工程制图（第二版）998

1.1国家标准《技术制图》和《机械制图》的一般规定

1.2绘图工具及其使用

1.3几何作图

1.4平面图形的画法

1.5绘图的方法和步骤

第1章制图的基本知识与技能

1.1.1图纸幅面和格式(GB/T14689—2008)

1．图纸幅面

为了使图纸幅面统一，便于装订和保管，绘制图样时应优先采用表1-1中规定的基本幅面。必要时，允许采用国家标准所规定的加长幅面(尺寸由基本幅面的短边成倍数增加后得出)。1.1国家标准《技术制图》和《机械制图》的一般规定表1-1基本幅面及周边尺寸

2．图框格式

图框格式分为不留装订边(见图1-1)和留装订边(见图1-2)两种，但同一产品图样只能采用同一种格式，尺寸依据表1-1的规定。装订时可采用A4幅面竖装或A3幅面横装。

3．标题栏的方位与格式

(1)每张图纸都必须有一个标题栏，通常位于图纸右下角(见图1-1和图1-2)。格式和尺寸应按国家标准GB/T10609.1—2008的规定绘制，如图1-3所示。在制图作业中建议采用图1-4所示的格式。图1-1不留装订边图1-2留装订边图1-3标题栏格式图1-4制图作业用标题栏格式

(2)标题栏中文字的书写方向为读图的方向。标题栏的线型、字体(签字除外)等填写格式应符合标准。

(3)为了利用预先印制的图纸，允许标题栏长边竖放，标题栏字体与看图方向不一致。可在图纸下方画上方向符号，以明确看图方向，如图1-5所示。图1-5对中符号和方向符号

4．附加符号

1)对中符号

为使图纸复制和微缩时定位方便，应在图纸各边的中点处用粗实线画出对中符号，长度从纸边界开始伸入图框内约5 mm。对中符号处在标题栏范围内时，伸入标题栏部分省略不画，如图1-5所示。

2)方向符号

当使用预先印制的图纸时，为了明确绘图和看图方向，要在对中符号处画出一个方向符号(见图1-5)。方向符号用细实线画等边三角形“▽”，其大小和位置如图1-6所示。图1-6方向符号的大小和位置1.1.2比例(GB/T14690—1993)

比例是指图样中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。绘制图样时，一般应从表1-2所示的系列值中选取适当的比例。表1-2比例注：n为整数。

不论采用何种比例，图样中所标注的尺寸均为物体的实际尺寸，如图1-7所示。绘制同一机件的各个视图时，应尽量采用相同的比例，并将其标注在标题栏的比例栏内。当图样中的个别视图采用了与标题栏中不相同的比例时，可在该视图名称的下方标注比例。图1-7不同比例绘制的图形1.1.3字体(GB/T14691—1993)

1．基本要求

(1)字体是技术图样中的一个重要组成部分。书写字体必须做到字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐。

(2)字体高度(用h表示)的公称尺寸系列为：1.8、2.5、3.5、5、7、10、14、20 mm。如需要更大的字，高度应按

的比率递增。字体的高度为字体的号数。

(3)汉字应写成长仿宋体，采用国家正式公布推行的简化字，字高不小于3.5号字，字宽为h/。书写要领为：横平竖直、注意起落、结构匀称、填满方格。

4)字母和数字分为A型(笔画宽h/14)和B型(笔画宽h/10)两种。可写成直体或斜体两种形式。斜体字字头向右倾斜，与水平基准成75°。同一张图纸只允许用一种类型的字体。

2．字体示例

汉字、字母和数字的示例如图1-8所示。图1-8字体示例1.1.4图线(GB/T4457.4—2002)

1．图线的型式及其应用

绘制图样时应采用表1-3中规定的各种图线。国标推荐的图线宽度系列为：0.13、0.18、0.25、0.35、0.5、0.7、1、1.4、2 mm。机械图样中粗线和细线的宽度比例为2∶1，粗线的宽度d应通常按图的大小和复杂程度选用，一般情况下选用0.5 mm或0.7mm。表1-3图线的型式及应用举例注：表中所注的线段长度和间隔尺寸可供参考。

