21.3.2 菱形数学八年级下册

21.3.2菱形(课时1)第二十一章四边形人教版(2024)素养目标1理解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2探索并证明菱形的性质定理；3能熟练运用菱形的性质进行计算和证明.新知导入平行四边形有一个角是直角矩形前面研究了角满足特殊条件的平行四边形——矩形.再来看边满足特殊条件的平行四边形.平行四边形一组邻边相等菱形归纳总结菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.四边形平行四边形两组对边分别平行一组邻边相等菱形探究新知菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗？探究新知菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.菱形对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分．它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ABCD探究新知对于菱形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究.用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？菱形是轴对称图形．有2条对称轴，分别是菱形两条对角线所在的直线．对称轴之间互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．（2）它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？（3）菱形中有哪些相等的线段？菱形的四条边相等．菱形被分割为四个全等的直角三角形你能证明吗？探究新知【猜想1】菱形的四条边都相等.

已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，求证：AB=BC=CD=AD.

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD

=BC(平行四边形的对边相等)又∵AB=AD，∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCD归纳总结菱形的性质菱形的四条边都相等符号语言：∵四边形

ABCD是菱形，∴AB

=

BC

=

CD

=

AD.ABCD探究新知【猜想2】菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.

求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，

∠ABD=∠CBD.ABCOD探究新知【猜想2】菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

解：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分)在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC同理可证∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBDABCOD归纳总结菱形的性质菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

符号语言：∵四边形

ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD归纳总结平行四边形的性质矩形的性质菱形的性质对边相等四个角都是直角对角线互相平分且相等四边相等对角相等两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角对角相等对角线互相平分对边相等探究新知比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.FMNEGABDCO探究新知ABCDE菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积？能过点A作AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD=底×高=BC·AE我们已经知道，菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？探究新知ABCDO如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积.

【总结】菱形的面积=底×高

=对角线乘积的一半例题练习如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果分别精确到0.01m）和花坛的面积（结果精确到0.1m2

）.A

B

C

D

例题练习A

B

C

D

O

BBACDACA小结菱形概念特殊性质