2021湖南郴州数学试卷+答案+解析

332021年郴州市高级中等学校招生考试(满分:130分考试时间:120分钟)第Ⅰ卷选择题(共24分)一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)12345678BBDCBADA1.(2021湖南郴州,1,3分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是 ()A.a>b B.|a|>|b|C.ab>0 D.a+b>01.B∵a<0,b>0,∴a<b,A错误;ab<0,C错误;∵-2<a<-1,∴1<|a|<2,∵0<b<1,∴0<|b|<1,∴|a|>|b|,B正确;a+b结果取绝对值大的数的符号,∴a+b<0,D错误.2.(2021湖南郴州,2,3分)下列垃圾分类图标分别表示:“可回收垃圾”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 ()ABCD2.BA图旋转180°不能与原图重合,故不是中心对称图形,通过折叠也不能使折痕两侧重合,故不是轴对称图形,A错误;B图旋转180°能与原图重合,折叠后能使折痕两侧重合,故B图既是中心对称图形,也是轴对称图形,B正确;C图是轴对称图形,不是中心对称图形,C错误;D图既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,D错误.3.(2021湖南郴州,3,3分)为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召,某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题,其中1nm=0.000000001m,则7nm用科学记数法表示为 ()A.0.7×108m B.7×10-8mC.0.7×10-8m D.7×10-9m3.D∵1nm=1×10-9m,∴7nm=7×10-9m.故选D.4.(2021湖南郴州,4,3分)下列运算正确的是 ()A.a2·a3=a6 B.(a3)2=a5C.(-3)2=3 D.(a+b)2=a24.Ca2·a3=a5,A错误;(a3)2=a6,B错误;(-3)2=3,(a+b)2=a2+2ab+b2,D错误.5.(2021湖南郴州,5,3分)下列说法正确的是 ()A.“明天下雨的概率为80%”意味着明天有80%的时间下雨B.经过有信号灯的十字路口时,可能遇到红灯,也可能遇到绿灯C.“某彩票中奖概率是1%”表示买100张这种彩票一定会有1张中奖D.小明前几次的数学测试成绩都在90分以上,这次数学测试成绩也一定在90分以上5.B根据随机事件可能性的大小分析,A,C错误;D选项根据随机事件定义分析,这次成绩不一定在90分以上,D错误;过十字路口时,红、绿、黄灯都有可能遇到,B正确.6.(2021湖南郴州,6,3分)已知二元一次方程组2x-y=5,x-2yA.2 B.6 C.-2 D.-66.A2x-y=5①,x-2∴x-y=2.故选A.7.(2021湖南郴州,7,3分)由5个相同的小立方体搭成的物体如图所示,则它的俯视图为 ()ABCD7.D画出该物体的三视图,如图所示,故选D.8.(2021湖南郴州,8,3分)如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°.点P从点A出发,沿路线A→B→C→D运动.设P点经过的路程为x,以点A,D,P为顶点的三角形的面积为y,则下列图象能反映y与x的函数关系的是()A BC D8.A当P在AB上运动时(包括A点,不包括B点),y=12×4×sin60°x∴y=3x(0≤x<4),当P在BC上运动时,y=12×4×4sin60°∴y=43(4≤x≤8),当P在CD上运动时(不包括C点,包括D点),y=12×4×(12-x)sin60°∴y=-3x+123(8<x≤12).故选A.思路分析当P在AB上运动时,y随x的增大而增大,又动点P匀速运动,故y为x的一次函数;当P在BC上运动时,△APD的底AD不变,高也不变,故y不变;当P在CD上运动时,y随x的增大而减小,又P匀速运动,故P到AD的距离匀速变化,故y为x的一次函数,据此作出选择即可.第Ⅱ卷非选择题(共106分)二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分)9.(2021湖南郴州,9,3分)使2x有意义的x的取值范围是9.答案x>0解析若使2x有意义,则2x≥0且x≠0,∴x10.(2021湖南郴州,10,3分)在反比例函数y=m-3x的图象的每一支曲线上,函数y随自变量x的增大而增大,则m10.答案m<3解析由题意得m-3<0,∴m<3.11.(2021湖南郴州,11,3分)为庆祝中国共产党建党一百周年,某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛,比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分,最终得分按4∶3∶3的比例计算,若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分,则选手甲的最终得分为分.

