2023-2024学年广东省清远市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年广东省清远市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的A，B，C三所中学抽取130名学生进行调查，已知A，B，C三所学校中分别400，560，340名学生，则从C学校中应抽取的人数为（）A．34 B．40 C．56 D．682．（5分）要得到函数f(x)=sin(2x−23)，x∈R的图象，只需将函数g（x）＝sin2x，xA．横坐标向左平移π3个单位长度，纵坐标不变B．横坐标向右平移π3个单位长度，纵坐标不变C．横坐标向右平移13个单位长度，纵坐标不变D．横坐标向左平移133．（5分）下列说法中，正确的是（）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台4．（5分）将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）A．π6 B．π C．4π D．65．（5分）弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米的关系可用函数h＝Asinωt（A＞0，ω＞0）来确定，其图象如图所示，则ω的值是（）A．π8 B．π6 C．π46．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，AB→=a→，BC→A．6 B．4+22 C．42 D．227．（5分）设z为复数，若|z+2i|＝1，则|z|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为（）A．4(5+2) B．23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”，G＝“点数大于2”，H＝“点数不大于2”，R＝“点数为1”．则下列结论正确的是（）A．E，F为对立事件 B．G，H为互斥不对立事件 C．E，G不是互斥事件 D．G，R是互斥事件（多选）10．（6分）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：甲6871727282乙6670727879则（）A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差（多选）11．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足m→=(1，−3)，n→A．a+c＝2b B．角B的最大值为π3C．A：C＝1：2 D．若asinA＝4csinC，则cosA=−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）复数z＝3﹣4i，则z2+i的虚部为13．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π3，b=21，a＝4，则c14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，AD＝22，PA＝2，则P到平面ABE的距离为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知复数z=m2−m−6（1）z为实数；（2）z为纯虚数；（3）z为虚数．16．（15分）某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；（2）求a，b的值；（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．17．（15分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC+3（1）求B；（2）若C=π4且△ABC的面积为3+318．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB=2AD=2（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求证：CD⊥PD；（3）若直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为13，求二面角B﹣PC﹣D19．（17分）将连续正整数1，2，3，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数123…n，F（n）为这个数的位数．例如：当n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，则F（12）＝15．现从这个数中随机取一个数字，P（n）为恰好取到0的概率．（1）求P（101）；（2）当n≤2024时，求F（n）的表达式；（3）令f（n）为这个数中数字9的个数，g（n）为这个数中数字0的个数，h（n）＝f（n）﹣g（n），S＝{n|h（n）＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时P（n）的最大值．

