2023-2024学年广西北海市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年广西北海市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合U＝{x∈Z|x2≤4}，A＝{0，2}，则∁UA＝（）A．[﹣2，0] B．（1} C．{﹣2，1} D．{﹣2，﹣1，1}2．（5分）设某质点的位移xm与时间ts的关系是x＝1﹣t+t2，则质点在第2s时的瞬时速度等于（）A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s3．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，am+1＝2am（n∈N*），则S6等于（）A．120 B．122 C．124 D．1264．（5分）已知a＝2﹣1.3，b＝ln3，c=1A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c5．（5分）若函数y＝f（x）﹣1是定义在R上的奇函数，则f（﹣2）+f（0）+f（2）＝（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣36．（5分）若正数x，y满足x2﹣xy+2＝0，则x+y的最小值是（）A．22 B．23 C．47．（5分）在等比数列{an}中，a2，a6是函数f(x)=12x2−8x+mlnx的两个极值点，若a3a5＝3A．3 B．﹣3 C．﹣9 D．98．（5分）若一段河流的蓄水量为v立方米，每天水流量为k立方米，每天往这段河流排水r立方米的污水，则t天后河水的污染指数m(t)=rk+(m0−rk)e−A．98 B．105 C．117 D．130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．“1a＞1b”是“aB．“A＝∅”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件 C．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有（）A．an＝6n﹣5 B．当k＝2时，bn＝2n﹣1 C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项 D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6（多选）11．（6分）已知函数f(x)=lnx−x+1A．f（x）的定义域为（0，+∞） B．f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为52C．f(1D．f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2＝1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）命题p：∀x＞0，3x﹣x+2＞0的否定是．13．（5分）若函数f（x）=12e2x+（1﹣a）x14．（5分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝51，则a1a2⋯an的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，直线y＝kx+1与曲线C相切于点（1，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数F（x）＝f（x）﹣2x﹣3在区间[0，2]上的最大值和最小值．16．（15分）在等比数列{an}中，已知a2＝4，8a1+a3＝24．（1）求公比q及数列{an}的通项公式；（2）求a2+a4+a6+…+a100的值．17．（15分）已知函数f（x）＝log2（x2﹣1）﹣log2（x﹣1）．（1）证明：f（x）的定义域与值域相同；（2）若∀x∈[7，+∞），∀t∈（0，+∞），f（x）+1t2−18．（17分）设数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3+a7＝18，S10＝100．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2n2ana19．（17分）已知a⩾1，函数f（x）＝axlnx﹣xa+1．（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；（2）若x＞1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

2023-2024学年广西北海市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合U＝{x∈Z|x2≤4}，A＝{0，2}，则∁UA＝（）A．[﹣2，0] B．（1} C．{﹣2，1} D．{﹣2，﹣1，1}【考点】求集合的补集．【答案】D【分析】求出集合U，利用补集定义能求出∁UA．【解答】解：∵A＝（0，2}，集合U＝{x∈Z|x2≤4}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴∁UA＝{﹣2，﹣1，1}．故选：D．2．（5分）设某质点的位移xm与时间ts的关系是x＝1﹣t+t2，则质点在第2s时的瞬时速度等于（）A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s【考点】瞬时变化率．【答案】B【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．【解答】解：x（t）＝1﹣t+t2，则x'（t）＝﹣1+2t，故x'（2）＝﹣1+2×2＝3，所以质点在第2s时的瞬时速度等于3m/s．故选：B．3．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，am+1＝2am（n∈N*），则S6等于（）A．120 B．122 C．124 D．126【考点】数列递推式；等比数列的概念与判定．【答案】D【分析】根据题意，由等比数列的定义可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，数列{an}中a1＝2，满足am+1＝2am（n∈N*），则数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S6故选：D．4．