2023-2024学年贵州省遵义市凤冈二中高三(上)月考数学试卷(9月份)

2023-2024学年贵州省遵义市凤冈二中高三（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3≤0}，N＝{x|x＞2}，则M∩N＝（）A．（2，+∞） B．（2，3] C．[1，+∞） D．（2，3）2．（5分）命题“∃x∈Q，sinx2∈Q”的否定是（）A．∀x∈Q，sinx2∉Q B．∀x∈Q，sinx2∈Q C．∃x∈Q，sinx2∉Q D．∀x∉Q，sinx2∈Q3．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点，则α＝（）A． B．2 C．4 D．84．（5分）某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式y＝t4﹣t，则当t＝2时，该质点的瞬时速度为（）A．14m/s B．18m/s C．25m/s D．31m/s5．（5分）已知为奇函数，则m＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）若正数a，b满足a2+ab+4b2＝3，则ab的最大值为（）A． B． C． D．7．（5分）“lgm＞0”是“方程（m﹣1）x2+y2＝m﹣1表示椭圆”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，则f（4）﹣4f（1）＝（）A．9 B．10 C．11 D．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．0∈N B．“六边形的内角和为720°”是全称量词命题 C． D．“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是存在量词命题（多选）10．（5分）设f（x）是定义在R上的减函数，且f（1）＝0，则（）A．y＝f（﹣x）为增函数 B．y＝f（x）﹣f（﹣x）可能是增函数 C．函数y＝f（x2﹣1）的零点之积为﹣2 D．不等式（x﹣2）⋅f（x）≥0的解集为[1，2]（多选）11．（5分）星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，﹣0.46等星的星等值为﹣0.46．已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式，关于星等下列结论正确的是（）A．星等值越小，星星就越亮 B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10﹣1 D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10﹣4（多选）12．（5分）若函数f（x），g（x）的导函数都存在，且f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜3x2，则f（2）g（2）﹣f（1）g（1）的值可能为（）A．9 B．8 C．6 D．5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数，则f（﹣3）＝．14．（5分）的最小值为．15．（5分）函数的极值点的个数为．16．（5分）若关于x的不等式组的整数解共有36个，则正数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A＝{1，4，7，10}，B＝{x|m＜x＜m+9}，C＝{x|3≤x≤6}．（1）当m＝1时，A∪B，A⋂（∁RC）；（2）若B⋂C＝C，求m的取值范围．18．（12分）已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的偶函数，且f（x）在[﹣4，0]上的图象如图所示．（1）在答题卡中作出f（x）在（0，4]上的图象；（2）求函数g（x）＝f（x）﹣log25的零点的个数．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax．（1）若a＝﹣7，求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（2）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．20．（12分）小张要制作一个如图所示的正三棱柱形实木块，假设该三棱柱形实木块的所有棱长之和为60cm．（1）设该三棱柱形实木块的底面边长为xcm，体积为Vcm3，求V关于x的函数表达式；（2）求该三棱柱形实木块体积的最大值．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）证明：f（x）在区间[a，a+1）上存在最大值的充要条件是．22．（12分）已知函数f（x）＝aex﹣bx（a＞0，b＞0）．（1）求f（x）的极值；（2）当a＝4，b＝3时，证明：f（x）＞xlnx．