2023-2024学年广东省清远市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的A，B，C三所中学抽取130名学生进行调查，已知A，B，C三所学校中分别400，560，340名学生，则从C学校中应抽取的人数为（）A．34 B．40 C．56 D．68【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【答案】A【分析】根据分层随机抽样的抽样方法可得．【解答】解：由题意抽样比为130400+560+340所以从C学校中应抽取的人数为340×1故选：A．2．（5分）要得到函数f(x)=sin(2x−23)，x∈R的图象，只需将函数g（x）＝sin2x，xA．横坐标向左平移π3个单位长度，纵坐标不变B．横坐标向右平移π3个单位长度，纵坐标不变C．横坐标向右平移13个单位长度，纵坐标不变D．横坐标向左平移13【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】C【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可．【解答】解：将函数g（x）＝sin2x，x∈R的图象上各点横坐标向右平移13得f(x)=sin2(x−1故选：C．3．（5分）下列说法中，正确的是（）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台【考点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；棱柱的结构特征．【答案】B【分析】根据题意，由棱锥的定义分析A，由多面体的定义分析B，由棱柱的定义分析C，由棱台的定义分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，底面是正多边形的棱锥且顶点在底面的射影为底面的中心的棱锥是正棱锥，A错误；对于B，一个多面体至少有4个面，B正确；对于C，棱柱的定义是有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，C错误；对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，D错误．故选：B．4．（5分）将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）A．π6 B．π C．4π D．6【考点】球的表面积；球外切几何体．【答案】B【分析】据题意可得可能制作的最大球即为棱长为1的正方体的内切球，从而可求解．【解答】解：根据题意可得可能制作的最大球即为棱长为1的正方体的内切球，∴该球的半径为r=1∴可能制作的最大球体零件的表面积为4πr2＝π．故选：B．5．（5分）弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米的关系可用函数h＝Asinωt（A＞0，ω＞0）来确定，其图象如图所示，则ω的值是（）A．π8 B．π6 C．π4【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】C【分析】由函数的图象可知周期，进而求出ω的值．【解答】解：因为T2=6﹣2＝4，可得T＝8所以ω=π故选：C．6．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，AB→=a→，BC→A．6 B．4+22 C．42 D．22【考点】平面向量的加法．【答案】C【分析】根据已知条件，结合勾股定理，以及向量的线性运算法则，即可求解．【解答】解：正方形ABCD的边长为2，则|ACAB→=a→，故|a→+b故选：C．7．（5分）设z为复数，若|z+2i|＝1，则|z|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数的模．【答案】A【分析】设z＝a+bi，a，b∈R，根据题意求出a，b的关系，再根据复数的模的公式即可得解．【解答】解：设z＝a+bi，a，b∈R，由|z+2i|＝1，得a2所以a2＝1﹣（b+2）2＝﹣b2﹣4b﹣3，由a2＝1﹣（b+2）2≥0，解得﹣3≤b≤﹣1，则|z|=a所以当b＝﹣1时，|z|min＝1．故选：A．8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为（）A．4(5+2) B．23 【考点】平面的基本性质及推论；棱柱的结构特征．【答案】D【分析】设CC1的中点为P，连接NP，DP，D1M，AM，AD1，则根据三垂线定理可得D1M⊥DN，同理可得AM⊥DN，从而可得DN⊥平面AMD1，即得平面α截正方体AC1所得的截面为△AMD1，解三角形即可求解．【解答】解：如图，设CC1的中点为P，连接NP，DP，D1M，AM，AD1，则根据正方体的性质易知NP⊥平面DCC1D1，∴DN在平面DCC1D1内的射影为DP，又M为棱DC的中点，CC1的中点为P，∴易得D1M⊥DP，∴根据三垂线定理可得D1M⊥DN，同理可得AM⊥DN，又D1M∩AM＝M，∴DN⊥平面AMD1，∴平面α截正方体AC1所得的截面即为△AMD1，又易知AM＝D1M＝25，AD1＝42，可得cos∠AMD1=A可得sin∠AMD1=1−co∴平面α截正方体AC1所得的截面面积S△AMD1=12AM•MD1•sin∠AMD1=1故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”，G＝“点数大于2”，H＝“点数不大于2”，R＝“点数为1”．则下列结论正确的是（）A．E，F为对立事件 B．G，H为互斥不对立事件 C．E，G不是互斥事件 D．G，R是互斥事件【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式．【答案】ACD【分析】根据互斥事件和对立事件的定义求解．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，即E，F为对立事件，A正确；点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即G，H为对立事件，B错误；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即E，G不是互斥事件，C正确；点数大于2与点数为1不可能同时发生，即G，R是互斥事件，D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：甲6871727282乙6670727879则（）A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差【考点】极差；平均数；方差．