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文档简介

算法设计与分析本节要点CONTENTS最小费用最大流最小费用最大流在实际应用中，不仅要考虑流量，还要考虑费用。例如在网络布线工程中有很多中电缆，电缆的粗细不同，流量和费用也不同。如果全部使用较粗的电缆，则造价太高；如果全部使用较细的电缆，则流量满足不了要求。我们希望建立一个费用最小、流量最大的网络，即最小费用最大流。最小费用最大流在实际应用中，要同时考虑流量和费用，每条边除了给定容量之外，还定义了一个单位流量的费用。对于网络上的一个流flow，费用为：最小费用最大流求解最小费用最大流有两种思路：（1）先找最小费用路，在该路径上增流，增加到最大流，称为最小费用路算法。（2）先找最大流，然后找负费用圈，消减费用，减少到最小费用，称为消圈算法。最小费用最大流最小费用路算法，是在残余网络上寻找从源点到汇点的最小费用路，即从源点到汇点的以单位费用为权的最短路，然后沿着最小费用路增流，直到找不到最小费用路为止。最短增广路算法中求最短增广路是去权值的最短路，而最小费用路是以单位费用为权值的最短路。最小费用最大流（1）创建混合网络先初始化为零流，零流对应的混合网络中，正向边的容量为cap，流量为0，费用为cost，反向边容量为0，流量为0，费用为−cost。最小费用最大流（2）找最小费用路从源点出发，沿着可行边（cap>flow）广度优先搜索每个邻接点v，若dist[v]>dist[u]+E[i].cost，则更新dist[v]=dist[u]+E[i].cost并记录前驱。搜索到汇点后，根据前驱数组找到一条最短费用路径：1-2-5-6。最小费用最大流（3）沿着增广路径正向增流d，反向减流d从汇点逆向找最小可增流量d=min(d,E[i].cap−E[i].flow)，增流量d=3，产生的费用为mincost+=dist[v6]×d=8×3=24。最小费用最大流继续找最小费用路，增流。直到找不到最小费用路为止。算法实现最小费用最大流算法分析时间复杂度：找到一条可增广路的时间是O(E)，最多会执行O(VE)次，因为关键边的总数为O(VE)。总的时间复杂度为O(VE2)，其中，V为结点个数，E

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