2．图线画法注意事项

(1)在同一张图样中，同类图线的宽度应一致。虚线、点画线、双点画线的线段长度和间隔应大致相同，如图1-9所示。

(2)平行线(包括剖面线)之间的最小距离应不小于0.7 mm。

(3)绘制圆的中心线时，圆心应为线段的交点，点画线和双点画线的首末两端应是线段而不是短划，点画线应超出轮廓线外约2～5 mm。较小的图形中绘制点画线或双点画线有困难时，可用细实线代替，如图1-10所示。图1-9图线及其应用(4)虚线、细点画线与其他图线相交时，都应交到线段处。当虚线处于粗实线的延长线上时，虚线到粗实线结合点应留间隙，如图1-10所示。

(5)当图中的线段重合时，其优先次序为粗实线、虚线、点画线。图1-10图线画法注意事项1.1.5尺寸注法(GB/T4458.4—2003)

1．标注尺寸的基本规则(见图1-11)

(1)机件的真实大小以图样上所注尺寸数值为依据，与图形大小及绘图的准确度无关。

(2)图样中的尺寸以mm(毫米)为单位时，不需标注计量单位的符号或名称，如采用其他单位，则必须注明。

(3)图样中所标注的尺寸，为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则应另加说明。

(4)机件的每一尺寸，一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。

(5)标注尺寸时，应尽可能使用符号和缩写词。常用的符号和缩写词见表1-4。图1-11尺寸的组成与标注表1-4尺寸标注中常用的符号和缩写词

2．尺寸的组成及标注

完整的尺寸由尺寸界线、尺寸线、尺寸线终端(箭头或斜线)、尺寸数字四个基本要素组成，如图1-11所示。

1)尺寸界线

尺寸界线表示尺寸的起止范围，用细实线绘制，并由图形的轮廓线、轴线、对称中心线引出或由它们代替。尺寸界线一般与尺寸线垂直，且超出尺寸线2～5mm。

2)尺寸线

尺寸线表示尺寸的度量方向，用细实线绘制，同方向尺寸线之间距离应均匀，间隔最小为7 mm左右。尺寸线不能与其他图线重合或画在其延长线上，也不能被代替。尺寸线不能相交，且避免与尺寸界线相交。

3)尺寸线终端

尺寸线终端可由箭头或斜线表示，常用形式和其画法如图1-12所示。同一张图样中只能采用一种尺寸线终端形式，只有狭小部位的尺寸才可用圆点或斜线代替。图1-12尺寸线终端形式(a)实心三角形箭头；(b)细斜线4)尺寸数字

尺寸数字表示所注机件尺寸的实际大小。水平方向的尺寸，数字应注写在尺寸线的中上方，且字头向上；竖直方向的尺寸，数字应注写在尺寸线的左方，且字头向左；倾斜方向的尺寸，数字应注写在尺寸线的上侧，字头向上(如图1-13(a)所示)。尺寸数字也允许注写在尺寸线的中断处，但在一张图样中应采用同一种形式，并应尽可能采用前一种形式。当书写位置不够或避免在30°范围内注写时，可以引出标注，如图1-13(b)所示。尺寸数字上不能有任何图线穿过，否则图线应断开，如图1-13(c)所示。图1-13尺寸数字方向各类尺寸的标注示例见表1-5。表1-5尺寸标注示例1.2.1图板、丁字尺

图板是供放置、固定图纸用的矩形胶合板。图板应板面光滑、边框平直，其左侧边为丁字尺导边，图纸贴在图板左下方的位置，用胶带固定在图板上。

丁字尺由尺头和尺身组成。其头部必须紧靠绘图板左边，用丁字尺的上面的工作边可画水平线，如图1-14所示。1.2绘图工具及其使用图1-14图板、丁字尺的使用1.2.2三角板

三角板可配合丁字尺画垂直线(见图1-14)，也可画45°、30°、60°和15°倍角的斜线，或用两块三角板配合画任意角度的平行线，如图1-15所示。图1-15三角板的使用(a)画45°和60°及15°倍角的斜线；(b)三角板画平行线的方法1.2.3分规、圆规

