2023-2024学年河北省衡水市武强中学高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年河北省衡水市武强中学高三（上）期中数学试卷一、单选题1．（5分）已知A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＞3} D．{x|1＜x＜3}2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x C．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣4．（5分）已知不等式m﹣1＜x＜m+1成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（）A．或 B．或 C． D．5．（5分）已知函数，则＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c＝（）A． B． C．或 D．2或7．（5分）若x＜，则f（x）＝3x+1+有（）A．最大值0 B．最小值9 C．最大值﹣3 D．最小值﹣38．（5分）函数的图象在x＝1处切线的斜率为（）A．ln2 B．2ln2 C．2 D．二、多选题（多选）9．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A．若sinA＞sinB，则A＞B B．若，，则△ABC外接圆的半径为 C．若a＝2，b＝3，，则 D．若asinA+bsinB＞csinC，则△ABC为锐角三角形（多选）10．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确结论的序号是（）A．a＞0 B．不等式bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣4} C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或 D．a+b+c＞0（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）的最小正周期为π B．当时，f（x）的值域为 C．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得函数g（x）＝sin2x的图象 D．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称（多选）12．（5分）已知函数，则下列叙述正确的是（）A．当a＝1时，函数在区间（2，+∞）上是增函数 B．当a＝1时，函数在区间（2，+∞）上是减函数 C．若函数f（x）有最大值2，则a＝1 D．若函数f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，则a的取值范围是[0，1]三、填空题13．（5分）已知函数f（x）＝f′（﹣1）⋅x4+2x，则f′（﹣1）＝．14．（5分）已知函数y＝loga（x+2）﹣1（a＞0，且a≠1）的图像过定点A，若点A在函数f（x）＝3x+b的图像上，则f（log32）＝．15．（5分）已知，则等于．16．（5分）已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是四、解答题17．（10分）设函数y＝ax2+（b﹣2）x+3．（1）若关于x的不等式y＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求y≥4的解集；（2）若x＝1时，y＝2，a＞0，b＞0，求的最小值．18．（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，．（1）求当﹣3≤x＜0时，函数f（x）的解析式；（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log2（2x+1）+ax是偶函数．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x）+x，h（x）＝x2﹣2x+m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g（x1）≥h（x2），求m的取值范围．20．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若sinB是方程的一个根，求cosC的值．21．（12分）已知，，设．（1）求当f（x）取最大值时，对应的x的取值；（2）若，且，求的值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax+2．（1）若a＝2，求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）+2x+xln（x+1）≥0恒成立，求整数a的最大值．

2023-2024学年河北省衡水市武强中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）已知A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＞3} D．{x|1＜x＜3}【考点】并集及其运算．【答案】B【分析】求出集合A，根据集合的并集运算，即可得答案．【解答】解：由题意解|x﹣1|＜2，可得﹣1＜x＜3，所以A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝{x|x＞﹣1}，故选：B．2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x C．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x【考点】特称命题的否定．【答案】A【分析】根据否定：否定量词，否定结论，改写命题．【解答】解：否定：否定量词，否定结论，所以把任意改成存在，x02+1≤2x0改为x2+1＞2x，即∀x∈（0，+∞），x2+1＞2x故选：A．3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣【考点】函数的值．【答案】B【分析】先求出f（），再求f（f（））可得答案．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（）＝（）2﹣3×＝﹣；∴f（f（））＝f（﹣）＝3＝﹣．故选：B．4．（5分）已知不等式m﹣1＜x＜m+1成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（）A．或 B．或 C． D．【考点】充分条件与必要条件．【答案】D【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可．【解答】解：由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得．故选：D．5．（5分）已知函数，则＝（）A． B． C． D．【考点】运用诱导公式化简求值．【答案】A【分析】由诱导公式化简f（x），再将代入即可得出答案．【解答】解：，故．故选：A．6．