（5分）已知a＝2﹣1.3，b＝ln3，c=1A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【答案】A【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：∵0＜2−1.3＜由对数的运算性质可得ln3＞lne＝1，∴b∈（1，+∞），又1=12lo∴a＜c＜b．故选：A．5．（5分）若函数y＝f（x）﹣1是定义在R上的奇函数，则f（﹣2）+f（0）+f（2）＝（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【考点】抽象函数的奇偶性；奇函数偶函数的性质．【答案】A【分析】根据题意，设F（x）＝f（x）﹣1，由函数奇偶性的性质可得f（x）+f（﹣x）＝2，求出f（0）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣1，由于函数y＝f（x）﹣1是定义在R上的奇函数，则F（x）+F（﹣x）＝0，即f（x）﹣1+f（﹣x）﹣1＝0，变形可得：f（x）+f（﹣x）＝2，则有f（2）+f（﹣2）＝2．又由F（0）＝f（0）﹣1＝0，所以f（0）＝1，故f（﹣2）+f（0）+f（2）＝2+1＝3．故选：A．6．（5分）若正数x，y满足x2﹣xy+2＝0，则x+y的最小值是（）A．22 B．23 C．4【考点】运用基本不等式求最值．【答案】C【分析】根据基本不等式求解．【解答】解：由题意可得y=x+2∴x+y＝x+x+2x=2（x+1x所以x+y的最小值为4．故选：C．7．（5分）在等比数列{an}中，a2，a6是函数f(x)=12x2−8x+mlnx的两个极值点，若a3a5＝3A．3 B．﹣3 C．﹣9 D．9【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】D【分析】由等比数列下标和性质及a3a5＝3a4求出a2•a6＝9，再根据函数存在极值点条件求解即可．【解答】解：因为{an}为等比数列，a3a5＝3a4≠0，所以a3a5=a42所以a2f′(x)=x−8+mx(x＞0)，令f′（x）＝0，即x2﹣8x由题意得，a2，a6是方程x2﹣8x+m＝0的两个相异正根，则a2•a6＝m＝9，Δ＝64﹣4×9＞0，符合题意．故选：D．8．（5分）若一段河流的蓄水量为v立方米，每天水流量为k立方米，每天往这段河流排水r立方米的污水，则t天后河水的污染指数m(t)=rk+(m0−rk)e−A．98 B．105 C．117 D．130【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】C【分析】化简函数式得m(t)=m0e−1【解答】解：由题意知，r＝0，vk=60，所以设约t天后，河水的污染指数下降到初始值的17，即m所以−160t＝ln17，解得t即需要的天数大约是117天．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．“1a＞1b”是“aB．“A＝∅”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件 C．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件【考点】充分条件的判断．【答案】BD【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及充要条件的定义，即可求解．【解答】解：当a＝2，b＝3时，满足12＞13，但a＜A＝∅能推出A∩B＝∅，充分性成立，A∩B＝∅不一定能推出A＝∅，例如A＝{1}，B＝{2}，满足A∩B＝∅，但A≠∅，故B正确；当a＞c，b＝0时，ab2＝cb2，故C错误；a2+b2≠0与|a|+|b|≠0能互推，故a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件，故D正确．故选：BD．（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有（）A．an＝6n﹣5 B．当k＝2时，bn＝2n﹣1 C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项 D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6【考点】等差数列通项公式的应用．【答案】ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式即可逐项求解．【解答】解：对A，因为等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，所以an＝1+6（n﹣1）＝6n﹣5，故A正确；对B，当k＝2时，{bn}公差d=63=2，此时bn＝1+2（n﹣1）＝2n对C，当k＝2时bn＝2n﹣1，此时b19＝2×19﹣1＝37，若b19是数列{an}中的项，则6n﹣5＝37，解得n＝7是整数，则b19是数列{an}中的项，故C错误；对D，当k＝6时，b1＝a1，又a2＝b1+6+1＝b8，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f(x)=lnx−x+1A．f（x）的定义域为（0，+∞） B．f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为52C．f(1D．f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2＝1【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】BCD【分析】求出定义域可判断A；利用导数的几何意义可判断B；计算f（1x）+f（x）即可判断C；利用函数单调性以及零点存在性定理，根据选项C可判断D【解答】解：函数f(x)=lnx−x+1则x＞0x−1≠0，可得x＞0且x≠1，即函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故Af′(x)=1则f′(2)=12+2(2−1)2=52，即f（1x）+f（x）＝ln1x−1x+11x−1由f′(x)=1x+2(x−1又f(e)=lne−e+1f(e所以函数f（x）在（e，e2）存在x0，使f(x由C可得f（1x0）＝﹣f（x所以f（x）在定义域内有两个零点，x1=1x0，x2＝x0，所以x1x2故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）命题p：∀x＞0，3x﹣x+2＞0的否定是．