2023-2024学年河北省衡水市武强中学高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年河北省衡水市武强中学高二（下）期末数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B={x∈Z|−2＜x＜32}A．{0，1} B．{﹣1，0，2} C．{1，2} D．{﹣1，1，2}2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x”的否定是（）A．∀x∉（0，+∞），sinx＝1+x B．∀x∈（0，+∞），sinx≠1+x C．∃x∉（0，+∞），sinx＝1+x D．∃x∈（0，+∞），sinx≠1+x3．（5分）关于（x，y）的一组样本数据（1，0），（2，﹣1），（3，﹣2），（5，﹣4），…，（30，﹣29）的散点图中，所有样本点均在直线y＝﹣x+1上，则这组样本数据的样本相关系数r为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）已知f（x）=2x−1，x＜1，x2，x≥1，若A．1 B．4 C．1或4 D．25．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，则f（3﹣2x）的定义域为（）A．[12，2] B．[﹣1，2] C．[﹣1，5]6．（5分）已知a，b为正实数，且满足a+2b＝1，则2aA．42 B．4+22 C．87．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）+1＝f（x）+f（y），且f(12)=0，则fA．1 B．11 C．12 D．﹣18．（5分）在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x5，y5），（6，28），（0，28），利用此样本数据求得的经验回归方程为ŷ=107x+1667A．8 B．12 C．16 D．20二、多选题（每小题6分，部分答对得部分分，共18分）（多选）9．（6分）随机变量X和Y的相关系数为r，则下列说法正确的是（）A．当r＞0时，X和Y具有正线性相关性 B．随着r值减小，X和Y的相关性也减小 C．当r＝0时，X和Y不具有相关性 D．当r＝﹣0.99时，X和Y具有较强的线性相关性（多选）10．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，3]，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（）A．y＝f（x+1） B．y＝f（x）+1 C．y＝f（﹣x） D．y＝﹣f（x）（多选）11．（6分）以下判断正确的有（）A．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个 B．f(x)=|x|x与g(x)=C．函数f(x)=x2D．若f（x）＝|x﹣1|﹣|x|，则f(f(三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如表：x01234y1a+12a57若回归方程为ŷ=1.4x+1.2，则a＝13．（5分）已知函数3x2﹣6x+1，若f（m）＝f（n），且m≠n，则f（m+n﹣1）＝．14．（5分）已知a＞b＞c且2a−b+1b−c≥四、解答题（每小题13分，共77分）15．（13分）已知集合A＝{x|﹣3＜2x+1＜7}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，C＝{x|3a﹣2＜x＜a+1}．（1）求A∩（∁RB）；（2）若“p：x∈∁R（A∪B）”是“q：x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（15分）某校对学生餐厅的就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分调查，调查结果统计如下表：男生：评分分组70分以下[70，80）[80，90）[90，100]人数3273832女生：评分分组70分以下[70，80）[80，90）[90，100]频数5353426学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．（1）由以上数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？满意不满意总计男生女生总计（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+P（χ2＞k）0.10.050.01k2.7063.8416.63517．（15分）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：步频x（单位：s）0.280.290.300.310.32步长y（单位：cm）909599103117（1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出y关于x的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为80cm时，步频约是多少？（2）记êi=yi−ŷi=yi−b参考数据：i=15xi2=0.451，18．（17分）已知函数f（x）满足f(1−x2)=x，函数g（x）满足g（x）+2g（﹣x（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）求函数y=g(x)−f(x)19．（17分）设f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2．（1）若不等式f（x）≥﹣2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a﹣1（a∈R）．

