湖南省岳阳市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）

湖南省岳阳市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CBBDAADDACDAC题号11答案ABC1．C【分析】先将此式根据完全平方展开，再根据复数的相关概念可得.【详解】由题意可知，再根据复数相关概念可知，虚部为.2．B【分析】利用复数的除法运算得到，其中为实部，为虚部，据此求解.【详解】由题意可得，则复数z的实部和虚部分别是2，1.故选：B.3．B【分析】由余弦定理结合条件即可求解.【详解】由，得，即，故，又，所以．4．D【分析】根据独立事件和对立事件概率公式求解即可.【详解】事件、相互独立，则事件、也相互独立.事件发生的概率为.则A与同时发生的概率为.5．A【分析】由条件结合内角和公式求，，在，中，分别利用正弦定理求，在中，利用余弦定理求.【详解】因为，所以，，，在中，由正弦定理可得，则．在中，由正弦定理可得，则．在中，由余弦定理可得，则．6．A【分析】法一：如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，设出P、Q点坐标，根据数量积公式，可得m，n的关系，结合基本不等式，整理计算，即可得答案；法二：设，则∠BCP＝，根据三角函数的定义，可得CQ、CP的长，根据数量积公式，结合余弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案.【详解】法一：建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系，则，设，所以，则，又，则有，令，，则，左右同时平方得，则，整理得，所以，又，所以，则，即，解得，或（舍去），又，且，所以，即，综上所述.法二：设，则∠BCP＝，∵正方形ABCD的边长为2，，∴.∴，∵，则，∴，∴.7．D【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案.【详解】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，依题意，有，设，则，且，由，因，故.故选：D.8．D【分析】根据已知找到侧棱与底面所成的角，依据正切值为2算出高的大小，然后求出斜高，从而可以求出侧面与底面的二面角正弦值.【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面.即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角，设底面边长为，则，因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，即，又因为，所以.所以，所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的正弦值为.9．ACD【分析】根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可.【详解】对于A项，极差等于，故A正确；对于B项，该组数据的众数为10.1和，故B错误；对于C项，，故分位数为，故C正确；对于D项，平均数等于，去掉后，这两组数据的平均数相等，故D正确.故选：ACD.10．AC【分析】应用正弦定理有，进而求外接圆的面积判断A；应用正弦定理判断三角形个数判断B；由锐角三角形及诱导公式有、判断C；假设为钝角即可判断D.【详解】因为，所以（为外接圆的半径），所以，故的外接圆的面积为，故A正确；若，则，所以无解，故B错误；若为锐角三角形，则，所以，所以，同理，所以，故C正确；若为钝角，显然满足，但，不满足，故D错误.故选：AC11．ABC【分析】结合异面直线的定义，可判定A准确；根据三棱锥的体积，可判定B正确；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据线面平行的性质，可判定D不正确，即可得到答案.【详解】对于A：由题意，在正方体中，点在线段上运动，，平面，平面，所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内，所以直线与始终为异面直线，故A正确；对于B：由三棱锥的体积，其中的面积为定值，因为，平面，平面，所以直线平面，所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C：在正方体中，平面，因为平面，所以，又由，，平面，所以平面，又因为平面，所以，所以异面直线与直线所成的角为，故C正确；对于D：根据正方体的结构特征，可得，又平面，平面，所以平面，又由选项B的解析过程知平面，，平面，所以平面平面，所以当点与点重合时，平面平面，即存在点，使得平面平面，故D错误.故选：ABC12．3【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】在方向上的投影向量为，故，解得，故答案为：13．【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得.【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况：(1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为，(2)后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为，由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为.故答案为：.14．【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案.【详解】∵，∴，∴由余弦定理得，，∴，∴由得，，∴，∴，，.又由正弦定理得，，，是锐角三角形，，，，，.故答案为：.15．(1)或．(2)1或-1【分析】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可.（2）将复数代入方程中得到关于的等式，然后可求得，进而求出结果.【详解】（1）由题意知，又为纯虚数，所以，解得或．（2）因为复数是关于的方程的一个根，所以，整理得，所以，解得，或，所以，或．16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.（2）分别取的中点，利用几何法求出异面直线与所成的角.【详解】（1）在三棱锥中，由为的中点，得，而平面平面，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.（2）分别取的中点，连接，于是，则是异面直线与所成的角或其补角，

由（1）知，，又，，则，于是，令，则，又，则有，，又平面，平面，则，，，由分别为的中点，得，显然，即有，，则，所以异面直线与所成的角的大小.17．(1)答案见解析(2)(3)两种规则获奖的概率一样大，理由见解析【分析】（1）直接列举所有结果；（2）（3）根据古典概型求解概率即可.【详解】（1）两次抽取小球的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件，事件包含，，，，五个样本点，故，事件包含，，，，五个样本点，故.（3）两种规则获奖的概率一样大.三等奖分别为事件，，,事件包含，两个样本点，.事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点，.所以规则一获奖的概率，事件包含，两个样本点，；事件包含，，，，，，，，，，，，（在中已经记录，不再计算），十二个样本点，.所以规则二获奖的概率，∴所以两种规则获奖的概率一样大.18．(1)(2)证明见解析(3),.【分析】（1）首先根据“完美坐标”的定义将和表示出来，进而利用向量的加减表示出.（2）利用向量数量积的坐标公式推导出的表达式.（3）首先用向量的基本公式将函数表达出来，然后对函数式进行变换，最后求解不等式.【详解】（1）由题得，所以，所以，即的“完美坐标”为.（2）证明：由题知，所以即.（3）由（2）得.因为，所以，所以，，所以.令，则，所以，即，解得（舍去）或，所以，即，所以，所以，即不等式的解集为，.19．(1)具有“性质”，(2)当时，最大值为；当时，最大值为(3)【分析】（1）根据题目的定义和三角函数诱导公式可得答案；（2）先求出时的解析式，利用二次函数区间最值可得答案；（3）根据“性质”和函数解析式得出函数的周期为1，结合交点个数及简图可得答案.【详解】（1）由，所以，所以函数具有“性质”，其中.（2）因为具有“性质”，所以，设，则，所以，当时，在为增函数，所以最大值为；当时，在单调递减，在单调递增，且，所以最大值为；当时，在单调递减，在单调递增，且，所以最大值为；当时，在为减函数，所以最大值为；综上可知，当时，最大值为；当时，最大值为.（3）因为函数具有“性质”，所以，；所以，即是以2为周期的函数，又设，则，.设，，当时，，即，；当时，，即，；所以对于，，都有，而，所以，综上可知是以1为周期的函数.当时，要使与交点