2023-2024学年广西示范性高中高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年广西示范性高中高二（下）期末数学试卷一、单选题1．春暖花开，某学校组织学生春游，每个班级可以在周一到周六任选一天出游，则甲、乙两班不在同一天出游的概率为（）A． B． C． D．2．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当x＝20时，y的估计值为（）x24568y2040607080A．210 B．210.5 C．211 D．211.53．已知在等差数列{an}中，a3+a7＝24，a6＝20，则公差d等于（）A．8 B．6 C．4 D．﹣44．从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（）A． B． C． D．5．下列导数运算错误的是（）A．f（x）＝xex，则f'（x）＝（x+1）ex B．，则 C．，则 D．，则6．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（）A．24 B．18 C．12 D．67．设Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2，Sn+1﹣3Sn＝2，则下列各各项中正确的是（）A． B． C． D．8．已知函数f（x）＝alnx+，若对任意正数x1，x2（x1≠x2），都有＞1恒成立，则实数a的取值范围（）A．（0，] B．（0，） C．[，+∞） D．（，+∞）二、多选题（多选）9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5 C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8（多选）10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S7＝42，则下列说法正确的是（）A．a5＝4 B． C．为递减数列 D．的前5项和为（多选）11．已知函数，则（）A．f（x）的定义域为（0，+∞） B．f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为 C． D．f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2＝1三、填空题12．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是次品的概率为．13．已知数列{an}满足a1＝1，，则an＝．14．若方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是．四、解答题15．将A，B，C，D这4个小球放入4个不同的盒子中．（1）若A，B要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？（2）若每个盒子最多只能放2个小球，有多少种不同的放法？16．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[0，3]上的最小值．17．为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：多于5本少于5本合计活动前3565100活动后6040100合计95105200（1）试通过计算，判断是否有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序．记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量X，求X的数学期望．参考公式：．临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝15，S5＝35．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．19．已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣3x（a∈R）．（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线3x﹣2y＝0平行，求函数f（x）的极值；（2）若a＞0，g（x）＝（1﹣a）x，h（x）＝f（x）+g（x），求h（x）的单调区间．

2023-2024学年广西示范性高中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．春暖花开，某学校组织学生春游，每个班级可以在周一到周六任选一天出游，则甲、乙两班不在同一天出游的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】A【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲、乙两班出游共有6×6＝36种情况，甲、乙两班同一天出游共有6种情况，所以甲、乙两班不在同一天出游的概率为1﹣＝．故选：A．2．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当x＝20时，y的估计值为（）x24568y2040607080A．210 B．210.5 C．211 D．211.5【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】D【分析】根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将x＝20代入上式，即可求解．【解答】解：由表中数据可得，＝，＝，∵最小二乘法得到回归直线方程，∴，∴，当x＝20时，．故选：D．3．已知在等差数列{an}中，a3+a7＝24，a6＝20，则公差d等于（）A．8 B．6 C．4 D．﹣4【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【答案】A【分析】利用a3+a7＝2a5＝24可得a5＝12，从而根据d＝a6﹣a5即可求出d值．【解答】解：∵{an}是等差数列，∴a3+a7＝2a5＝24，即a5＝12，∴d＝a6﹣a5＝20﹣12＝8．故选：A．4．从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（）A． B． C． D．【考点】排列组合的综合应用．