【答案】ABC【分析】根据已知数据求出甲与乙的极差、平均数、方差、甲乙两组数据混合后的方差，进行比较，即可得出答案．【解答】解：对于A，由已知可得，甲组数据的极差为82﹣68＝14，乙组数据的极差为79﹣66＝13＜14，故A正确；对于B，由已知可得，甲组数据的平均数为68+71+72+72+825=73，乙组数据的平均数为66+70+72+78+795对于C，由已知可得，甲组数据的方差为15乙组数据的方差为15[(66−73)对于D，由前面可知甲乙两组数据混合后，方差为110×[(112故选：ABC．（多选）11．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足m→=(1，−3)，n→A．a+c＝2b B．角B的最大值为π3C．A：C＝1：2 D．若asinA＝4csinC，则cosA=−【考点】解三角形；平面向量数量积的坐标运算．【答案】ABD【分析】选项A，由m→⋅n→=0，结合平面向量数量积的坐标运算，即可作出判断；选项B，结合余弦定理与基本不等式，可得cosB≥12，知B∈（0，π3]，从而作出判断；选项C，举反例，A＝B＝C=π3；选项D，利用正弦定理化角为边，可得a＝2c，再结合a+【解答】解：对于选项A，因为m→所以m→⋅n→=（a+b+c）﹣3（a﹣b+c）＝﹣2a+4b﹣2c＝0，即a+c对于选项B，由余弦定理知，cosB=a2+c2因为B∈（0，π），所以B∈（0，π3即角B的最大值为π3，故选项B对于选项C，举反例，当A＝B＝C=π3时，满足a+c＝2b，但A：C＝1：2不成立，故选项对于选项D，由正弦定理及asinA＝4csinC，得a2＝4c2，即a＝2c，因为a+c＝2b，所以b=32由余弦定理知，cosA=b2+故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）复数z＝3﹣4i，则z2+i的虚部为【考点】复数的实部与虚部；复数的运算．【答案】−11【分析】先利用复数的除法运算求出z2+i【解答】解：∵复数z＝3﹣4i，∴z2+i=∴z2+i的虚部为−故答案为：−1113．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π3，b=21，a＝4，则c【考点】余弦定理．【答案】5．【分析】利用余弦定理cosB=a2+c2−b22ac【解答】解：在△ABC中，已知B=π3，b=21由余弦定理得cosB=a2+即c2﹣4c﹣5＝0，解得c＝5或c＝﹣1，而c＞0，所以c＝5．故答案为：5．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，AD＝22，PA＝2，则P到平面ABE的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【答案】26【分析】取AB的中点F，连接EF，可证EF为三棱锥E﹣PAB的高，求出三棱锥E﹣PAB的体积，连接AC，取AC的中点O，连接EO，求出各边长度可证△ABE是等边三角形，利用等体积法，即可算出P到平面ABE的距离．【解答】解：取AB的中点F，连接EF，AC，取AC的中点O，连接EO，∵E是PC的中点，底面ABCD是矩形，∴EF∥BC，且EF=12BC=12又PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AB，而PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB，即EF为三棱锥E﹣PAB的高，VE−PAB在Rt△ABC中，AC=AB在Rt△PAB中，PB=P则PB＝BC，∴EB⊥PC，在Rt△PAC中，PC=PA2在Rt△BCE中，BE=B又∵E，O分别是PC，AC的中点，PA⊥底面ABCD，∴EO∥PA，且EO=12PA=1，EO在Rt△AOE中，AE=A则AE＝AB＝BE＝2，∴△ABE是等边三角形，设P到平面ABE的距离为d，则VP−ABE故答案为：26四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知复数z=m2−m−6（1）z为实数；（2）z为纯虚数；（3）z为虚数．【考点】纯虚数．【答案】（1）5；（2）m＝3或﹣2，（3）（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，5）∪（5，+∞）．【分析】（1）由z为实数可得虚部等于0且分式的分母不等于0，联立求解即可；（2）由z为纯虚数可得实部等于0，虚部不等于0且分式的分母不等于0，联立求解即可．（3）结合虚数的概念，即可求解．【解答】解：（1）∵z为实数，∴m2﹣2m﹣15＝0且m+3≠0，解得m＝5，∴当m＝5时，z是实数；（2）∵z为纯虚数，∴m2解得m＝3或﹣2，∴当m＝3或﹣2时，z是纯虚数．（3）z为虚数，则m2−2m−15≠0m+3≠0，解得m故m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，5）∪（5，+∞）．16．（15分）某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；（2）求a，b的值；（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）70；（2）a＝0.025，b＝0.005；（3）77.5．【分析】（1）可利用频率分布直方图来估计众数，即取频率最大的那组中点值；（2）可利用频率分布直方图来计算概率和为1，再联立方程组求解即可；（3）利用频率分布直方图中的面积和为0.8来计算第80百分位数．