分规用来量取线段长度或等分线段，如图1-16所示，分规的两个针尖应平齐。

图1-16分规的使用(a)截取长度；(b)等分线段圆规用来画圆和圆弧。画图时应使钢针和铅芯都垂直于纸面，钢针的台阶与铅芯尖应平齐。在画粗实线圆时，圆规针脚用2B或B铅芯(比画粗直线的铅笔芯软一号)，并磨成矩形；画细线圆时，用H或HB铅芯并磨成斜角，如图1-17和图1-18(d)所示。图1-17圆规的针脚(a)打底稿、画细线；(b)画粗线画大直径圆时，圆规的针脚和铅芯脚均应保持与纸面垂直。画圆应匀速旋转、用力均匀、稍向前倾斜，画法如图1-18(a)～(c)所示。图1-18圆规的用法(a)画小圆；(b)画大圆；(c)画圆的方法；(d)圆规的铅芯削法1.2.4绘图铅笔

铅笔的铅芯分别用B和H表示其软硬程度，常用型号有B～6B、HB、H～6H，B类铅笔数字越大越软，H类铅笔数字越大越硬，HB软硬适中。绘图应准备以下几种铅笔：

B或HB——加深粗实线(铅芯磨成矩形)；

HB或H——画箭头和写字(铅芯磨成锥形)；

H或2H——画底稿或画细线(铅芯磨成锥形)，如图1-19所示。图1-19铅笔的削法(a)磨成矩形；(b)磨成锥形；(c)修磨方法画线时，铅笔在前后方向应与纸面垂直，而且向画线前进方向倾斜约30°，如图1-20所示。当画粗实线时，因用力较大，倾斜角度可小一些。画线时用力要均匀，匀速前进。图1-20用铅笔画线的方法1.2.5其他工具

在绘图时，除了上述工具之外，还需要准备铅笔刀、橡皮、固定图纸用的胶带纸、量角器、擦图片(修改图线时用它遮住不需要擦去的部分)、砂纸(磨铅笔用)、曲线板(用来绘制非圆曲线)以及清除图面上橡皮屑的小刷等。1.3.1等分已知线段

将已知直线AB三等分。作图步骤如图1-21所示。

(1)过点A任作一直线AC。

(2)用圆规或分规以任意长度在AC上截取三个等分点，得1、2、3点。

(3)连接3B，并分别过AC上的1、2点作3B的平行线交AB于1′、2′，即得线段AB上三等分点。1.3几何作图图1-21等分已知线段1.3.2等分圆周及正多边形画法

1．正六边形的画法

画正六边形时，若知道对角线的长度(即外接圆的直径)或对边的距离(即内切圆的直径)，即可用圆规、丁字尺和60°三角板画出，作图过程如图1-22(a)、(b)所示。

也可利用正六边形的边长等于外接圆半径，用圆规直接找到正六边形的六个顶点，作图过程如图1-22(c)所示。图1-22正六边形的画法

2．正五边形的画法(圆周五等分)

已知外接圆半径R求作正五边形，其作图步骤如图1-23所示。

(1)作半径OB的中垂线PQ与OB交于M点，如图1-23(a)所示。

(2)以M为圆心，MA为半径(R1)，画弧与水平中心线交于N点，A与N的距离等于正五边形的边长，如图1-23(b)所示。

(3)以AN长(R2)等分外接圆周得五个顶点，将五个顶点连接，即成正五边形，如图1-23(c)所示。图1-23正五边形的画法1.3.3锥度和斜度

1．斜度

斜度是指一直线对另一直线或一平面对另一平面倾斜的程度，其大小用两直线或两平面间夹角的正切来表示(见图1-24(a))，即tan a = H/L。在图样上常以1∶n的形式加以标注，并在其前面加上斜度符号“∠”(画法见图1-24(b)，h为字体高度，符号线宽为h/10)，符号的方向应与斜度方向一致，其标注如图1-24(c)所示。

以图1-24(c)为例，过已知点C作1∶6斜度线的作图方法如图1-24(d)所示。图1-24斜度及其画法与标注(a)斜度；(b)斜度符号；(c)斜度标注；(d)斜度画法

2．锥度

锥度是指正圆锥的底圆直径与其高度或圆锥台的两底圆直径之差与其高度之比(见图1-25(a))，即D/L=(D－d)/l = 

2 tana/2。在图样上也以1∶n的形式加以标注，并在其前面加上锥度符号(画法见图1-25(b))，该符号应配置在基准线上，符号的方向应与锥度方向一致，其标注如图1-25(c)所示。图1-25锥度及其标注(a)锥度；(b)锥度符号；(c)锥度标注以图1-26(a)为例，作1∶3的锥度线的作图方法如图1-26(b)、(c)所示。图1-26锥度的画法1.3.4圆弧连接

