北师大版小学数学五年级上册《找最小公倍数》教案

北师大版小学数学五年级上册《找最小公倍数》教案

一、教材分析

本课内容选自北京师范大学出版社出版的小学数学五年级上册第三单元“倍数与因数”中的第5节“找最小公倍数”。在此之前，学生已经系统学习了“倍数与因数”、“2、5、3的倍数的特征”、“找因数”以及“找最大公因数”等知识，这些知识为本节课的学习奠定了坚实的认知基础。公倍数与最小公倍数的概念，是倍数与因数这一核心概念体系的进一步延伸和拓展，它连接着因数和倍数两大知识模块，在整数理论中起着承上启下的关键作用。

从知识脉络上看，理解最小公倍数是学习异分母分数通分、分数加减法运算以及解决相关实际问题不可或缺的理论前提。本节课的学习，旨在引导学生从对单个整数倍数的认识，过渡到对两个（或多个）整数公共倍数的探索，经历概念的形成过程，掌握寻找最小公倍数的基本方法，并初步感悟其在现实世界中的价值。北师大版教材的编排特色在于强调数学与现实生活的紧密联系，注重通过操作、观察、比较、归纳等数学活动引导学生自主建构知识。教材通常从贴近学生生活的情境（如铺瓷砖、排队等）出发，引出公倍数的概念，然后通过列表、画图、集合图等多种直观方式，引导学生发现规律，最终抽象出数学概念并掌握寻找方法。

从数学核心素养的培养角度来看，本课是发展学生数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想的良好载体。在寻找公倍数的过程中，学生需要观察数字特征，进行有序列举和有效筛选，这锻炼了数感和有序思考的能力；将具体情境中的问题抽象为数学问题，并用数学语言和符号（如集合图）进行表达，体现了符号意识和模型思想的渗透；在探索不同求法时，需要进行合情推理和归纳概括；而在应用知识解决问题时，则是对运算能力和应用意识的综合检验。

二、学情分析

五年级学生处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们的抽象逻辑思维开始加速发展，但仍需具体形象或已有经验的有力支撑。对于“倍数与因数”这一单元，学生已经掌握了求一个数的倍数和因数的方法，理解了倍数与因数的相互依存关系，并学会了用列举法、集合图表示因数以及找两个数的公因数和最大公因数。这些已有的知识结构和活动经验是学习“找最小公倍数”的重要脚手架。

学生的潜在认知难点可能存在于以下几个方面：

1.概念建构的难点：从“一个数的倍数”过渡到“两个数公有的倍数”，再抽象出“公倍数”和“最小公倍数”的概念，这是一个逐步概括和抽象的过程。部分学生可能对“公有”的理解停留在表面，难以将两个数的倍数集合进行有效关联和交集定位。

2.方法迁移与选择的困惑：学生在“找最大公因数”时，已经接触过列举法、筛选法等。在学习最小公倍数时，他们可能会尝试方法迁移。但最小公倍数的寻找方法（特别是大数翻倍法和短除法）有其独特性，学生在理解和掌握“翻倍”的起点选择（从较大的数开始）以及短除法的算理上可能存在障碍。

3.应用情境的模型识别：将实际问题（如“铺正方形”、“同时发车”）准确转化为“求两个数的公倍数或最小公倍数”的数学问题，需要较强的数学建模能力。学生可能能够理解具体情境，但难以剥离非本质信息，抽象出核心的数学关系。

4.对“无限”的理解：公倍数的个数是无限的，而学生此前接触的因数、公因数的个数是有限的，这一认知转折需要教师通过列举过程的延续和追问加以引导。

因此，教学中应充分激活学生的已有经验，设计层层递进的探究活动，引导学生在动手操作、合作交流、对比反思中自主突破难点，实现概念的深度理解和方法的灵活掌握。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.结合具体情境与操作活动，理解公倍数和最小公倍数的意义，能够准确表述其概念。