2023-2024学年贵州省遵义市凤冈二中高三（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3≤0}，N＝{x|x＞2}，则M∩N＝（）A．（2，+∞） B．（2，3] C．[1，+∞） D．（2，3）【考点】一元二次不等式及其应用；交集及其运算．【答案】B【分析】解一元二次不等式得集合A，然后由交集定义计算．【解答】解：∵M＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝[1，3]，∴M⋂N＝（2，3]．故选：B．2．（5分）命题“∃x∈Q，sinx2∈Q”的否定是（）A．∀x∈Q，sinx2∉Q B．∀x∈Q，sinx2∈Q C．∃x∈Q，sinx2∉Q D．∀x∉Q，sinx2∈Q【考点】特称命题的否定．【答案】A【分析】根据存在量词的否定形式判断即可．【解答】解：“∃x∈Q，sinx2∈Q”的否定是“∀x∈Q，sinx2∉Q”．故选：A．3．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点，则α＝（）A． B．2 C．4 D．8【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】C【分析】将点代入，解方程求α即可．【解答】解：依题意可得，则，解得α＝4．故选：C．4．（5分）某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式y＝t4﹣t，则当t＝2时，该质点的瞬时速度为（）A．14m/s B．18m/s C．25m/s D．31m/s【考点】变化的快慢与变化率；导数的运算．【答案】D【分析】当t＝2时，该质点的瞬时速度是y′|t＝2，先求导，再代入t＝2即可得．【解答】解：因为y′＝4t3﹣1，所以当t＝2时，y′＝31，则该质点的瞬时速度为31m/s．故选：D．5．（5分）已知为奇函数，则m＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】D【分析】根据奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x），结合恒等式知识求解．【解答】解：由f（x）为奇函数，得＝＝0．因为x不恒为0，所以﹣e（m﹣2）x+e2x＝0，即e（m﹣2）x＝e2x，所以m﹣2＝2，即m＝4．故选：D．6．（5分）若正数a，b满足a2+ab+4b2＝3，则ab的最大值为（）A． B． C． D．【考点】基本不等式及其应用．【答案】C【分析】根据题意结合基本不等式运算求解．【解答】解：因为a，b均为正数，则，当且仅当a2＝4b2，即时，等号成立，所以，即ab的最大值为．故选：C．7．（5分）“lgm＞0”是“方程（m﹣1）x2+y2＝m﹣1表示椭圆”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】椭圆的标准方程；充分条件与必要条件；对数函数的图象与性质．【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．【解答】解：lgm＞0可得m＞1，方程（m﹣1）x2+y2＝m﹣1整理可得：x2+＝1；若m＝2，则方程x2+＝1表示单位圆．若方程：x2+＝1表示椭圆，则m＞1且m≠2．故“lgm＞0”是“方程（m﹣1）x2+y2＝m﹣1表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，则f（4）﹣4f（1）＝（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【答案】A【分析】分别令x＝y＝1，x＝1，y＝2，x＝1，y＝3得出f（4）与f（1）的关系后可得结论．【解答】解：令x＝y＝1，得f（2）＝2f（1）+1；令x＝1，y＝2，得f（3）＝f（1）+f（2）+3；令x＝1，y＝3得f（4）＝f（1）+f（3）+5．将以上三式相加得f（4）＝4f（1）+9，即f（4）﹣4f（1）＝9．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．0∈N B．“六边形的内角和为720°”是全称量词命题 C． D．“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是存在量词命题【考点】全称量词和全称命题；存在量词和特称命题．【答案】AB【分析】由元素和集合的关系判断A，C；根据全称命题和存在命题的定义判定B，D即可．【解答】解：0∈N，，故A正确，C错误；“六边形的内角和为720°”是全称量词命题，故B正确；“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题，D错误．故选：AB．（多选）10．（5分）设f（x）是定义在R上的减函数，且f（1）＝0，则（）A．y＝f（﹣x）为增函数 B．y＝f（x）﹣f（﹣x）可能是增函数 C．函数y＝f（x2﹣1）的零点之积为﹣2 D．不等式（x﹣2）⋅f（x）≥0的解集为[1，2]【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】ACD【分析】对于A、B：根据函数的单调性的性质分析判断；对于C：根据函数的零点运算求解；对于D：根据函数单调性解不等式．【解答】解：对于选项A、B：因为f（x）是定义在R上的减函数，则y＝f（﹣x）为增函数，y＝﹣f（﹣x）为减函数，所以y＝f（x）﹣f（﹣x）是减函数，故A正确，B错误；对于选项C：因为f（x）是定义在R上的减函数，且f（1）＝0，即f（x）唯一的零点为1，则f（x2﹣1）＝0等价于x2﹣1＝1，解得，所以y＝f（x2﹣1）的零点之积为，故C正确；对于选项D：因为f（x）是定义在R上的减函数，且f（1）＝0，当f（x）＜f（1）＝0时，则x＞1；当f（x）＞f（1）＝0时，x＜1；依题意（x﹣2）⋅f（x）≥0等价于x﹣2＝0，或f（x）＝0，或，或，则x＝2，或x＝1，或，或，解得x∈[1，2]，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，﹣0.46等星的星等值为﹣0.46．