1．连接圆弧的圆心轨迹及切点位置

(1)当一个圆与直线TT′ 相切时(见图1-27(a))，圆心O的轨迹是直线TT′ 的平行线，其距离等于圆的半径R。过圆心作TT′ 的垂线，垂足T即为切点。

(2)当一个圆与圆弧TT′相切时(见图1-27(b)、(c))，圆心O的轨迹是TT′ 的同心弧。外切时，其半径为R1＋R；内切时，其半径为R1－R。而切点T是圆心O与O1的连心线(内切为连心线延长线)与圆弧的交点。图1-27连接圆弧的圆心轨迹及切点(a)圆与直线相切；(b)圆与圆弧外切；(c)圆与圆弧内切

2．圆弧连接的作图

圆弧连接的作图方法是根据上述作图原理进行的，无论哪种形式的连接，连接圆弧的圆心都是利用动点运动轨迹相交的概念确定的，例如与直线等距离的点的轨迹是平行的直线，与圆弧等距离的点的轨迹是同心圆弧等。常见的圆弧连接形式及作图方法见表1-6。表1-6圆弧连接形式及作图1.3.5椭圆画法

已知椭圆的长轴AB和短轴CD，其椭圆的近似画法如图1-28所示。

(1)画出长轴AB和短轴CD。连接AC，并在AC上截取CF，使其等于AO与CO之差CE(见图1-28(a))。图1-28椭圆的近似画法

(2)作AF的垂直平分线，使其分别与AO和OD(或其延长线)交于1和2点。以O为对称中心找出3和4点，此1、2、3、4点即为所求的四个圆心，分别连接各点并延长，此四条线为四段圆弧的分界线(见图1-28(b))。

(3)分别以2和4为圆心。2C(或4D)为半径画大圆弧，再分别以1和3为圆心。1A(或3B)为半径画小圆弧，四段圆弧的交点即为大、小圆弧的切点，以四段圆弧可组成近似椭圆，如图1-28(c)所示。1.4.1尺寸分析

1．尺寸的作用和分类

1)定形尺寸

确定平面图形中各线段形状和大小的尺寸称定形尺寸。如图1-29中所示的15、

5、R10等都是定形尺寸。1.4平面图形的画法

2)定位尺寸

确定图形中各线段间的相对位置的尺寸称为定位尺寸。如图1-29中的8、75等都是定位尺寸。

2．尺寸基准

标注定位尺寸的起点称为尺寸基准。通常以图形的对称线、圆的中心线及主要轮廓线作为尺寸基准。手柄的尺寸基准如图1-29所示。图1-29手柄1.4.2线段分析

平面图形中的线段按所给出的尺寸是否齐全可分为三类：

(1)已知线段：定形、定位尺寸齐全，可以直接画出的线段，称为已知线段，如图1-29中的R10、R15圆弧及左边的矩形。

(2)中间线段：具有定形尺寸和一个定位尺寸，而另一个定位尺寸未直接给出，需根据与其相邻线段的几何关系求出的线段，称为中间线段，如图1-29中的R50圆弧。

(3)连接线段：只有定形尺寸，未给出定位尺寸，其位置必须用作图方法依靠两端相邻线段确定的线段，称为连接线段，如图1-29中的R12圆弧。1.4.3画图步骤

绘制平面图形时，应先进行尺寸和线段分析，明确各线段的性质，按照已知线段、中间线段、连接线段的顺序依次画出。手柄的作图步骤如图1-30(a)～(h)所示。图1-30手柄的作图步骤(1)(a)画基准线A、B；(b)画已知线段；(c)作平行并相距B均为15的两平行线Ⅱ、Ⅲ；(d)作Ⅰ、Ⅳ分别平行于Ⅲ、Ⅱ并相距均为50；图1-30手柄的作图步骤(2)(e)求中间线段的圆心O1、O2及切点T1、T2(f)画中间线段R50；(g)画连接线段R12；(h)检查、加深1.5.1仪器绘图的方法和步骤

