2023-2024学年广东省梅州市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年广东省梅州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＞1}，则A∩（∁RB）＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，2} D．{﹣1，1}2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx+cosx＜32，则￢A．∀x∈R，sinx+cosx＞3B．∀x∈R，sinx+cosx≥3C．∃xD．∃3．（5分）若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要4．（5分）小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为13，在罚球点处投篮命中的概率为2A．1027 B．1727 C．23275．（5分）(2xA．6 B．18 C．﹣6 D．﹣186．（5分）1sin10°A．4 B．2 C．1 D．17．（5分）若制作一个容积为32cm3的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（）cm．A．2 B．22 C．238．（5分）已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（）A．14 B．13 C．38二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N(λ，σ12A．λ＜μ B．σ1＞σ2 C．P（λ≥x0）＞P（μ≥x0） D．P（λ≥x0）＜P（μ≥x0）（多选）10．（6分）某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如如图所示，则（）附：χ2α0.0500.0100.001χα3.8416.63510.828A．可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多 B．用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65 C．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关 D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关（多选）11．（6分）已知函数f（x，y）＝（2x+6﹣siny）2+（x﹣cosy）2，当且仅当x=x0y=y0，fA．g（y）＝f（0，y）的最大值为37 B．h（x）＝f（x，0）的最小值为645C．F（x）＝f（x，y0）在x＝x0处导数等于0 D．当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则均值E（ξ）＝．ξ10﹣1P0.50.3q13．（5分）写出在x＝0处的切线方程为y＝2x+1的一个二次函数g（x）＝．14．（5分）摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为1（rad/s），如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间t（s）的函数表达式xt＝；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式yt＝．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），(ω＞0，−π2≤φ≤π2（1）求ω和φ的值；（2）若α∈（0，π），f(α2)=（3）若∃x∈[0，π2]，使得关于x的不等式f（x）≤m16．（15分）某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：单价x/元180190200210220月销量y/个5752423227（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）参考公式：b̂=i=1nxi17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣alnx，a＞0，（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．18．（17分）如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有R1，R2两个易堵点，R1处出现堵车的概率为12，且当R1出现堵车时，R2出现堵车的概率为23；当R1不堵车时，R2出现堵车的概率为14；主干道Ⅱ有S1，S2，S3（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？19．（17分）设集合P⊆N*，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：①Q⊆N*，且Q中至少有两个元素；②对于任意m，n∈P，当m≠n，都有m+n∈Q；③对于任意u，v∈Q，若v＞u，则v﹣u∈P；则称集合Q为集合P的“耦合集”．（1）若集合P1＝{2，4，6}，求集合P1的“耦合集”Q1；（2）集合P2＝{a1，a2，a3，a4}，ai∈N∗，i＝1，2，3，4，且a1＜a2＜a3＜a4，若集合P2（i）求证：对于任意1≤i＜j≤4，有aj﹣ai∈P2；（ii）求集合P2的“耦合集”Q2的元素个数．

2023-2024学年广东省梅州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＞1}，则A∩（∁RB）＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，2} D．{﹣1，1}【考点】集合的交并补混合运算．【答案】B【分析】结合补集、交集的定义，即可求解．【解答】解：B＝{x|x2＞1}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，则∁RB＝{x|﹣1≤x≤1}，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩（∁RB）＝{﹣1，0，1}．故选：B．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx+cosx＜32，则￢A．∀x∈R，sinx+cosx＞3B．∀x∈R，sinx+cosx≥3C．∃xD．∃【考点】求全称量词命题的否定．【答案】D【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．【解答】解：p：∀x∈R，sinx+cosx＜32，则￢p为：∃x0∈R，故选：D．3．（5分）若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要【考点】充分条件的判断．【答案】C【分析】举反例判断充分及必要性可得结论．【解答】解：由3＞﹣4，得不出32＞（﹣4）2，所以“x＞y”是“x2＞y2”的不充分条件，又（﹣3）2＞22，得不出﹣3＞2，所以“x＞y”是“x2＞y2”的不必要条件．故选：C．4．（5分）小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为13，在罚球点处投篮命中的概率为2A．