正因数．A．8 B．10 C．12 D．156．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x3456y2.5344.5若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为＝0.7+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（）吨A．5.25 B．5.15 C．5.5 D．9.57．（5分）下列四个不等式①lnx＜x＜ex，②ex﹣1≥x，③lnx≥x﹣1，④xlnx≥x﹣1中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A，B，C，D，E，F，G，H共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子前进i步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束．若此时棋子在点A处，则游戏过关．试问游戏结束时过关的概率为（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分。（多选）9．（6分）设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y＝2X﹣1．则下列结论正确的是（）X0123Pq0.20.10.2A．E（X）＝1.2 B．E（Y）＝1 C．D（X）＝1.4 D．D（Y）＝2.8（多选）10．（6分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形的LKL，依此方法一直继续下去．设第k个正方形面积为ak，则下列结论正确的是（）A．a3＝1cm2 B．a2＝16a6 C．前6个正方形面积和为 D．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近8cm2（多选）11．（6分）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%．则下列结论正确的是（）A．任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为0.06 B．任取一个零件，它是次品的概率为0.0525 C．如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若数列{an}满足an+1＝Sn+1，a1＝0，则a8＝．13．（5分）在（x+1）2+（x+1）3+（x+1）4+…+（x+1）10展开式中，含x2项的系数是．（用数字作答）14．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ae﹣x只有1个零点，则a的取值范围是．三、填空题：本题共5小题，每小题13分，共15分。15．（13分）函数f（x）＝x2+，λ∈R．（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线．与直线x+y＝0垂直，求切线l的方程；（2）若x＞0，f（x）≥1，求λ的取值范围．16．（15分）某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：性别足球合计喜欢不喜欢男生302050女生102030合计404080（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队．再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82817．（15分）数列{an}的首项，．（1）证明是等差数列，并求{an}的通项公式；（2）设，①当数列{bn}的项取得最大值时，求n的值；②求数列{bn}的前n项和Sn．18．（17分）3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）．（1）记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）对于两个不相互独立的事件M，N，若P（M）＞0，P（N）＞0，称为事件M，N的相关系数．①已知ρ（M，N）＞0，证明P（M|N）＞P（M）；②记事件E＝“B课外知识讲座有同学选择”，事件F＝“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求p（E，F）．19．（17分）已知函数f（x）＝e2x+2（1﹣a）ex﹣2ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，求证：f（x）＞lna﹣（2a﹣1）2+．

2023-2024学年广东省广州市八区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3＝1，S6＝4，则S9＝（）A．7 B．8 C．9 D．12【考点】求等差数列的前n项和．【答案】C【分析】等差数列{an}中，S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，结合等差数列的性质即可求解．【解答】解：等差数列{an}中，S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列因为S3＝1，S6＝4，所以1，3，S9﹣4成等差数列，所以6＝1+S9﹣4，则S9＝9．故选：C．2．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＜4）＝0.6，则P（ξ＜2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】D【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：因为随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＜4）＝0.6，所以P（ξ＜2）＝P（ξ＞4）＝1﹣P（ξ＜4）＝1﹣0.6＝0.4．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）＝x﹣lnx，则f（x）单调递增区间是（）A．（﹣∞，0） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（0，1）【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】B【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解．【解答】解：＝，x＞0，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，即函数的单调性递增区间为（1，+∞）．故选：B．4．（5分）五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（）A．42 B．72 C．78 D．96【考点】排列组合的综合应用．【答案】C【分析】安排甲值班时间，在安排乙的值班时间，然后安排其他成员即可．【解答】解：甲值班在第五天，有＝24种方法．甲不值第五天，且不值第一天，有＝54种方法．共有24+54＝78种．故选：C．5．（5分）2025有（）个不同的正因数．A．8 B．10 C．12 D．15【考点】分步乘法计数原理．【答案】D【分析】根据已知条件，对2025变形，再结合正因数的定义，即可求解．【解答】解：2025＝81×25＝34×52，故2025有（4+1）×（2+1）＝15个不同的正因数．