2023-2024学年河北省衡水市武强中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B={x∈Z|−2＜x＜32}A．{0，1} B．{﹣1，0，2} C．{1，2} D．{﹣1，1，2}【考点】求集合的交集．【答案】A【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：因为集合A＝{0，1，2}，B={x∈Z|−2则A∩B＝{0，1}．故选：A．2．（5分）命题“∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x”的否定是（）A．∀x∉（0，+∞），sinx＝1+x B．∀x∈（0，+∞），sinx≠1+x C．∃x∉（0，+∞），sinx＝1+x D．∃x∈（0，+∞），sinx≠1+x【考点】存在量词命题的否定．【答案】B【分析】根据题意，由于存在量词命题的否定是全称量词命题，分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题“∃x∈（0，+∞），sinx＝1+x”为存在量词命题，其否定是“∀x∈（0，+∞），sinx≠1+x”．故选：B．3．（5分）关于（x，y）的一组样本数据（1，0），（2，﹣1），（3，﹣2），（5，﹣4），…，（30，﹣29）的散点图中，所有样本点均在直线y＝﹣x+1上，则这组样本数据的样本相关系数r为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】样本相关系数．【答案】B【分析】根据相关系数的性质，结合题意，即可判断和选择．【解答】解：因为所有样本点均在直线上，故|r|＝1，又y＝﹣x+1，故r＝﹣1．故选：B．4．（5分）已知f（x）=2x−1，x＜1，x2，x≥1，若A．1 B．4 C．1或4 D．2【考点】函数的值；分段函数的应用．【答案】B【分析】结合函数的解析式，分类讨论，即可求解．【解答】解：当a＜1时，2a﹣1＝1，解得a＝1，不符合题意，舍去，当a≥1时，a2=1，解得故选：B．5．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，则f（3﹣2x）的定义域为（）A．[12，2] B．[﹣1，2] C．[﹣1，5]【考点】函数的定义域及其求法．【答案】A【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：由于函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，故﹣1≤3﹣2x≤2，解得12即函数f（3﹣2x）的定义域为[1故选：A．6．（5分）已知a，b为正实数，且满足a+2b＝1，则2aA．42 B．4+22 C．8【考点】基本不等式及其应用．【答案】C【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为a+2b＝1，a＞0，b＞0，所以(2a+1b)(a+2b)=2+ab+4ba故选：C．7．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）+1＝f（x）+f（y），且f(12)=0，则fA．1 B．11 C．12 D．﹣1【考点】抽象函数的周期性；函数的值．【答案】C【分析】先求出f（1），f（2）的值，进而可得f（22），f（23），f（24）的值，观察即可得解．【解答】解：令x＝y＝1，则f（1）+1＝2f（1），解得f（1）＝1；令x=2，y=12，则f(1)+1=f(2)+f(1令x＝y＝2，则f（22）+1＝2f（2），解得f（22）＝3，令x＝22，y＝2，则f（23）+1＝f（22）+f（2），解得f（23）＝4，令x＝23，y＝2，则f（24）+1＝f（23）+f（2），解得f（24）＝5，……观察可知，f（211）＝12．故选：C．8．（5分）在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x5，y5），（6，28），（0，28），利用此样本数据求得的经验回归方程为ŷ=107x+1667A．8 B．12 C．16 D．20【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】C【分析】由题意求出y=28，根据点（x，y）在经验回归方程ŷ=107x+1667上求出x，进而求出x′【解答】解：∵i=15∴y1+y2+y3+y4+y5+28+28＝140+28+28＝196，∴y=17×（y1+y2+y3+y4又∵（x，y）在经验回归方程ŷ∴28=107x∴i=15∴x′=i=15又∵（x′，y′）在经验回归方程∴28＝4×3+m，解得m＝16．故选：C．二、多选题（每小题6分，部分答对得部分分，共18分）（多选）9．（6分）随机变量X和Y的相关系数为r，则下列说法正确的是（）A．当r＞0时，X和Y具有正线性相关性 B．随着r值减小，X和Y的相关性也减小 C．当r＝0时，X和Y不具有相关性 D．当r＝﹣0.99时，X和Y具有较强的线性相关性【考点】样本相关系数．【答案】AD【分析】根据相关系数的定义及性质逐项判断即可．【解答】解：根据相关系数的含义，可得当r＞0时，X和Y具有正线性相关性；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系；故选项A正确，C错误；当r＜0时，随着r值减小，|r|越接近1，X和Y的线性相关程度越强，故B错误；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强知，当r＝﹣0.99时，X和Y具有较强的线性相关性，故D正确．故选：AD．（多选）10．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，3]，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（）A．y＝f（x+1） B．y＝f（x）+1 C．y＝f（﹣x） D．y＝﹣f（x）【考点】抽象函数的值域．【答案】AC【分析】由已知结合函数的图象变换检验各选项中函数的值域即可求解．【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，3]，y＝f（x+1）由f（x）的图象向左平移1个单位，函数值域与f（x）的值域相同，即为[﹣2，3]，A符合题意；y＝f（x）+1是由y＝f（x）的图象向上平移1个单位，即函数值域为[﹣1，4]，不符合题意；y＝f（﹣x）与y＝f（x）的图象关于y轴对称，函数值域与y＝f（x）的值域相同，为[﹣2，3]，C符合题意；y＝﹣f（x）与y＝f（x）的图象关于x轴对称，即函数值域为[﹣3，2]，不符合题意．故选：AC．（多选）11．（6分）以下判断正确的有（）A．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个 B．f(x)=|x|x与g(x)=C．函数f(x)=x2D．若f（x）＝|x﹣1|﹣|x|，则f(f(【考点】基本不等式及其应用；函数的概念及其构成要素；函数的值．【答案】AD【分析】根据函数定义域与值域的关系即可对A项判断；根据函数f（x）与g（x）的定义域与对应关系是否相等可对B项判断；利用基本不等式及取等条件即可对C项判断；先求出f(12)=0，然后再求f【解答】解：对于A：函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点可以为0个或1个，故A项正确；对于B：f(x)=|x|x=1，x＞0−1，x＜0对于C：因为x2+2≥2，所以f(x)=x当且仅当x2+2=1x2+2对于D：f(12)=|12故选：AD．