已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式，关于星等下列结论正确的是（）A．星等值越小，星星就越亮 B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10﹣1 D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于10﹣4【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．【答案】ABD【分析】根据各选项条件，由对数关系式，进行对数不等式或方程的运算求解，即可得出答案．【解答】解：对于A：若m2＜m1，则，即，∴，∵E1＞0，∴E2＞E1，∴星等值越小，星星就越亮，故A正确；对于B：当m2＝6，m1＝1时，，则，故B正确；对于C：若，则，即，故C错误；对于D：若，则，即，故D正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）若函数f（x），g（x）的导函数都存在，且f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜3x2，则f（2）g（2）﹣f（1）g（1）的值可能为（）A．9 B．8 C．6 D．5【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【答案】CD【分析】由题意，根据不等式构造函数h（x）＝f（x）g（x）﹣x3，对函数h（x）进行求导，利用导数得到函数h（x）的单调性，进而即可求解．【解答】解：因为f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜3x2，所以[f（x）g（x）]′＜（x3）′．不妨设函数h（x）＝f（x）g（x）﹣x3，函数定义域为（0，+∞），可得h′（x）＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）﹣3x2＜0，所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，此时h（1）＞h（2），即f（1）g（1）﹣13＞f（2）g（2）﹣23，所以f（2）g（2）﹣f（1）g（1）＜7，则f（2）g（2）﹣f（1）g（1）的值可能为5，6．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数，则f（﹣3）＝﹣24．【考点】函数的值．【答案】﹣24．【分析】由自变量的值大于0还是小于0选取不同的表达式计算．【解答】解：f（﹣3）＝﹣3f（3）＝﹣3×（5×3﹣7）＝﹣24．故答案为：﹣24．14．（5分）的最小值为1．【考点】对数函数的图象与性质；函数的最值及其几何意义；对数的运算性质．【答案】1．【分析】由基本不等式求得的最小值，然后结合对数函数的性质可求得结论．【解答】解：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以≥log99＝1，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为1．故答案为：1．15．（5分）函数的极值点的个数为2．【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】2．【分析】求出导函数f′（x），对f′（x）引入两个函数y＝x+4与y＝ex，由它们的图象交点个数得出f′（x）＝0的解的个数，从而确定f′（x）的正负，得极值点个数．【解答】解：依题意，得f′（x）＝x+4﹣ex，令f′（x）＝0，得x+4＝ex，作出y＝x+4与y＝ex的图象，如图所示，由图可知这两个函数图象有两个交点，设交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2）．当x＜x1时，f′（x）＝x+4﹣ex＜0，f（x）递减；当x1＜x＜x2时，f′（x）＝x+4﹣ex＞0，f（x）递增；当x＞x2时，f′（x）＝x+4﹣ex＜0，f（x）递减．∴有2个极值点．故答案为：2．16．（5分）若关于x的不等式组的整数解共有36个，则正数a的取值范围是．【考点】其他不等式的解法．【答案】．【分析】解一元二次不等式得x≤﹣a或x≥3a，然后计算a＝23，22，21时，不等式组整数解的个数，确定a＝22满足题意，再根据a的变化（比22大或者小），确定不等式组的整数解的变化情况，从而得出参数范围．【解答】解：由x2﹣2ax﹣3a2≥0，得（x+a）（x﹣3a）≥0，因为a为正数，所x≤﹣a或x≥3a．当a＝23时，{x|x≤﹣a}∩{x|﹣24＜x＜100}＝{﹣23}，{x|x≥3a}∩{x|﹣24＜x＜100}＝{69，70，⋯，99}，此时不等式组的整数解的个数为32；当a＝22时，{x|x≤﹣a}∩{x|﹣24＜x＜100}＝{﹣22，﹣23}，{x|x≥3a}∩{x|﹣24＜x＜100}＝{66，67，⋯，99}，此时不等式组的整数解的个数为36；当a＝21时，{x|x≤﹣a}∩{x|﹣24＜x＜100}＝{﹣21，﹣22，﹣23}，{x|x≥3a}∩{x|﹣24＜x＜100}＝{63，64，⋯，99}，此时不等式组的整数解的个数为40．