1027 B．1727 C．2327【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】C【分析】取对立事件，结合独立事件概率乘法公式求得P(A【解答】解：记其通过面试为事件A，若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中，则P(A所以P(A)=1−P(A.故选：C．5．（5分）(2xA．6 B．18 C．﹣6 D．﹣18【考点】二项式定理的应用．【答案】A【分析】利用组合数的性质列式求解即可．【解答】解：(2x2−1x故选：A．6．（5分）1sin10°A．4 B．2 C．1 D．1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】A【分析】对原式通分后利用两角和公式和二倍角公式化简整理即可．【解答】解：1sin10°故选：A．7．（5分）若制作一个容积为32cm3的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（）cm．A．2 B．22 C．23【考点】棱柱的体积．【答案】D【分析】设底面边长为xcm，高为ycm，根据体积公式用x表示出y，代入表面积公式得出表面积S关于x的函数，利用导数求出此函数的极小值点即可．【解答】解：设长方体底面边长为xcm，高为ycm，则x2y＝32，即y=32∴长方体的表面积（不包括上底面）为S(x)=x∴S′(x)=2x−128令S'（x）＝0，得x＝4，当0＜x＜4时，S'（x）＜0，当x＞4时，S'（x）＞0，∴S（x）在（1，4]上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，∴当x＝4时，S（x）取得最小值，答：当容器底面边长为4cm时，所使用材料最省．故选：D．8．（5分）已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（）A．14 B．13 C．38【考点】求解条件概率．【答案】B【分析】设相应事件，根据独立事件概率乘法公式求P（A），P（AB），进而结合条件概率公式分析求解．【解答】解：记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A，“从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B，则P(A)=2所以P(B|A)=P(A)故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N(λ，σ12A．λ＜μ B．σ1＞σ2 C．P（λ≥x0）＞P（μ≥x0） D．P（λ≥x0）＜P（μ≥x0）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】AD【分析】结合正态分布图象，直接判断．【解答】解：由图可知，λ＜μ，σ1＜σ2，故A正确；B错误；由图可知，P（μ≥x0）＞12，P（λ≥x0）＜12，故故选：AD．（多选）10．（6分）某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如如图所示，则（）附：χ2α0.0500.0100.001χα3.8416.63510.828A．可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多 B．用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65 C．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关 D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关【考点】独立性检验．【答案】AC【分析】根据题意分析相应的人数，即可判断A；对于B：求相应的频率，用频率估计概率，分析判断；对于CD：可得列联表，求χ2的值，结合独立性检验的思想分析判断．【解答】解：由题意可知：抽取的女生人数为12001200+1500抽取的男生人数为15001200+1500对于女生：热爱阅读的人数为80×0.8＝64，不热爱阅读的人数为80×0.2＝16，对于男生：热爱阅读的人数为100×0.5＝50，不热爱阅读的人数为100×0.5＝50，对于选项A：因为64＞50，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A正确；对于选项B：其热爱阅读的频率为64+50180用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B错误；对于选项CD：根据题意可得列联表：性别热爱阅读合计是是否女生641680男生5050100合计11466180零假设H0：学生是否热爱阅读与性别无关，则χ2根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可知零假设H0不成立，所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C正确，D错误．故选：AC．（多选）11．（6分）已知函数f（x，y）＝（2x+6﹣siny）2+（x﹣cosy）2，当且仅当x=x0y=y0，fA．g（y）＝f（0，y）的最大值为37 B．h（x）＝f（x，0）的最小值为645C．F（x）＝f（x，y0）在x＝x0处导数等于0 D．当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4【考点】函数最值的应用．【答案】BC【分析】由已知可得g（y）＝37﹣12siny可判断A；h(x)=f(x，0)=5(x+115)由已知可得F（x）＝f（x，y0）在x＝x0处导数等于0，判断C；设n=2x+6m=x，所以点M（m，n）的轨迹为直线n＝2m+6，令a=cosyb=siny，则N（a，b）的轨迹方程为a2+b2＝1，进而求最小值，判断【解答】解：对于A：g（y）＝f（0，y）＝（6﹣siny）2+（﹣cosy）2＝36﹣12siny+sin2y+cos2y＝37﹣12siny≤49，当siny＝﹣1时，最大值为49，故A错误；对于B：h(x)=f(x，0)=(2x+6−sin0)当且仅当x=−115时取等号，故对于C：因为函数f（x，y）＝（2x+6﹣siny）2+（x﹣cosy）2，当且仅当x=x0y=y0，f所以F（x）＝f（x，y0）在x＝x0处导数等于0，故C正确；对于D：设n=2x+6m=x所以点M（m，n）的轨迹为直线n＝2m+6，令a=cosyb=siny，则N（a，b）的轨迹方程为a2+b2又f（x，y）＝（2x+6﹣siny）2+（x﹣cosy）2表示点M与N的距离的平方，又|MN|min=|2×0−0+6|12所以f（x，y）min＝（65−1）2=41故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则均值E（ξ）＝．ξ10﹣1P0.50.3q【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】0.3．【分析】根据分布列的性质结合期望的公式列式求解．【解答】解：由题意可得：0.5+0.3+q=1E(ξ)=1×0.5+0×0.3+(−1)×q解得：E（ξ）＝0.3．故答案为：0.3．13．（5分）写出在x＝0处的切线方程为y＝2x+1的一个二次函数g（x）＝．