2023-2024学年广西南宁二中、柳铁一中高三(上)调研数学试卷

2023-2024学年广西南宁二中、柳铁一中高三（上）调研数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2＜0}，B＝{﹣1，2}，那么A∪B（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1}2．（5分）已知复数z满足z•（2+i）＝3+4i（其中i为虚数单位），则|z|＝（）A． B．2 C． D．3．（5分）设数列{an}满足a1+3a2+⋯+（2n﹣1）an＝n，则a4＝（）A．7 B． C． D．4．（5分）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（）A． B． C． D．5．（5分）函数的图象可能是（）A． B． C． D．6．（5分）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x（单位：万元）的Logistic模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为（）（参考数据：ln3≈1.1，ln2≈0.7）A．4万元 B．8万元 C．6万元 D．5万元7．（5分）已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|FA|•|FB|＝（）A． B． C． D．28．（5分）已知函数，对于∀x∈R，f（x）≤f（π），且f（x）在区上单调递增，则ω的最大值是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知向量，，则下列说法正确的是（）A．若，则m＝5 B．若∥，则m＝﹣2 C．若，则m＝﹣1 D．若m＝1，则向量，的夹角为钝角（多选）10．（5分）随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98，下面说法正确的是（）A．这组数据的极差为48 B．为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70 C．为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70 D．这组数据的第75百分位数是84.5（多选）11．（5分）已知直线l：（m+2）x+y﹣m﹣3＝0，P（x，y）是圆C：x2+y2+2x﹣3＝0上的一点，则（）A．直线l过定点（1，1） B．圆C的半径是 C．点P可能在圆x2+y2＝1上 D．点P到直线l的最大距离是（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）A．三棱锥B1﹣C1D1P的体积为定值 B．存在点P，使得D1P⊥平面A1BC1 C．若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D．若点P是AB的中点，点Q是BC的中点，经过D1，P，Q三点的正方体的截面周长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在的展开式中，常数项等于．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy＝x+y+3，则xy的最小值为．15．（5分）如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥B﹣ACD，则其外接球的体积为．16．（5分）若方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）设AD是BC边上的高，且AD＝2，，求b+c的值．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面ABEF为菱形，平面ABEF⊥平面ABCD，M为棱BE的中点．（1）若点N为DE的中点，求证：MN∥平面ABCD；（2）若，∠EBA＝60°，求平面MAD与平面EFD夹角的余弦值．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，，n∈N*．（1）求{an}的通项公式；（2）设，，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（12分）某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如表：x102030406080yy1y2y3y4y5y6（1）根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）（2）某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩．据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为，，，，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况．（最后结果精确到个位）附：，，在线性回归直线方程中，．21．（12分）已知双曲线C：经过点，右焦点为F（c，0），且c2，a2，b2成等差数列．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，证明：是定值．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