三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如表：x01234y1a+12a57若回归方程为ŷ=1.4x+1.2，则a＝【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】2．【分析】先求样本中心点，利用回归方程一定经过样本中心点可求答案．【解答】解：x=15因为回归方程为ŷ=1.4所以3a+145解得a＝2．故答案为：2．13．（5分）已知函数3x2﹣6x+1，若f（m）＝f（n），且m≠n，则f（m+n﹣1）＝．【考点】函数的值．【答案】﹣2．【分析】根据f（x）＝3x2﹣6x+1可得图象的对称轴为直线x＝1，从而求得m+n＝2，即可求解．【解答】解：∵f（x）＝3x2﹣6x+1图象的对称轴为直线x＝1，f（m）＝f（n），且m≠n，∴m+n＝2，则f（m+n﹣1）＝f（1）＝3﹣6+1＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知a＞b＞c且2a−b+1b−c≥【考点】基本不等式及其应用．【答案】3+22【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案．【解答】解：由题意，a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，所以2a−b+1可得2(a−b+b−c)a−b+a−b+b−c因为2+2(b−c)a−b+1+所以实数m的最大值是3+22故答案为：3+22四、解答题（每小题13分，共77分）15．（13分）已知集合A＝{x|﹣3＜2x+1＜7}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，C＝{x|3a﹣2＜x＜a+1}．（1）求A∩（∁RB）；（2）若“p：x∈∁R（A∪B）”是“q：x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；充分条件与必要条件．【答案】（1）{x|﹣2＜x≤2}（2）{a|﹣3＜a＜−2【分析】（1）先求出集合A，再求出∁RB，最后由交集的运算求出A∩（∁RB）；（2）先求出A∪B，再求出∁R（A∪B），再由充分不必要条件构造关于a的方程组，解出即可．【解答】解：（1）因为A＝{x|﹣3＜2x+1＜7}＝{x|﹣2＜x＜3}，又∁RB＝{x|﹣4≤x≤2}，所以A∩（∁RB）＝{x|﹣2＜x≤2}．（2）A∪B＝{x|x＜﹣4或x＞﹣2}，所以∁R（A∪B）＝{x|﹣4≤x≤﹣2}，因为“p：x∈∁R（A∪B）”是“q：x∈C”的充分不必要条件，则∁R（A∪B）⊆C，又C＝{x|3a﹣2＜x＜a+1}，所以3a−2＜−4a+1＞−2故实数a的取值范围是{a|﹣3＜a＜−216．（15分）某校对学生餐厅的就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分调查，调查结果统计如下表：男生：评分分组70分以下[70，80）[80，90）[90，100]人数3273832女生：评分分组70分以下[70，80）[80，90）[90，100]频数5353426学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．（1）由以上数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？满意不满意总计男生女生总计（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+P（χ2＞k）0.10.050.01k2.7063.8416.635【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）列联表见详解，没有90%的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联；（2）X的分布列为：X0123P52815281556156E（X）=63【分析】（1）先根据统计表完成列联表，再根据独立性检验公式算出χ2，即可判定是否独立；（2）根据题意可得男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则抽取的男生人数为X服从超几何分布，再根据公式算出分布列及期望即可．【解答】解：（1）依统计表可得列联表如下：满意不满意总计男生7030100女生6040100总计13070200零假设H0：学生的就餐满意度与性别无关联，则由列联表可得：χ2根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，故没有90%的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联；（2）男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则X为0，1，2，3，则P(X=0)=C53P(X=2)=C51所以X的分布列为：X0123P52815281556156故E(X)=517．（15分）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：步频x（单位：s）0.280.290.300.310.32步长y（单位：cm）909599103117（1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出y关于x的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为80cm时，步频约是多少？（2）记êi=yi−ŷi=yi−b参考数据：i=15xi2=0.451，【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】（1）ŷ（2）成立，证明见解析．【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程，将y＝80代入回归方程，即可得到答案；（2）结合题中数据进行计算，可求得步长的残差和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明．【解答】解：（1）x=15b̂=i=1所以回归直线方程为ŷ将y＝80代入得80＝620x﹣85.2，解得x≈0.27，所以当步长为80cm时，步频约是0.27秒；（2）根据（1）得到ŷ1=620×0.28−85.2=88.4ŷ2=620×0.29−85.2=94.6ŷ3=620×0.30−85.2=100.8ŷ4=620×0.31−85.2=107ŷ5=620×0.32−85.2=113.2所以i=15即步长残差和为0．18．（17分）已知函数f（x）满足f(1−