a越大，则﹣a越小，3a越大，从而不等式组的整数解的个数不会增加；a越小，则﹣a越大，3a越小，从而不等式组的整数解的个数不会减少．要使得不等式组的整数解的个数为36，则需满足，解得．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A＝{1，4，7，10}，B＝{x|m＜x＜m+9}，C＝{x|3≤x≤6}．（1）当m＝1时，A∪B，A⋂（∁RC）；（2）若B⋂C＝C，求m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【答案】（1）{x|1≤x≤10}，{1，7，10}；（2）（﹣3，3）．【分析】（1）把m＝1代入，利用并集、补集、交集的定义求解作答．（2）利用给定的结果，利用集合包含关系列式求解作答．【解答】解：（1）当m＝1时，B＝{x|1＜x＜10}，而A＝{1，4，7，10}，所以A∪B＝{x|1≤x≤10}，又∁RC＝{x|x＜3或x＞6}，所以A⋂（∁RC）＝{1，7，10}．（2）由B⋂C＝C，得C⊆B，显然B≠∅，于是，解得﹣3＜m＜3，所以m的取值范围为（﹣3，3）．18．（12分）已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的偶函数，且f（x）在[﹣4，0]上的图象如图所示．（1）在答题卡中作出f（x）在（0，4]上的图象；（2）求函数g（x）＝f（x）﹣log25的零点的个数．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象与图象的变换．【答案】（1）；（2）g（x）零点的个数为4．【分析】（1）根据偶函数关于y轴对称，即可画出函数图象；（2）依题意可得f（x）＝log25，则问题转化为直线y＝log25与y＝f（x）图象的交点个数．【解答】解：（1）因为f（x）是定义在[﹣4，4]上的偶函数，所以函数图象关于y轴对称，则作出f（x）在（0，4]上的图象如下图所示：（2）由g（x）＝0，得f（x）＝log25，因为2＜log25＜3，所以直线y＝log25与y＝f（x）的图象有4个公共点，所以g（x）零点的个数为4．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+3x2﹣ax．（1）若a＝﹣7，求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（2）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）切线方程为4x﹣y﹣1＝0；（2）取值范围为（﹣∞，9]．【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，根据导数的几何意义，求出f′（﹣1）的值，即直线的斜率，由点斜式直线方程可得；（2）将函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，转化成f′（x）≥0对x∈[1，+∞]恒成立，通过分离参数转化为函数最值问题，结合二次函数的性质再进行求解即可．【解答】解：（1）若a＝﹣7，此时f（x）＝x3+3x2+7x，所以f（﹣1）＝﹣1+3﹣7＝﹣5．可得f′（x）＝3x2+6x+7，则f′（﹣1）＝3﹣6+7＝4，所以曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y﹣（﹣5）＝4[x﹣（﹣1）]，即4x﹣y﹣1＝0；（2）因为f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f′（x）＝3x2+6x﹣a≥0在x∈[1，+∞]上恒成立，即a≤3x2+6x在x∈[1，+∞）上恒成立，不妨设g（x）＝3x2+6x，函数定义域为[1，+∞），易知函数g（x）是开口向上的二次函数，对称轴x＝﹣1，所以函数g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）＝9，则a≤9，故a的取值范围为（﹣∞，9]．20．（12分）小张要制作一个如图所示的正三棱柱形实木块，假设该三棱柱形实木块的所有棱长之和为60cm．（1）设该三棱柱形实木块的底面边长为xcm，体积为Vcm3，求V关于x的函数表达式；（2）求该三棱柱形实木块体积的最大值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）设该三棱柱形实木块的高为hcm，由已知列式求解x的范围，再由棱柱体积公式计算即得；（2）利用导数求函数最大值求解．【解答】解：（1）设该三棱柱形实木块的高为hcm，则由该三棱柱形实木块的所有棱长之和为60cm，得6x+3h＝60，即2x+h＝20，则h＝20﹣2x．由，得0＜x＜10，∴＝；（2）设，则．当时，V′（x）＞0；当时，V′（x）＜0．∴V（x）在上单调递增，在上单调递减，∴．故该三棱柱形实木块体积的最大值为．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）证明：f（x）在区间[a，a+1）上存在最大值的充要条件是．【考点】函数的最值及其几何意义；充分条件与必要条件；函数的定义域及其求法．