（5分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c＝（）A． B． C．或 D．2或【考点】余弦定理．【答案】C【分析】由余弦定理求解即可．【解答】解：已知，则由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得：，解得：c＝或c＝，故选：C．7．（5分）若x＜，则f（x）＝3x+1+有（）A．最大值0 B．最小值9 C．最大值﹣3 D．最小值﹣3【考点】基本不等式及其应用．【答案】C【分析】因为x＜，所以3x﹣2＜0，然后化简f（x）＝3x+1+＝3x﹣2++3＝﹣[（2﹣3x）+]+3，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为x＜，所以3x﹣2＜0，则f（x）＝3x+1+＝3x﹣2++3＝﹣[（2﹣3x）+]+3+3＝﹣6+3＝﹣3，当且仅当2﹣3x＝，即x＝﹣时取等号，此时f（x）取得最大值为﹣3，故选：C．8．（5分）函数的图象在x＝1处切线的斜率为（）A．ln2 B．2ln2 C．2 D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】B【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数值得答案．【解答】解：由，得，∴．故选：B．二、多选题（多选）9．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A．若sinA＞sinB，则A＞B B．若，，则△ABC外接圆的半径为 C．若a＝2，b＝3，，则 D．若asinA+bsinB＞csinC，则△ABC为锐角三角形【考点】解三角形；正弦定理．【答案】AC【分析】由正弦定理及三角形中的边角关系即可判断A；由正弦定理即可判断B；由余弦定理求出cosC，再由向量数量积运算即可判断C；由正弦定理a2+b2＞c2，由余弦定理，得cosC＞0，C为锐角，△ABC的形状不确定，即可判断D．【解答】解：对于A，若sinA＞sinB，由正弦定理可得a＞b，所以A＞B，故A正确；对于B，若，，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝＝，所以R＝，故B错误；对于C，若a＝2，b＝3，，则由余弦定理可得cosC＝＝＝，所以•＝bacosC＝，故C正确；对于D，在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asinA+bsinB＞csinC，所以由正弦定理得a2+b2＞c2，由余弦定理，得cosC＝＞0，所以C为锐角，故△ABC的形状不确定，故D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确结论的序号是（）A．a＞0 B．不等式bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣4} C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或 D．a+b+c＞0【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】AD【分析】根据不等式ax2+bx+c≥0的解集得出a＞0，且3和4是方程ax2+bx+c＝0的两根，由根与系数的关系得出b、c与a的关系，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，所以a＞0，且3和4是方程ax2+bx+c＝0的两根，选项A正确；由根与系数的关系知，，所以b＝﹣7a，c＝12a，所以不等式bx+c＜0可化为﹣7x+12＜0，解集为{x|x＞}，选项B错误；不等式cx2﹣bx+a＜0可化为12x2+7x+1＜0，解集为{x|x＜﹣或x＞﹣}，选项C错误；因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，所以x＝1满足不等式，即a+b+c＞0，选项D正确．故选：AD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）的最小正周期为π B．当时，f（x）的值域为 C．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得函数g（x）＝sin2x的图象 D．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】ACD【分析】先根据y＝Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的几何意义，求得f（x）的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项，即可．【解答】解：由图可知，A＝1，最小正周期T＝4×（﹣）＝π，即选项A正确；由T＝，知ω＝＝＝2，因为f（）＝1，所以sin（2×+φ）＝1，所以+φ＝2kπ+，k∈Z，即φ＝2kπ+，k∈Z，又﹣＜φ＜，所以φ＝，f（x）＝sin（2x+），对于选项B，当时，2x+∈[﹣，]，所以sin（2x+）∈[﹣，1]，即B错误；对于选项C，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到g（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin2x的图象，即C正确；对于选项D，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin（x+）的图象，因为当x＝时，y＝sin（+）＝sinπ＝0，即D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知函数，则下列叙述正确的是（）A．当a＝1时，函数在区间（2，+∞）上是增函数 B．当a＝1时，函数在区间（2，+∞）上是减函数 C．若函数f（x）有最大值2，则a＝1 D．若函数f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，则a的取值范围是[0，1]【考点】复合函数的单调性；指数函数的单调性与特殊点．【答案】BCD【分析】利用复合函数的单调性逐一判断各选项即可．【解答】解：对于A，B：当a＝1时，，因为y＝x2﹣4x+3在（2，+∞）上单调递增，在R上单调递减，由复合函数的性质可得，函数在（2，+∞）上单调递减，故A错误，B正确；对于C：若有最大值2，显然a＝0不成立，则函数有最小值﹣1，所以，解得a＝1，故C正确；对于D：若函数在（﹣∞，2）上是增函数，则y＝ax2﹣4x+3在（﹣∞，2）是减函数，当a＝0时，显然成立，当a≠0时，由二次函数的性质可得，解得0＜a≤1，所以a的取值范围为[0，1]，故D正确．故选：BCD．三、填空题13．（5分）已知函数f（x）＝f′（﹣1）⋅x4+2x，则f′（﹣1）＝．【考点】导数的运算．【答案】．【分析】求导，代入即可求解．【解答】解：由f（x）＝f′（﹣1）⋅x4+2x得f′（x）＝4f′（﹣1）⋅x3+2，所以．故答案为：．14．（5分）已知函数y＝loga（x+2）﹣1（a＞0，且a≠1）的图像过定点A，若点A在函数f（x）＝3x+b的图像上，则f（log32）＝．