1．准备工作

(1)分析图形的尺寸及其线段，拟定作图顺序。

(2)根据图形的大小和复杂程度确定比例，选用图幅。

(3)固定图纸，画图框及标题栏。1.5绘图的方法和步骤

2．绘制底稿

(1)布置图形应尽量匀称、居中，要考虑标注尺寸的位置，画出图形的基准线。

(2)先画主要部分，再画次要部分。

(3)画底稿线用硬铅笔，要画得细而轻，便于修改。

(4)认真检查底图，纠正错误，擦干净多余的图线。

3．加深底稿

按标准的线型加深图线，其顺序为：

(1)先粗后细：应先加深全部的粗实线，再依次加深细虚线、细点画线及细实线。这样可保证整张图中同一线型粗细一致，提高绘图效率。

(2)先圆后直：在加深同一种线型时(特别是粗实线)，要先加深圆和圆弧(先小后大)，然后加深直线，以保证连接圆滑。

(3)先直后斜：遵循先加深水平线(由上至下)，再加深垂直线(由左至右)，后加深倾斜直线。

(4)根据尺寸标注的规定，画尺寸界线、尺寸线、箭头、正确填写尺寸数字，最后用长仿宋体字书写文字说明，填标题栏，完成全图。1.5.2徒手绘图的一般方法

徒手图也称草图，是以目测物体的形状、大小和相对比例而徒手绘制的图样。绘制草图可加快设计速度，方便现场测绘。草图同样要求：图形正确、线型分明、比例一致、字体工整、图面整洁。

徒手绘图所使用的铅笔芯磨成圆锥形，画中心线和尺寸线的磨得较尖，画可见轮廓线的磨得较钝。手握笔的位置要比仪器绘图要高些，以利于运笔和观察目标，笔杆与纸面成45°～60°，执笔稳而有力。一个物体的图形无论怎样复杂，总是由直线、圆、圆弧和曲线所组成，因此要画好草图，必须掌握徒手画各种图线的方法。

1．直线的画法

画直线时，手腕不要转动，眼睛看着画线的终点，轻轻沿画线方向移动手腕和手臂，如图1-31所示。画长斜线时，可以将图纸旋转适当角度，使它转成水平线来画。图1-31徒手画直线的方法(a)画水平线；(b)画垂直线；(c)画斜线

2．圆的画法

画小圆时，应先定圆心，画中心线，再根据半径大小通过目测在中心线上定出四点，然后过这四点分两半画出圆，如图1-32(a)所示。画较大圆时，可过圆心增画两条45°的斜线，在斜线上再根据半径大小定出四个点，然后过这八个点分段画出圆，如图1-32(b)所示。图1-32徒手画圆的方法(a)画小圆；(b)画大圆

3．圆弧的画法

画圆弧时，先将两直线徒手画成相交，然后目测，在分角线上定出圆心的位置，使它与角的两边的距离等于圆角的半径大小。过圆心向两边引垂线定出圆弧的起点和终点，并在分角线上也定出圆弧上一点，然后过三点画弧，如图1-33所示。图1-33徒手画圆弧的方法

4．角度的画法

画30°、45°、60°等特殊角度线时，可利用两直角边的比例关系近似绘制，如图1-34所示。图1-34徒手画特殊角度线的方法

5．椭圆的画法

画椭圆时，先画出椭圆的长、短轴，并目测确定长、短轴上四个端点的位置，过这四个点画一矩形。然后分别画出四段圆弧与矩形相切，并注意其对称性，如图1-35所示。图1-35徒手画椭圆的方法2.1投影法

2.2点的投影

2.3直线的投影

2.4平面的投影

第2章正投影的基本知识

2.1.1投影法的概念

在日常生活中，物体在光线照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。影子的轮廓反映了物体的轮廓特征，这就是常见的投影现象。人们根据工程实际的需要，对这种现象加以科学抽象和总结，概括出了用物体在平面上的投影来表示其形状的投影方法。如图2-1所示，S为投影中心，A为空间点，平面P为投影面，S与点A的连线为投影线，SA的延长线与平面P的交点a称为A在平面P上的投影，这种产生图像的方法叫做投影法。2.1投影法图2-1投影法2.1.2投影法的分类

1．中心投影法

投影线均由投影中心S出发，称为中心投影法。图2-2是三角形ABC用中心投影法在投影面上得到投影abc。

从图2-2中可以看出，投影abc比空间三角形ABC要大得多，不能反映物体的真实大小，所以它不适用于绘制机械图样。但是，根据中心投影法绘制的图形接近人们的视觉效果，立体感较强。建筑物的效果图、美术画、照相等均属于中心投影。图2-2中心投影法