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，第三组[65，75）数据频率最大，取中点值为65+752所以估计这100名候选者面试成绩的众数为70；（2）由频率分布直方图中的频率和为1可得，10•（b+a+0.045+0.02+b）＝1，化简得：2b+a＝0.035，又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则10•（0.045+0.02+b）＝0.7，化简得：b＝0.005，所以a＝0.025；（3）第一组[45，55）频率为0.05，第二组[55，65）频率为0.25，第三组[65，75）频率为0.45，第四组[75，85）频率为0.2，所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为x，则0.05+0.25+0.45+（x﹣75）•0.02＝0.8，解得：x＝77.5，即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为77.5．17．（15分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC+3（1）求B；（2）若C=π4且△ABC的面积为3+3【考点】利用正弦定理解三角形．【答案】（1）B=π（2）c＝22．【分析】（1）利用正弦定理及两角和与差的三角函数可求得B；（2）依题意，可求得△ABC中BC边上的高为h=32c，又a＝ccosB+bcosC=【解答】解：（1）△ABC中，A＝π﹣（B+C）⇒sinA＝sin（B+C），∵bcosC+3∴由正弦定理得：sinBcosC+3sinBsinC﹣sin（B+C）﹣sinC即sinBcosC+3sinBsinC﹣（sinBcosC+cosBsinC）﹣sinC=3sinBsinC﹣cosBsinC﹣sin又sinC＞0，∴3sinB﹣cosB＝2sin（B−π6）＝1⇒sin（B−π6）=12，又B∈（0，π）⇒B−∴B−π∴B=π（2）若C=π4，且△ABC的面积为由正弦定理得：bsinB=csinC，即设△ABC中BC边上的高为h，则h＝csinB=32又a＝ccosB+bcosC=12c+32∴S△ABC=12ah=12×3+12∴c2＝8，解得c＝22．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB=2AD=2（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求证：CD⊥PD；（3）若直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为13，求二面角B﹣PC﹣D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【答案】（1）证明过程见解答．（2）证明过程见解答．（3）52【分析】（1）连接AC，可得MN∥AC，则得MN∥平面ABCD；（2）由已知可得△ABD，△BCD都是等腰直角三角形，则CD⊥DB，又得PB⊥平面ABCD，则得PB⊥CD，则CD⊥平面PBD，得CD⊥PD；（3）由已知和（2）得∠PDB是直线PD与底面ABCD所成的角，进而证得∠DFE是二面角B﹣PC﹣D的平面角，再利用三角形相似求得EF=2【解答】解：（1）证明：如图，连接AC，∵M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，∴MN∥AC，又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（2）证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD=2CD=∴AB＝AD＝1，CD=2，BC∴BD=AD2+AB2=2，∴BD∴△ABD，△BCD都是等腰直角三角形，且CD⊥DB，又平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，即PB⊥BC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PB⊂平面PBC，∴PB⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，∴PB⊥CD，∵PB∩DB＝B，PB、DB⊂平面PBD，∴CD⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD．（3）已知2AB＝2AD=2直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为13由（2）知，CD＝BD=2，PB⊥平面ABCD则∠PDB是直线PD与底面ABCD所成角，则cos∠PDB=DB∴在Rt△PBD中，PD＝32，PB＝4，取BC的中点E，连接DE，过E作PC的垂线交PC于F，连接DF，由DE⊥BC，DE⊂平面ABCD，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，可得DE⊥平面PBC，又EF、PC⊂平面PBC，∴DE⊥EF，DE⊥PC，EF⊥PC，∴∠DFE是二面角B﹣PC﹣D的平面角，∵DE＝AB＝1，∠PBC＝90°，又△CFE∽△CBP，∴CFEF又CE=1在Rt△CEF中，由勾股定理得CF2+EF2＝CE2，∴EF=255，∴tan∠∴二面角B﹣PC﹣D的正切值为5219．（17分）将连续正整数1，2，3，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数123…n，F（n）为这个数的位数．例如：当n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，