11.答案89解析95×4+80×3+90×34+3+3=89(分∴最终得分为89分.12.(2021湖南郴州,12,3分)一个多边形的每一个外角都等于60°,则这个多边形的内角和为度.

12.答案720解析360°60°=6,∴内角和为(6-2)×180°=720°.13.(2021湖南郴州,13,3分)关于x的一元二次方程x2-5x+m=0有两个相等的实数根,则m=.

13.答案25解析∵一元二次方程有两个相等的实数根,∴Δ=(-5)2-4m=0,∴m=25414.(2021湖南郴州,14,3分)下图是一架梯子的示意图,其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且AB=BC=CD,为使其更稳固,在A、D1间加绑一条安全绳(线段AD1),量得AE=0.4m,则AD1=m.

14.答案1.2解析∵BE∥DD1,∴∠ABE=∠ADD1,又∵∠BAE=∠DAD1,∴△ABE∽△ADD1,∴AEAD1∴0.4AD1=13,∴AD115.(2021湖南郴州,15,3分)如图,方老师用一张半径为18cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子(接缝忽略不计).如果圆锥形帽子的半径是10cm,那么这张扇形纸板的面积是cm2(结果用含π的式子表示).

15.答案180π解析圆锥底面周长为2πr=2π×10=20πcm.∴扇形弧长l=20πcm.∴S扇形=12lR=12×20π×18=180πcm16.(2021湖南郴州,16,3分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,sinA=45,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+35PB的最小值为16.答案16解析如图,作PH⊥AB交AB于点H,∵BD⊥AC,sinA=45∴sin∠ABD=35又∵PH⊥AB,∴PH=PB·sin∠ABD=35PB∴PC+35PB=PC+PH∴当点C,P,H共线时,PC+35PB有最小值,为在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=5,∴BD=ABsinA=5×45=4∴S△ABC=12AC·BD=12×4×∴12AB·CH=12×5·CH∴CH=165解题关键本题实质上是考查点到直线的距离,把握住垂线段最短即可解答本题.三、解答题(17~19题每题6分,20~23题每题8分,24~25题每题10分,26题12分,共82分)17.(2021湖南郴州,17,6分)计算:(2021-π)0-|2-12|+12-1·tan17.解析原式=1-(23-2)+2×3=1-23+2+23=3.18.(2021湖南郴州,18,6分)先化简,再求值:a-1a2+a-a18.解析原式=a-1a(a=(a-=(=a=1a当a=2时,原式=1a=12=19.(2021湖南郴州,19,6分)如图,四边形ABCD中,AB=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF.连接BE,DF,若BE=DF.证明:四边形ABCD是平行四边形.19.证明在△ABE和△CDF中,AB∴△ABE≌△CDF(SSS),∴∠BAE=∠DCF,∴180°-∠BAE=180°-∠DCF,即∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD,∴ABCD,∴四边形ABCD是平行四边形.20.(2021湖南郴州,20,8分)我市为加快推进生活垃圾分类工作,对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等,其中,可回收物用蓝色收集桶,有害垃圾用红色收集桶,厨余垃圾用绿色收集桶,其他垃圾用灰色收集桶.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生,根据调查结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息,解答下列问题:(1)此次调查一共随机采访了名学生,在扇形统计图中,“灰”所在扇形的圆心角的度数为度;