2023-2024学年广西南宁二中、柳铁一中高三（上）调研数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2＜0}，B＝{﹣1，2}，那么A∪B（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，2} C．{﹣1，2} D．{﹣1}【考点】并集及其运算．【答案】B【分析】可求出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜1}＝{﹣1，0}，B＝{﹣1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，2}．故选：B．2．（5分）已知复数z满足z•（2+i）＝3+4i（其中i为虚数单位），则|z|＝（）A． B．2 C． D．【考点】复数的模；复数的运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合结合复数模公式，即可求解．【解答】解：z•（2+i）＝3+4i则|z|＝＝．故选：C．3．（5分）设数列{an}满足a1+3a2+⋯+（2n﹣1）an＝n，则a4＝（）A．7 B． C． D．【考点】数列递推式．【答案】C【分析】根据题意令n＝4，n＝3，两式作差，即可得出答案．【解答】解：∵a1+3a2+⋯+（2n﹣1）an＝n，令n＝4，则a1+3a2+5a3+7a4＝4，令n＝3，则a1+3a2+5a3＝3，两式相减得7a4＝1，解得．故选：C．4．（5分）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（）A． B． C． D．【考点】条件概率与独立事件．【答案】B【分析】根据题意，设事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，由古典概型公式计算P（A）和P（AB），进而由条件概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，所以，，所以．故选：B．5．（5分）函数的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】利用为奇函数排除A，B；利用x∈（0，π）时，，排除C，从而可求解．【解答】解：因为定义域为{x|x≠0}，对于AB，，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故A，B都不正确；对于C，x∈（0，π）时，，所以，所以，故C不正确；对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合x∈（0，π）时，，故D正确．故选：D．6．（5分）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x（单位：万元）的Logistic模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为（）（参考数据：ln3≈1.1，ln2≈0.7）A．4万元 B．8万元 C．6万元 D．5万元【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】D【分析】根据题意将x＝9，P＝50%代入Logistic模型中求出k的值，再将P＝40%代入求解即可．【解答】解：由题意得当x＝9时，P＝50%，则，解得e﹣0.9+9k＝1，所以﹣0.9+9k＝0，解得k＝0.1，所以，当P＝40%时，，解得3e﹣0.9+0.1x＝2，所以，所以，解得x＝5，所以当银行希望实际还款比例为40%，贷款人的年收入约为5万元．故选：D．7．（5分）已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则|FA|•|FB|＝（）A． B． C． D．2【考点】抛物线的性质．【答案】B【分析】根据给定条件，求出抛物线方程衣直线AB方程，再联立并结合抛物线定义求解作答．【解答】解：设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），因为焦点到准线的距离为2，则p＝2，抛物线C为：y2＝4x，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，直线AB方程为，由消去y得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．故选：B．8．（5分）已知函数，对于∀x∈R，f（x）≤f（π），且f（x）在区上单调递增，则ω的最大值是（）A． B． C． D．【考点】正弦函数的单调性．【答案】C【分析】由不等式恒成立得到f（x）在x＝π时取得最大值，再利用函数的单调性，从而求出ω的最大值．【解答】解：因为对于∀x∈R，f（x）≤f（π）所以f（x）在x＝π时取得最大值，则+，k∈Z，所以，又f（x）在区间上单调递增，所以ω＞0且，解得0＜ω≤3，当k＝1时，，所以ω的最大值是．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知向量，，则下列说法正确的是（）A．若，则m＝5 B．若∥，则m＝﹣2 C．若，则m＝﹣1 D．若m＝1，则向量，的夹角为钝角【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的概念与向量的模；平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】BD【分析】由平面向量模的计算公式判断A；由共线向量的坐标运算判断B；由向量垂直时数量积为0判断C；由向量的数量积判断D．【解答】解：对于A，因为，，所以，，解得m＝5或m＝3，故A错误；对于B，因为∥，所以2m＝﹣4，解得m＝﹣2，故B正确；对于C，因为，所以，解得，故C错误；对于D，当m＝1时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确．故选：BD．（多选）10．（5分）随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98，下面说法正确的是（）A．这组数据的极差为48 B．为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70 C．为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70 D．这组数据的第75百分位数是84.5【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；百分位数．【答案】ABD【分析】由极差的定义可判断A；由平均数的性质可判断B；由方差的性质可判断C；由百分数的定义可判断D．