【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质．【答案】．【分析】根据对数函数恒过定点（1，0）求出点A的坐标，代入f（x）求出b，再计算f（log32）的值．【解答】解：因为函数y＝loga（x+2）﹣1，令x+2＝1，解得x＝﹣1，所以y＝0﹣1＝﹣1，所以函数y的图像过定点A（﹣1，﹣1），又点A在函数f（x）＝3x+b的图像上，所以3﹣1+b＝﹣1，解得b＝﹣，所以f（log32）＝﹣＝2﹣＝．故答案为：．15．（5分）已知，则等于．【考点】运用诱导公式化简求值；两角和与差的三角函数．【答案】．【分析】利用诱导公式确定目标式函数值与已知函数值的关系，即可得答案．【解答】解：因为，所以＝＝＝＝＝．故答案为：．16．（5分）已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】．【分析】求出函数的导数，由题意可得f′（x）在（1，3）内有唯一零点，且需单调递减，由此列出不等式，即可求得答案．【解答】解：因为，故，由于在区间（1，3）上有最大值，且在（1，3）上单调递减，故需满足f′（x）在（1，3）内有唯一零点，故，即，解得，即实数a的取值范围为．故答案为：．四、解答题17．（10分）设函数y＝ax2+（b﹣2）x+3．（1）若关于x的不等式y＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求y≥4的解集；（2）若x＝1时，y＝2，a＞0，b＞0，求的最小值．【考点】一元二次不等式及其应用；基本不等式及其应用．【答案】（1）{1}；（2）9．【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出a，b，从而解不等式求出解集；（2）先得到a+b＝1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．【解答】解：（1）根据题意，不等式y＝ax2+（b﹣2）x+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则ax2+（b﹣2）x+3＝0的两个根分别是﹣1，3，则，解得，故y＝ax2+（b﹣2）x+3＝﹣x2+2x+3≥4，x2﹣2x+1≤0，解得x＝1．所求解集为{1}．（2）x＝1时，y＝2，即a+b+1＝2，所以有a+b＝1，那么＝，当且仅当，即时，取等号．故的最小值为9．18．（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，．（1）求当﹣3≤x＜0时，函数f（x）的解析式；（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0，求实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质与判断．【答案】（1）f（x）＝；（2）（0，2]．【分析】（1）由已知区间上函数解析式，结合奇函数定义即可求；（2）结合奇函数性质先判断函数在[﹣3，3]上的单调性，结合单调性即可求解．【解答】解：（1）因为函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，，当﹣3≤x＜0时，0＜﹣x≤3，则f（﹣x）＝﹣x＝﹣f（x），所以f（x）＝；（2）因为0＜x≤3时，单调递增且且f（x）在x＝0处连续，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[﹣3，3]上单调递增若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0，则f（a+1）＞﹣f（2a﹣1）＝f（1﹣2a），则，解得0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．19．（12分）已知函数f（x）＝log2（2x+1）+ax是偶函数．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x）+x，h（x）＝x2﹣2x+m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g（x1）≥h（x2），求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质与判断．【答案】（1）．（2）（﹣∞，2]．【分析】（1）由偶函数的性质可求解a的值；（2）由题意可得g（x）在[0，4]上的最小值不小于h（x）在[0，5]上的最小值，分别求出g（x）的最小值和h（x）的最小值即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即，即，解得．（2）∵对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g（x1）≥h（x2），∴g（x）在[0，4]上的最小值不小于h（x）在[0，5]上的最小值．∵在[0，4]上单调递增，∴g（x）min＝g（0）＝1，∵h（x）＝x2﹣2x+m在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝m﹣1，∴1≥m﹣1，解得m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．20．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若sinB是方程的一个根，求cosC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简可得b2+c2﹣a2＝bc，利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．（2）求出已知方程的解确定出sinB的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，利用内角和定理，诱导公式，两角和的余弦公式即可求解cosC的值．【解答】解：（1）∵（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）＝c（c﹣b），即b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）∵，解得：x1＝，x2＝，∵由sinB≤1，得到sinB＝，可得cosB＝±＝±，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB＝×﹣×（±）＝．21．（12分）已知，，设．（1）求当f（x）取最大值时，对应的x的取值；（2）若，且，求的值．【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的最值．【答案】（1）{x|x＝+kπ，k∈Z}．（2）﹣．【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可得解．（2）由题意可求2x0﹣∈[，π]，利用同角三角函数基本关系式可求cos（2x0﹣），tan（2x0﹣）的值，进而利用两角和的正切公式即可求解．【解答】