(2)补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);(3)若该校有3600名学生,估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数;(4)李老师计划从A,B,C,D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛,请用树状图法或列表法求出恰好抽中A,B两人的概率.20.解析(1)200;198°.共4422%=200人,“灰”所在扇形的圆心角为360°×110200(2)200-16-44-110=30(人).(3)3600×16200=288(人)∴估计该校将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288人.(4)画树状图如下:由树状图知,共有12种等可能的结果,恰好抽中A,B两人的结果有2种,所以恰好抽中A,B两人的概率P=212=121.(2021湖南郴州,21,8分)如图,莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度,测得斜坡AB=105米,坡度i=1∶2,在B处测得电梯顶端C的仰角α=45°,求观光电梯AC的高度.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24.结果精确到0.1米)21.解析作BD⊥水平地面于点D,作BH⊥AC交AC于点H,由题意得CA⊥AD,∴∠CAD=90°.∵BH⊥AC,∴∠BHC=90°,∴∠CAD=∠BHC,∴BH∥AD,∴∠BAD=∠HBA.∵i=tan∠BAD=BDAD=1∴AHBH=tan∠HBA=tan∠BAD=1∴可设AH=x米,BH=2x米.在Rt△ABH中,∠AHB=90°,AB=105米,由勾股定理可得AH2+BH2=AB2,∴x2+(2x)2=1052,∴x=215,∴AH=215米,BH=2×215=425米.在Rt△BCH中,∠CBH=α=45°,∠BHC=90°,∴∠BCH=180°-∠CBH-∠BHC=180°-45°-90°=45°,∴∠BCH=∠CBH,∴CH=BH=425米,∴AC=CH+AH,=425+215=635≈63×2.24≈141.1米.∴AC的高度约为141.1米.22.(2021湖南郴州,22,8分)“七一”建党节前夕,某校决定购买A,B两种奖品,用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比B奖品每件多25元,预算资金为1700元,其中800元购买A奖品,其余资金购买B奖品,且购买B奖品的数量是A奖品的3倍.(1)求A,B奖品的单价;(2)购买当日,正逢该店搞促销活动,所有商品均按原价八折销售,故学校调整了购买方案:不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元,A,B两种奖品共100件.求购买A,B两种奖品的数量,有哪几种方案?22.解析(1)设B奖品的单价为x元,则A奖品的单价为(x+25)元,设购买A奖品a件,则购买B奖品3a件,由题意得a(x∴x+25=40,∴A奖品的单价为40元,B奖品的单价为15元.(2)设购买A奖品m件,则购买B奖品(100-m)件,由题意得40解得22.5≤m≤25.又∵m为正整数,∴m=23,24,25.∴方案一:购买A奖品23件,购买B奖品77件;方案二:购买A奖品24件,购买B奖品76件;方案三:购买A奖品25件,购买B奖品75件.一题多解(1)方程组体现整体代入思想的解法如下:a(x由②得ax=300③,把③代入①得300+25a=800,∴a=20,把a=20代入③得20x=300,∴x=15,∴原方程组的解是x23.(2021湖南郴州,23,8分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AC是☉O的直径,点D是BC的中点,DE∥BC交AC的延长线于点E.(1)求证:直线DE与☉O相切;(2)若☉O的直径是10,∠A=45°,求CE的长.23.解析(1)证明:连接OD,OB,作OG⊥AB交AB于点G,∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴∠1=∠2.又∵OB=OC,∴OD⊥BC,∴∠ONC=90°.∵BC∥DE,∴∠ODE=∠ONC=90°,∴OD⊥DE,∴直线DE与☉O相切.(2)∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=45°,AC=10,∴∠A=∠ACB,∴AB=BC,由勾股定理可得AB2+BC2=AC2,∴2AB2=102,∴AB=52.∵BC∥DE,∴∠ACB=∠E,由(1)得∠ODE=90°,∴∠ODE=∠ABC,∴△ABC∽△ODE,∴ABOD=AC又∵OD=OC=12AC=12×∴525=∴OE=52,∴CE=OE-OC=52-5.24.