【解答】解：对于A，这组数据的极差为98﹣50＝48，故A正确；对于B，原数据的平均数为：（50+58+65+66+70+72+75+77+78×2+80+81×2+83+84+85+88+90+95+98）＝77.7，将这组数据都减去70后得到的平均数为：（50+58+65+66+70+72+75+77+78×2+80+81×2+83+84+85+88+90+95+98﹣70×20）＝7.7，∴这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70，故B正确；对于C，原数据的方差为：＝[（50﹣77.7）2+（58﹣77.7）2+（65﹣77.7）2+•••+（98﹣77.7）2]，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相等，故C错误；对于D，这组数据的上四分位数是第75%百分位数，即20×75%＝15，∴＝84.5，∴这组数据的上四分位数是84.5，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（5分）已知直线l：（m+2）x+y﹣m﹣3＝0，P（x，y）是圆C：x2+y2+2x﹣3＝0上的一点，则（）A．直线l过定点（1，1） B．圆C的半径是 C．点P可能在圆x2+y2＝1上 D．点P到直线l的最大距离是【考点】直线与圆的位置关系．【答案】ACD【分析】利用直线系，求解定点坐标判断A；求解圆的半径判断B；通过两个圆的位置关系判断C；求解点到直线的距离判断D．【解答】解：直线l：（m+2）x+y﹣m﹣3＝0，即m（x﹣1）+2x+y﹣3＝0，可得直线过D（1，1），所以A正确；x2+y2+2x﹣3＝0可得：（x+1）2+y2＝4，圆的半径为：2，所以B不正确；圆C：x2+y2+2x﹣3＝0与x2+y2＝1，当x＝1时，y＝0，可知P（1，0）在两个圆上，所以C正确；|CD|＝＝，点P到直线l的最大距离是，所以D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）A．三棱锥B1﹣C1D1P的体积为定值 B．存在点P，使得D1P⊥平面A1BC1 C．若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D．若点P是AB的中点，点Q是BC的中点，经过D1，P，Q三点的正方体的截面周长为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．【答案】AC【分析】利用正方体的性质，结合每个选项的条件逐项判断计算可判断其正确性．【解答】解：对于A，由题意及图形可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以点P到平面A1B1C1D1距离d为定值．所以＝＝d•，又为定值，故三棱锥B1﹣C1D1P的体积为定值．故A正确；对于C，如图有B1D⊥平面D1AC．理由如下：连接DB，A1D．由题可得AC⊥DB，AC⊥BB1，又DB∩BB1＝B，DB，BB1⊂平面DBB1，所以AC⊥平面DBB1．因为DB1⊂平面DBB1，所以AC⊥DB1．同理可证得AD1⊥DB1，又AD1∩AC＝A，所以B1D⊥平面D1AC，得D1P⊂平面D1AC．故点P轨迹为平面D1AC与底面ABCD交线，即为线段AC，AC＝2，故C正确；对于B，由C可知由正方体的性质易证B1D⊥平面A1BC1，显然不存在点P，使D1P∥B1D，故不存在点P，使得D1P⊥平面A1BC1，故B错误；延长QP分别与DA，DC的延长线交于点M，N两点，连接D1M，D1N分别交AA1，CC1于E，F，则DEPQF为经过D1，P，Q三点的正方体的截面，易求得PQ＝，EA＝FC＝，由勾股定理可得EP＝FC＝＝，D1E＝D1F＝＝，∴截面周长为2+，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在的展开式中，常数项等于15．【考点】二项式定理．【答案】15．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝＝，，得r＝4，故展开式的常数项为第5项：C64＝15．故答案为：15．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且xy＝x+y+3，则xy的最小值为9．【考点】基本不等式及其应用．【答案】9．【分析】由基本不等式以及一元二次不等式结合题目条件即可得解．【解答】解：因为x＞0，y＞0，所以由基本不等式可得，当且仅当x＝y＝3时取等号，即，令，则不等式变为t2﹣2t﹣3≥0，解得t≥3或t≤﹣1（舍去），即，所以xy≥9，即xy的最小值为9．故答案为：9．15．（5分）如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥B﹣ACD，则其外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【答案】．【分析】由矩形的性质分析可得外接球的球心即为AC的中点O，进而可求球的半径和体积．【解答】解：如图设AC⋂BD＝O，由矩形的性质可知：OA＝OB＝OC＝OD，则三棱锥B﹣ACD的外接球的球心即为O，半径，所以三棱锥B﹣ACD的外接球的体积．故答案为：．16．（5分）若方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是（e+1，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】（e+1，+∞）．【分析】方程化为，构造函数，问题转化为g（x）的图象与直线y＝a有2个交点，结合导数分析函数的性质即可求解．【解答】解：方程化为，令，则问题转化为g（x）的图象与直线y＝a有2个交点，因为，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，易知g（x）≥g（1）＝e+1，当x正向无限趋近于0时，g（x）的取值无限趋近于正无穷大；当x→+∞，g（x）→+∞，故方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根时，a＞e+1．