【答案】C【分析】用分步乘法计数原理，第一步从3件次品中选2件次品，第二步从5件正品中选3件正品，由此可得．【解答】解：根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，再从5件正品中抽取3件正品，有种抽取方法，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种．故选：C．5．下列导数运算错误的是（）A．f（x）＝xex，则f'（x）＝（x+1）ex B．，则 C．，则 D．，则【考点】基本初等函数的导数．【答案】B【分析】根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝xex，则f'（x）＝（x）′ex+x（ex）′＝（x+1）ex，A正确；对于B，f（x）＝sin，则f′（x）＝0，B错误；对于C，f（x）＝＝，f′（x）＝，C正确；对于D，f（x）＝，f′（x）＝＝，D正确．故选：B．6．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（）A．24 B．18 C．12 D．6【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】A【分析】利用二项式系数的性质即可求出n的值，再求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．【解答】解：由题意可得n＝4，则二项式（x+）4的展开式的通项公式为＝，r＝0，1，…，4，令4﹣2r＝0，解得r＝2，则展开式的常数项为＝24．故选：A．7．设Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2，Sn+1﹣3Sn＝2，则下列各各项中正确的是（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【答案】D【分析】由递推关系求出a2，根据an与其前n项和Sn的关系可得{an}是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解．【解答】解：由a1＝2，Sn+1﹣3Sn＝2，得S2﹣3S1＝2，即2+a2﹣6＝2，解得a2＝6，因为Sn+1﹣3Sn＝2，所以Sn﹣3Sn﹣1＝2（n≥2），两式相减得an+1﹣3an＝0，即，又a1＝2，a2＝6，所以，所以{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴，．故选：D．8．已知函数f（x）＝alnx+，若对任意正数x1，x2（x1≠x2），都有＞1恒成立，则实数a的取值范围（）A．（0，] B．（0，） C．[，+∞） D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】C【分析】问题等价于F（x）＝alnx+﹣x在（0，+∞）上为增函数，求出函数的导数，问题转化为a≥x﹣x2在（0，+∞）上恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：因为对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞1恒成立，设x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2恒成立，问题等价于函数F（x）＝f（x）﹣x，即F（x）＝alnx+﹣x在（0，+∞）上为增函数，所以F′（x）＝+x﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥x﹣x2在（0，+∞）上恒成立，所以a≥（x﹣x2）max＝，即实数a的取值范围是[，+∞），故选：C．二、多选题（多选）9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5 C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】BC【分析】易知X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），由此逐项分析判断即可．【解答】解：依题意，X～N（1.8，0.12），Y～N（2.1，0.12），对于X～N（1.8，0.12），由于2＝1.8+2×0.1＝μ+2σ，则P（X＞2）＝P（X＞μ+2σ）＜P（X＞μ+σ）＝1﹣0.8413＝0.1587，A错；P（X＞2）＜P（X＞1.8）＝0.5，B对；对于Y～N（2.1，0.12），由于2＝2.1﹣0.1＝μ﹣σ，则P（Y＞2）＞P（Y＞2.1）＝0.5，C对；P（Y＞2）＝P（Y＞μ﹣σ）＝P（Y＜μ+σ）＝0.8413＞0.8，D错．故选：BC．（多选）10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S7＝42，则下列说法正确的是（）A．a5＝4 B． C．为递减数列 D．的前5项和为【考点】等差数列的前n项和．【答案】BC【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d，再逐项求解判断即可．【解答】解：等差数列{an}中，，解得a4＝6，而a2＝4，因此公差，通项an＝a2+（n﹣2）d＝n+2，对于A，a5＝7，A错误；对于B，，B正确；对于C，，为递减数列，C正确；对于D，，所以的前5项和为，D错误．故选：BC．（多选）11．已知函数，则（）A．f（x）的定义域为（0，+∞） B．f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为 C． D．f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2＝1【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】BCD【分析】求出定义域可判断A；利用导数的几何意义可判断B；计算f（）+f（x）即可判断C；利用函数单调性以及零点存在性定理，根据选项C可判断D．