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】x2+2x+1（满足ax2+2x+1（a≠0）均可）．【分析】设二次函数g（x）＝ax2+bx+c（a≠0），根据题意可得g(0)=1g′(0)=2【解答】解：设二次函数g（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则g′（x）＝2ax+b，由题意可得g(0)=c=1g′(0)=b=2，例如取a＝1，则g（x）＝x2+2x故答案为：x2+2x+1（满足ax2+2x+1（a≠0）均可）．14．（5分）摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为1（rad/s），如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间t（s）的函数表达式xt＝；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式yt＝．【考点】三角函数应用．【答案】2t﹣2sint；2﹣2cost．【分析】作辅助线，分析可知∠ACE＝t，OD＝2t，根据图形结合直角三角函数分析求解．【解答】解：设标记点为A，圆心为C，作AB⊥x，CD⊥x，AE⊥CD，如图所示：旋转时间ts，则∠ACE＝t，OD＝2t，则CE＝2cost，BD＝AE＝2sint，可得OB＝OD﹣BD＝2t﹣2sint，AB＝DE＝CD﹣CE＝2﹣2cost，所以xt＝2t﹣2sint，yt＝2﹣2cost．故答案为：2t﹣2sint；2﹣2cost．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），(ω＞0，−π2≤φ≤π2（1）求ω和φ的值；（2）若α∈（0，π），f(α2)=（3）若∃x∈[0，π2]，使得关于x的不等式f（x）≤m【考点】函数恒成立问题；正弦函数的奇偶性和对称性．【答案】（1）ω＝2，φ=−π（2）cos(α+3π（3）[2，+∞）．【分析】（1）利用周期可求ω＝2，由函数图象关于直线x=π3对称，可求（2）由已知可得sin(α−π6)=13（3）求得f（x）max＝2，可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为相邻两个零点的距离为π2，所以周期为π，所以2πω=π所以f（x）＝2sin（2x+φ），函数f（x）＝2sin（2x+φ）的图象关于直线x=π所以2sin(2×π3+φ)=±1所以φ=kπ−π6，k∈Z，又−（2）所认f(x)=2sin(2x−π6)，f(所以sin(α−π6)=13，因为α∈又sin(α−π6)=所以cos(α−πcos(α+3π（3）因为f(x)=2sin(2x−π6)则有−π6＜2x−π6＜5π由∃x∈[0，π2]，使得关于x的不等式f（x所以m≥2，实数m的取值范围为[2，+∞）．16．（15分）某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：单价x/元180190200210220月销量y/个5752423227（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）参考公式：b̂=i=1nxi【考点】一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线．【答案】（1）ŷ＝﹣0.8x+202；（2）196元．【分析】（1）利用表中的数据先求出x=20，y=420，再把表中数据代入公式求得b̂＝﹣0.8，（2）由总利润等于销售单价减去进货价再乘以月销售量，易得总利润函数Q（x）＝﹣0.8x2+314x﹣28280，再利用二次函数的最值求得单价．【解答】解：（1）由表中数据求得：x=15则b̂=i=1â=y−b̂故y关于x的回归直线方程为ŷ＝﹣0.8x+202；（2）设每月的总利润Q（x）＝（﹣0.8x+202）（x﹣140）＝﹣0.8x2+314x﹣28280，因为抛物线y＝Q（x）的对称轴方程为x=314所以该商品月利润最大时的单价为196元．17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣alnx，a＞0，（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】（1）函数f（x）有极小值f（1）＝0，无极大值；（2）（0，1]∪[6，+∞）．【分析】（1）求导，利用导数分析f（x）的单调性和极值；（2）求导，分类讨论函数f（x）在区间[1，2]上的单调性，结合导数与原函数单调性之间的关系分析求解．【解答】解：（1）若a＝1，则f（x）＝x2﹣x﹣lnx，可知f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=2x−1−1令f′（x）＞0，解得x＞1；令f（x）＜0，解得0＜x＜1；可知f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，所以函数f（x）有极小值f（1）＝0，无极大值．（2）因为f′(x)=2x−1−ax，且若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则有：当函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，则f′(x)=2x−1−ax≥0，可得a≤2x2原题意等价于a≤2x2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，可知y＝2x2﹣x在区间[1，2]上为单调递增函数，当x＝1时，y＝2x2﹣x取到最小值1，可得0＜a≤1；当函数f（x）在区间[1，2]上为单调递减函数，则f′(x)=2x−1−ax≤0，可得a≥2x2原题意等价于a≥2x2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，可知y＝2x2﹣x在区间[1，2]上为单调递增函数，当x＝2时，y＝2x2﹣x取到最大值6，可得a≥6；综上所述：0＜a≤1或a≥6，所以a的取值范围为（0，1]∪[6，+∞）．18．（17分）如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有R1，R2两个易堵点，R1处出现堵车的概率为12，且当R1出现堵车时，R2出现堵车的概率为23；当R1不堵车时，R2出现堵车的概率为14；主干道Ⅱ有S1，S2，S3（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】（1）49（2）58（3）主干道Ⅱ．【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率乘法公式，计算即可．（2）根据题意，由相互独立事件的概率乘法公式，计算即可．（3）根据题意，计算期望时间进行比较即可．【解答】解：（1）主干道恰有一次堵车概率P1（2）主干道l遇堵车概率P2（3）若选择主干道l，则堵车期望时间E(t若选择主干道Ⅱ，则堵车期望时间E(t因为E（t1）＞E（t2）．所以选择主干道Ⅱ更好．19．（17分）设集合P⊆N*，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：①Q⊆N*，且Q中至少有两个元素；②对于任意m，n∈P，当m≠n，都有m+n∈Q；③对于任意u