故选：D．6．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x3456y2.5344.5若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为＝0.7+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（）吨A．5.25 B．5.15 C．5.5 D．9.5【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】A【分析】由表中数据，计算、，利用线性回归方程过样本中心点（，）求出a的值，写出线性回归方程，计算x＝7时的值即可．【解答】解：由表中数据，计算得＝×（3+4+5+6）＝4.5，＝×（2.5+3+4+4.5）＝3.5，且线性回归方程＝0.7x+a过样本中心点（，），即3.5＝0.7×4.5+a，解得a＝0.35，∴x、y的线性回归方程是＝0.7x+0.35，当x＝7时，估计生产7吨产品的生产能耗为＝0.7×7+0.35＝5.25（吨）．故选：A．7．（5分）下列四个不等式①lnx＜x＜ex，②ex﹣1≥x，③lnx≥x﹣1，④xlnx≥x﹣1中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等式比较大小．【答案】C【分析】由不等式的性质，以及构造函数进行分析即可．【解答】解：由题意可得：①构造函数f（x）＝x﹣ex，f'（x）＝1﹣ex，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴f（x）＜f（0）＝0，∴x＜ex，又由y＝lnx与y＝x的图象可知，当x＞0时，lnx＜x，∴lnx＜x＜ex，故①正确，②构造函数f（x）＝ex﹣1﹣x，f'（x）＝ex﹣1﹣1，由f′（x）＞0得x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，由f′（x）＜0得x＜1，∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，∴f（x）≥f（1）＝0，∴ex﹣1≥x，故②正确，③构造函数f（x）＝lnx﹣x﹣1，，由f′（x）＞0得0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为增函数，由f′（x）＜0得x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f（x）≤f（1）＝﹣2＜0，∴．lnx＜x+1，故③错误，④构造函数f（x）＝xlnx﹣x+1，f′（x）＝lnx，由f′（x）＞0得x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，由f′（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为减函数，∴f（x）≥f（1）＝0，∴．xlnx≥x﹣1，故④正确，∴①②④正确．故选：C．8．（5分）有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A，B，C，D，E，F，G，H共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子前进i步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束．若此时棋子在点A处，则游戏过关．试问游戏结束时过关的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】D【分析】根据题意棋子在点A处，可得三次骰子点数之和为8，16，再利用列举法以及古典概型知识可解．【解答】解：根据题意抛掷三次骰子，共有63＝216种组合，而棋子在点A处，可得三次骰子点数之和为8，16，而满足之和为8，16的情况有（1，2，5），（1，3，4），（1，1，6），（2，2，4），（2，3，3），（4，6，6），（5，5，6），共7种，前2种组合每种可以有种排列，共2×6＝12种组合，后5种各有3种排列，共有5×3＝15种组合，则游戏结束时过关的组合有12+15＝27种组合，则游戏结束时过关的概率为＝．故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分。（多选）9．（6分）设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y＝2X﹣1．则下列结论正确的是（）X0123Pq0.20.10.2A．E（X）＝1.2 B．E（Y）＝1 C．D（X）＝1.4 D．D（Y）＝2.8【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量的方差与标准差．【答案】BC【分析】利用概率和为1，求出p，再利用离散型随机变量的期望和方差公式可以判断A，C选项；再利用E（aX+b）＝aE（X）+b，D（aX+b）＝a2D（X），判断B，D选项．【解答】解：由图表可得p+0.1+0.2+0.2＝1，解得p＝0.5，∴E（X）＝0×0.5+1×0.2+2×0.1+3×0.2＝1，故A错误；E（Y）＝E（2X﹣1）＝2E（X）﹣1＝2×1﹣1＝1，故B正确；D（X）＝＝（0﹣1）2×0.5+（1﹣1）2×0.2+（2﹣1）2×0.1+（3﹣1）2×0.2＝0.5+0.1+0.8＝1.4，故C正确；D（Y）＝D（2X﹣1）＝4D（X）＝5.6，故D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形的LKL，依此方法一直继续下去．设第k个正方形面积为ak，则下列结论正确的是（）A．a3＝1cm2 B．a2＝16a6 C．前6个正方形面积和为 D．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近8cm2【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【答案】ABD【分析】由题意求出a1，a2，a3，得出{an}是等比数列，且公比为q＝，由此判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：由题意知，a1＝22＝4，a2＝＝2，a3＝12＝1，选项A正确；数列{an}是等比数列，且公比为q＝；所以a6＝a2q4＝，即a2＝16a6，选项B正确；因为S6＝＝，选项C错误；由题意知，Sn＝＝＝8，所以这些正方形的面积之和将趋近，选项D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%．则下列结论正确的是（）A．任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为0.06 B．任取一个零件，它是次品的概率为0.0525 C．如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为【考点】全概率公式；求解条件概率．