2.掌握寻找两个数的公倍数和最小公倍数的多种方法，包括列举法、大数翻倍法、集合图表示法和短除法，并能根据数据特点灵活选择简便方法。

3.能够运用公倍数和最小公倍数的知识，解决简单的实际问题（如铺地砖、安排班次等）。

（二）过程与方法

1.经历从生活实际问题抽象出数学问题，并探索解决方案的全过程，培养数学建模的意识和能力。

2.在探索寻找最小公倍数方法的过程中，体验观察、比较、分析、归纳、猜想、验证等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。

3.通过小组合作学习，学会倾听、表达、质疑和反思，提升合作探究与交流的能力。

（三）情感态度与价值观

1.在探索数学知识内在联系和规律的过程中，体验数学的严谨性和简洁美，感受数学思考的乐趣和成功的喜悦。

2.体会数学与生活的密切联系，认识到数学是解决实际问题的重要工具，增强学习数学和应用数学的信心。

（四）核心素养指向

1.数感与符号意识：在列举和筛选倍数的过程中，增强对数字大小、关系的感知；学会用数学语言和集合图等符号化方式表征公倍数的概念。

2.推理意识与模型意识：通过观察数据特征，推理寻找公倍数的有效策略；将“铺正方形”等实际问题抽象为求公倍数的数学模型。

3.应用意识与创新意识：主动尝试用所学知识解决新情境下的问题，并能在方法比较中寻求优化，发展思维的开阔性和灵活性。

四、教学重难点

教学重点：理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握寻找两个数的最小公倍数的基本方法。

教学难点：

1.公倍数概念的形成与理解，特别是其“公有”与“无限”的属性。

2.灵活运用不同方法寻找最小公倍数，特别是短除法的算理理解与方法掌握。

3.将实际问题抽象为求两个数的公倍数或最小公倍数的数学问题。

五、教学准备

教师准备：

1.多媒体课件：包含情境动画（如铺地砖动态演示）、概念生成动画（倍数集合圈的交集形成）、方法探究步骤图、分层练习题组。

2.教具：磁性正方形小方块若干（两种不同颜色或规格），磁性数轴条或可以粘贴数字卡片的集合图模板。

3.学习任务单（每人一份）：包含情境问题记录区、探究活动记录表（用于列举倍数、画集合图等）、方法归纳梳理区、分层练习区。

4.板书设计预设：左侧为概念形成区（关键词、集合图），中间为方法探索区（列举法、大数翻倍法、短除法步骤），右侧为应用与总结区。

学生准备：

1.复习“倍数”、“因数”、“找最大公因数”的相关知识。

2.准备直尺、彩笔（至少两种颜色）、草稿本。

六、教学过程

（一）创设情境，激趣引疑（预计时间：8分钟）

1.情境导入：

教师播放一段精心制作的微视频：小明家正在装修卫生间，计划用一种长3分米、宽2分米的墙砖来铺贴墙面，希望铺成一个正方形图案，既美观又节省材料。视频展示用砖块尝试拼接的过程，但总是拼不完整。抛出核心问题：“选用这种长3分米、宽2分米的长方形墙砖，不切割，铺成一个正方形墙面，正方形的边长可能是多少分米？最小是多少分米？”

2.动手操作，初步感知：

（1）教师分发磁性小方块（一种颜色代表长边3个单位，另一种颜色代表宽边2个单位，或直接用一种方块，但规定长边摆3个，宽边摆2个）。

（2）学生以小组为单位，利用小方块在桌面上模拟拼摆，尝试拼出正方形。教师巡视指导，关注学生是否有序操作和准确记录。

（3）小组汇报展示拼摆结果。学生会发现能拼成的正方形边长有6分米、12分米、18分米等，并汇报拼法（如：沿着长边摆2块，沿着宽边摆3行，就得到了边长6分米的正方形）。