2．平行投影法

投影线相互平行的投影法称为平行投影法。用平行投影法得到的投影称为平行投影，如图2-3所示。

从图2-3可以看出，当四边形ABCD平行于投影面时，无论空间平面ABCD距投影面多远，它的投影与空间平面形状和大小是相同的。

在平行投影法中，根据投影线与投影面的角度不同，又分为斜投影法和正投影法。

(1)斜投影法：投影线与投影面倾斜的投影方法，如图2-3(a)所示。

(2)正投影法：投影线与投影面垂直的投影方法，如图2-3(b)所示。图2-3平行投影法2.1.3正投影的基本性质

(1)真实性。当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长、平面的投影反映实形的性质，称为真实性(见图2-4(a))。

(2)积聚性。当直线或平面与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点，平面的投影积聚为一条直线的性质，称为积聚性(见图2-4(b))。

(3)类似性。当直线或平面与投影面倾斜时，其直线的投影长度变短、平面的投影变小，但投影的形状仍与原来的形状相类似，这种投影性质，称为类似性(见图2-4(c))。图2-4正投影的投影特性2.2.1点的一个投影

点的投影仍然是点。如图2-5所示，由空间点A向投影面P作垂线，其垂足a即为空间点A在投影面P上的唯一投影。反之，若已知投影a，则不能确定点A的空间位置，因为在过a

所作的P面垂线上各点(如A、A1…)的投影都与a

重合。因此，要确定一个点的空间位置，仅凭一个投影是不行的，常需要作出点的两面投影或三面投影。2.2点的投影图2-5点的单面投影2.2.2点的三面投影及投影特性

1．三投影面体系的建立

三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成(见图2-6)。它们分别为正立投影面(简称正面或V面)、水平投影面(简称水平面或H面)、侧立投影面(简称侧面或W面)。

三个投影面之间的交线，称为投影轴。V面与H面的交线称为OX轴(简称X轴)，它代表物体的长度方向；H面与W面的交线称为OY轴(简称Y轴)，它代表物体的宽度方向；

V面与W面的交线称为OZ轴(简称Z轴)，它代表物体的高度方向。三根投影轴相互垂直，其交点O称为原点。图2-6三面投影体系

2．点的三面投影

如图2-7(a)所示，求点A的三面投影，就是由点A分别向V、H、W三个投影面作投射线(垂线)，它们交V面于a′，交H面于a，交W面于a″。称a′ 为点A的正面投影(或V面投影)，称a为点A的水平投影(或H面投影)，称a″为点A的侧面投影(或W面投影)。

为了使点的三个投影a′、a、a″共面，移去空间点A，将H、W面按箭头所指的方向(见图2-7(a))旋转摊平在同一平面上，再去掉投影面的边框和V、H、W代号，便得到了点的三面投影图，如图2-7(b)所示。图中ax、ay、az分别为点的投影连线与投影轴X、Y、Z的交点。图2-7点的三面投影(a)立体图；(b)投影图

3．点的三面投影特性

由图2-7(a)可知：由于Aa′⊥V面，Aa⊥H面，则平面Aa′axa分别与V、H面及OX轴相垂直，则OX轴⊥a′ax和aax。同理可得OY轴⊥aay和a″ ay、OZ轴⊥a′az和a″az。当H面向下旋转90°与V面共面时，a′、ax

、a三点共线，如图2-7(b)所示，故得到a′a⊥OX轴；同理可得a′a″⊥OZ轴、aay⊥OYH和a″ay⊥OYW轴。

根据上述分析，可归纳出点在三面投影体系中的投影规律：

(1)点的正面投影与水平投影的连线a′a⊥OX轴；

(2)点的正面投影与侧面投影的连线a′a″⊥OZ轴；

(3)点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aax=a″az。

根据此投影规律，若已知点的任意两个投影，即可求出它的第三个投影。为了作图方便，可过原点O作角∠YHOYW的平分线，则aay与a″ay的延长线必与该辅助线交于一点，从而体现aax=a″az的对应关系。【例2-1】如图2-8(a)所示，已知点A的正面投影和水平投影，求其侧面投影。