【解答】解：函数，则，可得x＞0且x≠1，即函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故A错误；，则，即f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，故B正确；f（）+f（x）＝ln﹣+lnx﹣＝﹣lnx++lnx﹣＝0，故C正确；由＞0，可得f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，又，，所以函数f（x）在（e，e2）存在x0，使，由C可得f（）＝﹣f（x0）＝0，所以f（x）在定义域内有两个零点，x1＝，x2＝x0，所以x1x2＝1，故D正确．故选：BCD．三、填空题12．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是次品的概率为0.043．【考点】全概率公式．【答案】见试题解答内容【分析】代入全概率公式，列式求解．【解答】解：取到一件产品，是第一批产品，为事件A，取到一件产品是第二批产品，为事件B，取得一件产品，为次品，为事件C，则P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）＝0.3×0.05+0.7×0.04＝0.043．故答案为：0.043．13．已知数列{an}满足a1＝1，，则an＝．【考点】数列递推式．【答案】．【分析】由两边同时除以anan+1，再由累加法求解即可得出答案．【解答】解：若an+1＝0，则an﹣an+1＝0，即an＝an+1＝0，这与a1＝1矛盾，所以an+1≠0，由两边同时除以anan+1，得，则，，…，，上面的式子相加可得：，所以，故答案为：．14．若方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是（e+1，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】（e+1，+∞）．【分析】方程化为，构造函数，问题转化为g（x）的图象与直线y＝a有2个交点，结合导数分析函数的性质即可求解．【解答】解：方程化为，令，则问题转化为g（x）的图象与直线y＝a有2个交点，因为，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，易知g（x）≥g（1）＝e+1，当x正向无限趋近于0时，g（x）的取值无限趋近于正无穷大；当x→+∞，g（x）→+∞，故方程xlnx+ex+1﹣ax＝0有两个不等的实数根时，a＞e+1．故答案为：（e+1，+∞）．四、解答题15．将A，B，C，D这4个小球放入4个不同的盒子中．（1）若A，B要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？（2）若每个盒子最多只能放2个小球，有多少种不同的放法？【考点】排列组合的综合应用．【答案】（1）64；（2）204．【分析】（1）根据捆绑法即可得出答案；（2）根据分步乘法计数原理，按空了几个盒子分类讨论即可．【解答】解：（1）若A，B要放入同一个盒子中，根据捆绑法，可看成将3个不同的小球放入4个不同的盒子中，不同的放法有43＝64种．（2）第一种情况：4个小球各自放入4个不同的盒子中，共有种放法．第二种情况：有2个小球放入同一个盒子中，剩余2个小球同时放入另一个盒子中，共有种放法．第三种情况：有2个小球放入同一个盒子中，剩余2个小球各自放入一个盒子中，共有种放法．故不同的放法有24+36+144＝204种．16．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[0，3]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）x+y+2＝0；（2）﹣e．【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解切线方程；（2）利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最小值．【解答】解：（1）f′（x）＝（x﹣1）ex，f′（0）＝﹣1，f（0）＝﹣2，所以f（x）在x＝0处的切线方程为y+2＝﹣x，即x+y+2＝0；（2）f′（x）＝（x﹣1）ex，令f′（x）＝0，得x＝1，x0（0，1）1（1，3）3f′（x）﹣0+f（x）减函数﹣e增函数所以f（x）在区间[0，3]上的最小值为﹣e．17．为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：多于5本少于5本合计活动前3565100活动后6040100合计95105200（1）试通过计算，判断是否有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序．记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量X，求X的数学期望．参考公式：．临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；（2）．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较即可；（2）由题意可知，X的可能取值为2，3，4，5，6，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解．【解答】解：（1）由列联表可知，，因为12.53＞10.828，所以有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，6，则，，所以E（X）＝2×＝+2＝．18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝15，S5＝35．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】错位相减法．【答案】（Ⅰ）an＝2n+1；（Ⅱ）Tn＝5﹣．【分析】（Ⅰ）由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；（Ⅱ）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由S3＝15，可得3a1+3d＝15，即a1+d＝5，由S5＝35，可得5a1+10d＝35，即a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（Ⅱ）＝（2n+1）•（）n，数列{bn}的前n项和Tn＝3•+5•（）2+7•（）3+...+（2n+1）•（）n，Tn＝3•（）2+5•（）3+7•（）4+...+（2n+1）•（）n+1，上面两式相减可得Tn＝3•+2[（）2+（）3+...+（