【考点】求全称量词命题的否定．【答案】∃x＞0，3x﹣x+2≤0．【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．【解答】解：命题p：∀x＞0，3x﹣x+2＞0的否定是：∃x＞0，3x﹣x+2≤0．故答案为：∃x＞0，3x﹣x+2≤0．13．（5分）若函数f（x）=12e2x+（1﹣a）x【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】（﹣∞，2]．【分析】对f（x）求导，由已知可得f'（x）＝e2x+1﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤e2x+1，求出e2x+1的最小值即可得解．【解答】解：由f(x)=12e2x+(1−a)x，得f′（x）＝e因为f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以f'（x）＝e2x+1﹣a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤e2x+1，又因为x∈（0，+∞）时，e2x+1＞2，所以a≤2，即a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．14．（5分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝51，则a1a2⋯an的最小值为．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的前n项和．【答案】8125【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式求出q和a1的值，进而可得等比数列{an}的通项公式，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，该数列为正项数列且S4＝3，S8＝51，则q＞0且q≠1，则有S4S8又由S4＝3，则S4=a故an＝a1qn﹣1=2故当n≤3时，an＜1，当n≥4时，an＞1，故a1a2⋯an的最小值为a1故答案为：8125四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，直线y＝kx+1与曲线C相切于点（1，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数F（x）＝f（x）﹣2x﹣3在区间[0，2]上的最大值和最小值．【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】（1）f（x）＝x3﹣x+3；（2）最大值为2，最小值为﹣2．【分析】（1）由题意，先通过切点，求出k的值；再利用f（x）的导函数和切点求出a，b的值，最后代入即可得f（x）的解析式．（2）先得到F（x）的解析式，对F（x）进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，结合端点值即可得到函数F（x）在区间[0，2]上的最值．【解答】解：（1）因为切点为（1，3），所以k+1＝3，解得k＝2，易知f′（x）＝3x2+a，此时f′（1）＝3+a＝2，解得a＝﹣1，所以f（x）＝x3﹣x+b，又f（1）＝3，解得b＝3，则f（x）＝x3﹣x+3；（2）由（1）知f（x）＝x3﹣x+3，所以F（x）＝x3﹣3x，可得F′（x）＝3x2﹣3，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当1＜x＜2时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，所以当x＝1时，F（x）取得极小值，极小值F（1）＝﹣2，又F（0）＝0，F（2）＝2．则当x∈[0，2]时，F（x）的最大值为2，最小值为﹣2．16．（15分）在等比数列{an}中，已知a2＝4，8a1+a3＝24．（1）求公比q及数列{an}的通项公式；（2）求a2+a4+a6+…+a100的值．【考点】由等比数列中若干项求通项公式或其中的项．【答案】（1）an=2n或an（2）当q＝2时，a2+a4+a6+…+a100=4(1−当q＝4时，a2【分析】（1）由已知结合等比数列的通项公式即可求解；（2）结合等比数列的求解公式即可求解．【解答】解：（1）由题意得，32q即q2﹣6q+8＝0，解得：q＝2或q＝4，当q＝2时，an当q＝4时，an＝4n﹣1；（2）当q＝2时，a1＝2，∴a2+a4+a6+…+a100=4(1−当q＝4时，a1＝1，a217．（15分）已知函数f（x）＝log2（x2﹣1）﹣log2（x﹣1）．（1）证明：f（x）的定义域与值域相同；（2）若∀x∈[7，+∞），∀t∈（0，+∞），f（x）+1t2−【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．【答案】（1）详见解答过程；（2）（﹣∞，3）．【分析】（1）结合对数函数的定义域及值域的求解即可证明；（2）先判断f（x）的单调性，结合单调性及二次函数的性质及不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．【解答】（1）证明：由x2−1＞0x−1＞0所以f（x）的定义域为（1，+∞），f(x)=log因为f（x）＝log（x+1）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）＝log22＝1，所以f（x）的值域为（1，+∞），所以f（x）的定义域与值域相同．（2）解：由（1）知f（x）＝log2（x+1）在（7，+∞）上单调递增，所以当x∈[7，+∞）时，f（x）min＝f（7）＝3．设g(x)=1当1t=1，即t＝1时，g（因为任意x∈[7，+∞），t∈（0，+∞），f(x)+1所以m﹣1＜f（x）min+g（t）min＝2，即m的取值范围为（﹣∞，3）．18．（17分）设数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，a3+a7＝18，S10＝100．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2n2ana【考点】裂项相消法．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）证明见解析．【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差