(2021湖南郴州,24,10分)某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品,在市场试销中发现,此商品的月销售量y(单位:万件)与销售单价x(单位:元)之间有如下表所示关系:x…4.05.05.56.57.5…y…8.06.05.03.01.0…(1)根据表中的数据,在图中描出实数对(x,y)所对应的点,并画出y关于x的函数图象;(2)根据画出的函数图象,求出y关于x的函数表达式;(3)设经营此商品的月销售利润为P(单位:万元),①写出P关于x的函数表达式;②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元(不计其他成本),若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%,则此时的销售单价应定为多少元?24.解析(1)(2)由(1)得y为x的一次函数,∴设y=kx+b(k≠0),∵图象经过(4,8),(5,6),∴4k+∴y关于x的函数表达式为y=-2x+16.(3)①P=(x-2)y=(x-2)(-2x+16)=-2x2+20x-32,∴P=-2x2+20x-32.②由题意得x≤2×200%,∴x≤4,当P=10万元时,-2x2+20x-32=10,解得x1=3,x2=7(舍去).∴销售单价应定为3元.25.(2021湖南郴州,25,10分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°.点E,F分别为AB,AC的中点,H为线段EF上一动点(不与点E,F重合),将线段AH绕点A按逆时针方向旋转90°得到AG,连接GC,HB.(1)证明:△AHB≌△AGC;(2)如图2,连接GF,HG,HG交AF于点Q.①证明:在点H的运动过程中,总有∠HFG=90°;②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时,△AQG为等腰三角形?图1图225.解析(1)证明:在等腰直角三角形ABC中,AB=AC.∵BAC=90°,∠HAG=90°,∴∠BAC=∠HAG,又∵∠BAH=∠BAC-∠HAC,∠CAG=∠HAG-∠HAC,∴∠BAH=∠CAG,又由旋转可得AH=AG,∴△AHB≌△AGC(SAS).(2)①证明:E为AB的中点,∴AE=12∵F为AC的中点,∴AF=12AC又∵AB=AC,∴AE=AF,又由(1)得∠BAH=∠CAG,AH=AG,∴△AEH≌△AFG(SAS),∴∠AEH=∠AFG.∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∴∠AEH=∠ABC,∠AFH=∠ACB,∴∠HFG=∠AFH+∠AFG=∠ACB+∠AEH=∠ACB+∠ABC,又∵在△ABC中,∠BAC=90°,∴∠ACB+∠ABC=90°,∴∠HFG=90°.②当AQ=AG时,H与F重合,舍去.当AQ=QG时,当AH⊥EF时,∠AHF=90°,由(2)得△AEH≌△AFG,∴∠AGF=90°,又由(2)①得∠HFG=90°,∴四边形AHFG为矩形,又∵AH=AG,∴矩形AHFG为正方形,∴AQ=QG,此时EH=AE·cos45°=12×ABcos45°=12×4×22当AG=QG时,∵∠HAG=90°,AH=AG,∴∠AGQ=45°,∵AG=QG,∴∠GAQ=180°-∠AGQ2=67∴∠EAH=∠GAQ=67.5°,在△AEH中,∠AEH=45°,∠EAH=67.5°,∴∠EHA=180°-∠AEH-∠EAH=67.5°.∴∠EAH=∠EHA,∴EH=AE=12AB=2综上所述,当EH=2或2时,△AQG为等腰三角形.26.(2021湖南郴州,26,12分)将抛物线y=ax2(a≠0)向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线H:y=a(x-h)2+k.抛物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.(1)求抛物线H的表达式;(2)如图1,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合),过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD交AC于点E.作PF⊥AC,垂足为F,求△PEF的面积的最大值;(3)如图2,点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点,在抛物线H上,是否存在点P,使得以点A,P,C,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.图1图2备用图26.解析(1)由题意得h=-1,k=4,∴抛物线H:y=a(x+1)2+4.∵点A在抛物线H上,A(-3,0),∴a(-3+1)2+4=0,∴a=-1.∴抛物线H的表达式为y=-(x+1)2+4.(2)∵C为抛物线H与y轴的交点,由(1)得H:y=-(x+1)2+4,∴C(0,3).∵