（4）教师利用课件动态演示拼摆过程，将学生的操作过程可视化、一般化。

3.数学抽象，提出问题：

教师引导学生思考并讨论：

1.4.“正方形的边长与长方形砖的长和宽有什么关系？”

2.5.“为什么边长6、12、18……可以，而4、7、10等不行？”

通过讨论，引导学生发现：正方形的边长必须既是长方形长的倍数，又是长方形宽的倍数。即：边长是3的倍数，也是2的倍数。

教师板书关系式：正方形的边长=既是3的倍数，也是2的倍数。

从而引出本节课的核心数学问题：“像6，12，18……这些数，它们既是3的倍数，又是2的倍数，它们有什么共同的名字？怎么找到它们，尤其是其中最小的那个？”

【设计意图】从真实、有趣的生活情境出发，通过动手操作，将抽象的数学问题可视化。学生在“做数学”中初步感知“公有倍数”的存在，自然产生探究“这类数有什么特征、如何寻找”的认知需求，为概念的学习提供了强大的内驱力。

（二）合作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

1.列举倍数，初识“公有”：

（1）教师引导学生独立完成学习任务单上的“探究活动一”：

①分别找出3在30以内的倍数，并圈出来。

②分别找出2在30以内的倍数，并圈出来。

③观察你圈出的这两列数，哪些数同时出现在两个圈里？把它们找出来。

（2）学生独立操作后，小组内交流自己的发现。教师指名汇报，将学生找到的数（如6，12，18，24，30等）有序地板书在黑板上。

2.引入集合，深化理解：

（1）教师提问：“如何能更清晰、更直观地表示出这些‘既是3的倍数，又是2的倍数’的数呢？”引导学生回忆学习公因数时用过的集合图（韦恩图）。

（2）教师课件出示两个相交的椭圆，一个标注“3的倍数”，一个标注“2的倍数”。先请学生上台，将自己找到的3的倍数和2的倍数分别填入对应的椭圆区域。

（3）关键提问：“哪些数既在左边椭圆里，又在右边椭圆里？”引导学生发现这些数位于两个椭圆的交叉重叠部分。

（4）教师操作课件，动态将重叠部分的数高亮显示，并给这个重叠区域贴上标签：“既是3的倍数，又是2的倍数”。

3.抽象命名，形成概念：

（1）教师揭示数学概念：“像6，12，18，24，30……这些数，它们既是3的倍数，又是2的倍数，我们称它们是3和2的‘公倍数’。”板书课题：公倍数。

（2）追问：“在这些公倍数中，哪个是最小的？”学生回答“6”。教师总结：“6是3和2的公倍数中最小的一个，我们称它为3和2的‘最小公倍数’。”补充板书：最小公倍数。并在集合图的重叠区域标注“3和2的公倍数”，并在“6”上特别标注“最小公倍数”。

（3）引导学生用规范的数学语言复述概念：“公倍数是指两个（或几个）数公有的倍数。最小公倍数是指这些公倍数中最小的一个。”

（4）拓展思考：“3和2的公倍数除了我们找到的这些，还有吗？有多少个？”引导学生通过观察倍数生成的规律（不断加最小公倍数），理解公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数。教师可在集合图的交叉区域用“……”表示。

【设计意图】本环节是概念建构的核心。从具体列举到集合图表征，实现了从具体到半抽象的思维跨越。集合图的使用，直观、深刻地揭示了“公倍数”的“公有”本质。通过观察、对比、归纳、命名等一系列思维活动，学生亲身经历了数学概念的形成过程，对公倍数和最小公倍数的内涵与外延有了清晰、深刻的理解。

（三）多维探索，提炼方法（预计时间：20分钟）

1.方法一：列举法（基础方法）

（1）承接上一环节，教师总结：“刚才我们通过先分别列出两个数的倍数，再找出相同的倍数，最后确定最小的一个。这种方法叫做‘列举法’。”这是一种最基本、最直观的方法。