故答案为：（e+1，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）设AD是BC边上的高，且AD＝2，，求b+c的值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换得到，进而求得，即可求解；（2）由三角形的面积公式，列出方程求得bc＝8，再由余弦定理列出方程，即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，，由正弦定理，可得，即，即，整理得，因为0＜B＜π，所以sinB≠0，则，又因为0＜A＜π，所以；（2）由已知可得，又由，可得，所以bc＝8，由余弦定理可得12＝b2+c2﹣bc，即12＝（b+c）2﹣3bc，即（b+c）2＝12+24＝36，所以b+c＝6．18．（12分）如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面ABEF为菱形，平面ABEF⊥平面ABCD，M为棱BE的中点．（1）若点N为DE的中点，求证：MN∥平面ABCD；（2）若，∠EBA＝60°，求平面MAD与平面EFD夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BD，MN，证得MN∥BD，利用线面平行的判定定理，即可证得MN∥平面ABCD．（2）根据题意，证得OE⊥平面ABCD，以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面MAD和平面EFD的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：（1）证明：在多面体ABCDEF中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面ABEF为菱形，平面ABEF⊥平面ABCD，连接BD，MN，∵M，N分别为BE，DE的中点，∴MN为△EBD的中位线，所以MN∥BD，∵MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（2），∠EBA＝60°，取AB的中点O，连接OE，∵侧面ABEF为菱形，且∠EBA＝60°，∴在△EBO中，EO2＝BO2+EB2﹣2BO⋅EBcos60°，解得，∴EO2+OB2＝EB2'，即OE⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，OE⊂平面ABEF，∴OE⊥平面ABCD，过O作AB的垂线，交BD于H并延长，分别以OH，OA，OE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图，设AD＝4，则，∴，D（4，1，0），A（0，1，0），，B（0，﹣1，0），则，，，，，设平面MAD的法向量为，则，取y1＝1，得，设平面EFD的法向量为，，令，得，则，∴平面MAD与平面EFD夹角的余弦值为．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，，n∈N*．（1）求{an}的通项公式；（2）设，，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据an与Sn的关系直接求通项公式即可；（2）根据（1）中{an}的通项公式得到，分奇偶讨论Tn并整合即可得到答案．【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，，当n≥2时，，当n＝1时，上式也符合，所以{an}的通项公式为．（2）由（1）得，，所以，．（ⅰ）当n为偶数时，；（ⅱ）当n为奇数时，；综上所述，．20．（12分）某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x（单位：箱）与成本y（单位：千元）的关系如表：x102030406080yy1y2y3y4y5y6（1）根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）（2）某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩．据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为，，，，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况．（最后结果精确到个位）附：，，在线性回归直线方程中，．【考点】线性回归方程．【答案】（1）．（2）7824元．【分析】（1）根据题中数据可以先算出，然后再算，结合即可算出，进而由可以算出，将、代入即可．（2）由题意可以先算出总成本（千元），然后求收入Y元的分布列以及均值，最终用Y的均值代表收入减去总成本即可．【解答】解：（1）因为，，所以，由题意可知，所以，又因为，所以回归方程为．（2）由回归方程知，若农户草莓的种植量为200箱，则成本为（千元）．设农户草莓的种植量为200箱时的收入为Y元，200箱草莓供给大型商超和小商贩分别x箱和y，显然x+y＝200，由题意Y＝300x+200y，因此x，y以及Y的可能取值如下表：x50100150200y150100500Y＝300x+200y45000500005500060000所以Y的分布列为：Y45000500005500060000P所以，所以预测所获利润约为元．21．（12分）已知双曲线C：经过点，右焦点为F（c，0），且c2，a2，b2成等差数列．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，证明：是定值．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的性质．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题意和c2＝a2+b2可得a2＝2b2，然后根据点在双曲线上即可求解；（2）依题意可设PQ：x＝my+3，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到（m2﹣2）y2+6my+3＝0，利用韦达定理和已知条件求出k1﹣k2的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证．【解答】解：（1）因为c2，a2，b2成等差数列，所以2a2＝c2+b2，又c2＝a2+b2，所以a2＝2b2．将点的坐标代入C的方程得，解得