【答案】BC【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D，依次分析选项：对于A，第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，则任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率P1＝6%×25%＝0.015，A错误；对于B，任取一个零件是次品的概率P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45＝0.0525，B正确；对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率P（B|D）＝＝，C正确；对于D，如果取到的零件不是第3台车床加工的，则该零件是第1、2台车床加工的，则该零件是次品的概率P2＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）＝0.06×0.25+0.05×0.3＝，D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若数列{an}满足an+1＝Sn+1，a1＝0，则a8＝64．【考点】数列递推式．【答案】64．【分析】由已知和与项的递推关系，结合等比数列的通项公式即可求解．【解答】解：因为数列{an}满足an+1＝Sn+1，所以an＝Sn﹣1+1，n≥2，两式相减得，an+1﹣an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，即an+1＝2an，因为a2＝1+a1＝1，则a8＝26＝64．故答案为：64．13．（5分）在（x+1）2+（x+1）3+（x+1）4+…+（x+1）10展开式中，含x2项的系数是165．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【答案】165．【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【解答】解：根据二项式的展开式，含x2项的系数为＝＝165．故答案为：165．14．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ae﹣x只有1个零点，则a的取值范围是{a|a＞}．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】{a|a＞}．【分析】由f（x）＝x2﹣ae﹣x＝0可得a＝x2ex，构造函数g（x）＝x2ex，问题转化为y＝a与y＝g（x）的图象只有一个交点，对g（x）求导，结合导数分析g（x）的单调性，结合函数性质即可求解．【解答】解：由f（x）＝x2﹣ae﹣x＝0可得a＝x2ex，令g（x）＝x2ex，则g′（x）＝（x2+2x）ex，当x＞0或x＜﹣2时，g′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞），（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，当x→﹣∞时，g（x）＜0，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（﹣2）＝，其大致图象如图所示，结合函数图象可知，当a＞时，y＝a与y＝g（x）有一个交点．故答案为：{a|a＞}．三、填空题：本题共5小题，每小题13分，共15分。15．（13分）函数f（x）＝x2+，λ∈R．（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线．与直线x+y＝0垂直，求切线l的方程；（2）若x＞0，f（x）≥1，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【答案】（1）x﹣y+1＝0；（2．【分析】（1）对函数f（x）求导，根据题意可得f′（1）＝2﹣λ＝1，得到λ的值，由此容易得解；（2）问题转化为λ≥x﹣x3在（0，+∞）恒成立，设g（x）＝x﹣x3，x＞0，求出g（x）的最大值即得解．【解答】解：（1），则f′（1）＝2﹣λ，又与直线x+y＝0垂直，则2﹣λ＝1，可得λ＝1，则，故所求切线方程为y﹣2＝x﹣1，即x﹣y+1＝0；（2）依题意，在（0，+∞）恒成立，即λ≥x﹣x3在（0，+∞）恒成立，设g（x）＝x﹣x3，x＞0，则g′（x）＝1﹣3x2，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则，故λ的取值范围为．16．（15分）某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：性别足球合计喜欢不喜欢男生302050女生102030合计404080（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队．再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．【答案】（1）能；（2）2.25．【分析】（1）利用独立检验即可求解；（2）按照分层抽样，先计算出抽取男生女生的人数，再利用超几何分布即可求解．【解答】解：（1）零假设为H0：学生对足球的喜欢与性别无关；根据χ2＝≈5.333＞3.841，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，即认为学生对足球的喜欢与性别有关；（2）按照分层抽样，应从喜欢足球的人群中抽取男生：×8＝6人，女生：×8＝2人，故X可能的取值为1，2，3，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，P（X＝3）＝＝＝，故分布列如下：X123P所以E（X）＝1×+2×+3×＝＝＝2.25．17．（15分）数列{an}的首项，．（1）证明是等差数列，并求{an}的通项公式；（2）设，①当数列{bn}的项取得最大值时，求n的值；②求数列{bn}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝2+；（2）①n＝8或n＝9；②99﹣．【分析】（1）由已知递推关系，结合等差数列的定义即可证，然后结合等差数列的通项公式即可求解；（2）①结合数列的单调性即可求解；②结合错位相减求和即可求解．【解答】证明：（1）因为数列{an}的首项，，所以an+1﹣2＝﹣2＝，所以＝＝1+，n≥2，故n≥2时，﹣＝1，＝2，故是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以＝2+n﹣1＝n+1，所以an＝2+；解：（2）①由（1）得，＝（n+1）×，假设数列{bn}的第n项取得最大值，则，解得，8≤n≤9，因为n∈N*，故n＝8或n＝9；②Sn＝2×+3×+…+（n+1）×，故Sn＝2×+3×+…+n×+（n+1）×，两式相减得，Sn＝2×+（）2+…+（）n﹣（n+1）×＝+﹣（n+1）×，＝9[1﹣（）n]﹣（n+1）×，所以Sn＝9+90﹣90×（）n﹣10（n+1）×＝99﹣90×（）n﹣10（n+1）×＝99﹣﹣（n+1）×．18．（17分）3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）．（1）记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）对于两个不相互独立的事件M，N，若P（M）＞0，P（N）＞0，称为事件M，N的相关系数．①已知ρ（M，N）＞0，证明P（M|N）＞P（M）；②记事件E＝“B课外知识讲座有同学选择”，事件F＝“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求p（E，F）．【考点】求解条件概率；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．【答案】（1）X的分布列为：X0123P＞A6627E（x）＝1．（2）①证明过程见解答；②．【分析】（1）依题意可得，根据