（2）即时巩固练习：请用列举法找出4和6的公倍数及最小公倍数。学生独立完成后交流，巩固列举法的步骤：有序列举、找出公有、确定最小。

2.方法二：大数翻倍法（优化方法）

（1）教师提出挑战性问题：“如果要找8和12的最小公倍数，用列举法会觉得怎样？”引导学生感受到当数字较大时，列举所有倍数比较繁琐。

（2）引导观察与猜想：“观察8和12的倍数，你有什么发现？能不能找得更快一些？”学生可能会发现12的倍数增长更快。

（3）探究与归纳：让学生尝试从较大的数12的倍数中，去筛选哪些也是8的倍数。学生尝试：12（不是8的倍数），24（是8的倍数吗？24÷8=3，是的！）。所以最小公倍数是24。

（4）教师提炼方法：“像这样，先找出两个数中较大数的倍数，然后从这些倍数中从小到大依次判断它是否是较小数的倍数，找到的第一个公倍数就是它们的最小公倍数。这种方法可以叫做‘大数翻倍法’或‘筛选法’。”板书方法关键：找大数的倍数，从小往大检验。

（5）对比优势：引导学生对比列举法和大数翻倍法，体会大数翻倍法通常更快捷，尤其是在两个数相差较大时优势明显。

3.方法三：短除法（通用高效方法）

（1）建立联系，引发需求：“我们学过用短除法找最大公因数。既然倍数和因数关系密切，能不能也用短除法来找最小公倍数呢？”

（2）探究尝试，理解算理：

①以找12和18的最小公倍数为例，教师带领学生先用短除法分解质因数，找出公有的质因数（2，3）和独有的质因数（12独有的2，18独有的3）。

②关键提问与演示：最小公倍数应该包含哪些质因数？引导学生思考：既然是“公倍数”，就必须包含两个数所有的质因数。课件动态演示：将短除法中左侧的除数（公有质因数）和最后的商（独有质因数）依次相乘。即：2×3×2×3=36。

③验证：36是否是12和18的公倍数？是不是最小的？学生验证确认。

（3）总结方法步骤：

①用两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），直到两个商的公因数只有1为止。

②把所有的除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

教师用规范格式板书短除法过程。

（4）特殊情况探讨：

①互质关系：如4和5，它们的最小公倍数就是两数的乘积（20）。短除法中，公因数只有1，直接相乘。

②倍数关系：如6和18，较大数就是它们的最小公倍数（18）。短除法中，较小数能整除较大数。

引导学生观察、总结这两种特殊情况，进一步理解最小公倍数的意义。

4.方法梳理与选择策略：

组织学生讨论：“我们学习了三种方法，列举法、大数翻倍法和短除法。它们各有什么优缺点？在什么情况下选择哪种方法更合适？”

通过讨论，引导学生形成策略：

1.5.数据较小、关系明显时，可用列举法或直接观察。

2.6.两数相差较大时，用大数翻倍法更便捷。

3.7.数据较大或一般情况，尤其是需要同时求最大公因数和最小公倍数时，用短除法最通用、高效。

【设计意图】本环节是本节课的技能培养核心。从基础的列举法到优化的翻倍法，再到通用的短除法，呈现了方法发展的逻辑链条和人类思维的优化过程。教师不是简单灌输方法，而是引导学生在比较、尝试、反思中主动探索和建构。特别是短除法的引入，通过与最大公因数的类比和算理的深度剖析，使学生不仅“知其然”，更“知其所以然”。最后的方法策略讨论，旨在培养学生的元认知能力和灵活应用意识。

（四）分层应用，深化理解（预计时间：12分钟）

设计有梯度的练习，兼顾基础巩固、变式应用和思维拓展。

1.基础巩固层：

（1）填空：16的倍数有（），24的倍数有（），16和24的公倍数有（），最小公倍数是（）。

（2）用你喜欢的方法找出下列每组数的最小公倍数。

6和158和109和4

（3）判断：

①两个数的公倍数的个数是无限的。（）

②两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（）

③如果两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数。（）

2.综合应用层：

（1）回归导入情境：“解决小明家铺砖问题：选用长3分米、宽2分米的长方形砖铺正方形，正方形的边长最小是多少分米？面积是多少？如果墙面的面积限制在1平方米以内，可以选择边长是多少分米的正方形？”

（2）生活问题：“1路公交车每8分钟发一班，2路公交车每12分钟发一班。早上6：00两路车同时发车，下一次同时发车是几时几分？”引导学生将“同时发车”的时刻转化为求8和12的公倍数问题。

（3）操作应用：“有一张长18厘米，宽12厘米的长方形纸，要把它裁成同样大小的正方形，要求纸没有剩余，正方形边长最大是几厘米？可以裁多少个？”此题与“最大公因数”问题对比，深化对两者区别的理解。本题实为求最大公因数，设计目的是为了辨析。

3.思维拓展层：

（1）开放题：“两个数的最小公倍数是30，你能写出几组这样的数？（如：5和6，3和10……）”

（2）推理题：“已知A=2×3×5，B=2×5×7，那么A和B的最小公倍数是多少？你是怎样快速得到的？”引导学生直接用分解质因数后的形式求最小公倍数（公有质因数取一次，所有独有质因数都取）。

（3）挑战题：“一包糖果，平均分给6个人或8个人，都正好分完。这包糖果至少有多少块？如果糖果总数在50-60块之间，那么实际有多少块？”

【设计意图】练习设计体现层次性、综合性和思维性。基础层确保全体学生掌握核心概念与基本方法；应用层将数学与生活紧密相连，培养学生的问题解决能力和模型应用意识；拓展层则面向学有余力的学生，激发他们的探索欲望和深度思考，培养思维的灵活性和深刻性。通过应用，学生得以在不同情境中反复调用和深化对最小公倍数的理解。

（五）总结反思，升华认知（预计时间：5分钟）

1.知识梳理：

教师引导学生共同回顾与总结：

1.2.“今天我们认识了哪两个新的数学概念？（公倍数、最小公倍数）”

2.3.“我们是怎样找到两个数的最小公倍数的？（列举法、大数翻倍法、短除法）”

3.4.“这些方法各有什么特点？如何选择？”

4.5.“最小公倍数在生活中有哪些应用？”

6.思想方法提炼：

教师引导学生超越具体知识，反思学习过程：

1.7.“我们从生活铺砖问题开始，最终找到了数学方法，这个过程体现了什么数学思想？（数学建模）”

2.8.“我们通过列举、画图、比较来发现规律、总结方法，用到了哪些学习方式？（动手操作、合作探究、观察归纳）”

9.评价与延伸：

教师对学生的学习过程和成果给予积极评价。并布置弹性作业和预习任务：

1.10.基础作业：完成练习册相关习题。

2.11.实践作业：寻找生活中1-2个可以用公倍数或最小公倍数知识解释或解决的问题，记录下来。

3.12.预习思考：如果要求三个数的最小公倍数，该怎么求呢？尝试用短除法找一找4，6，8的最小公倍数。

【设计意图】总结反思环节是课堂教学的升华。它不仅是知识的简单复述，更是对学习过程、方法策略和思想情感的梳理与内化。通过引导学生从“学到了什么”到“怎样学到的”以及“有什么用”进行深度反思，促进学生认知结构的完善和元认知能力的提升。弹性作业的设计尊重了学生的个体差异，并将学习从课内延伸到课外。

七、板书设计（框架示意）

（左侧区域：概念形成）

找最小公倍数

公倍数：两个数公有的倍数。（个数无限）

最小公倍数：公倍数中最小的一个。

例：3和2

3的倍数：3，6，9，12，15，18……

2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18……

公倍数：6，12，18……