解由点的投影特性可知，a′a″⊥OZ，aax

= a″az，过故a′作直线垂直于OZ轴，交OZ轴于az，在a′az的延长线上量取aax=a″az

，即可得到a″，如图2-8(b)所示。图2-8已知点的两个投影求第三投影

4．点的投影与直角坐标的关系

若将三投影面体系看做空间的直角坐标系，则V、H、W面相当于坐标面，OX、OY、OZ轴相当于坐标轴，点O相当于坐标原点。

由于图2-9(a)中长方体的每组平行边分别相等，因此可得出点的投影与A的三个坐标值xA、yA、zA有以下对应关系：

点A到W面的距离Aa″ = a′az

=aay

= oax=xA；

点A到V面的距离Aa′= aax

=a″az

=oay=yA；点A到H面的距离Aa=a′ax

=a″ay

=oaz

=zA。

由此可见，若已知点A的投影(a′、a、a″)，即可确定该点的坐标，也就确定了该点的空间位置；反之亦然。

由图2-9(b)可知，点的每个投影包含了点的两个坐标；点的任意两个投影包含了点的三个坐标，所以，根据点的任意两个投影，也可确定点的空间位置。图2-9点的投影与坐标的关系(a)立体图；(b)投影图【例2-2】已知点A(30、10、20)，求作它的三面投影图。

解法1

如图2-10(a)所示：

(1)作投影轴OX、OYH、OYW、OZ；

(2)在OX轴上由O点向左量取X坐标值30，得ax点，在OYH、OYW轴上由O点分别向下、向右量取Y坐标值10，得ayH、ayW，在OZ轴上由O点向上量取Z坐标值20，得出az；

(3)过ax作OX轴的垂线，过ayH、ayW分别作OYH、OYW轴的垂线，过az作OZ轴的垂线；

(4)各条垂线的交点a′、a、a″，即为点A的三面投影图。

解法2

如图2-10(b)所示：

(1)作投影轴；

(2)在OX轴上由O点向左量取X坐标值30，得ax点；

(3)过ax作OX轴的垂线，并沿垂线向下量取aax=10得a；向上量取a′ax=20，得a′；

(4)根据a、a′，求出第三投影a″。图2-10根据点的坐标作投影图2.3.1直线的三面投影

由平面几何得知，两点确定一条直线，故直线的投影可由直线上两点的投影确定。如图2-11所示，分别将两点A、B的同面投影用直线相连，则得直线AB的投影。2.3直

线

的

投

影图2-11直线的三面投影2.3.2各种位置直线的投影特性

1．直线对一个投影面的投影特性

1)直线平行于投影面

如图2-4(a)所示，直线AB平行于投影面，根据正投影的投影特性(真实性)，其投影反映实际长度，即ab= AB。

2)直线垂直于投影面

如图2-4(b)所示，直线AB垂直于投影面，根据正投影的投影特性(积聚性)，其投影积聚为一个点。

3)直线倾斜于投影面

如图2-4(c)所示，直线AB倾斜于H面，根据正投影的投影特性(类似性)，其投影仍为直线，但投影的长度比空间线段的实际长度缩短了。

2．直线在三投影面体系中的投影特性

1)投影面平行线

平行于一个投影面而倾斜于另两个投影面的直线称为投影面平行线。根据其平行的投影面不同，又可分为：

正平线——平行于V面，倾斜于H、W面的直线；

水平线——平行于H面，倾斜于V、W面的直线；

侧平线——平行于W面，倾斜于V、H面的直线。

表2-1列出了投影面平行线的立体图、投影图及投影特性。表2-1投影面平行线的投影特性

2)投影面垂直线

垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线。根据其垂直的投影面的不同，又可分为：

正垂线——垂直于V面，平行于H、W面的直线；

铅垂线——垂直于H面，平行于V、W面的直线；

侧垂线——垂直于W面，平行于V、H面的直线。

表2-2列出了投影面垂直线的立体图、投影图及投影特性。表2-2投影面垂直线的投影特性

3)一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。如图2-12所示的直线AB，由于直线上两端点到任意投影面的距离都不相等，其三面投影a′b′、ab、a″b″

均与投影轴倾斜，且投影长度小于AB的实长；从图中还可看出，每一投影对相应投影轴的夹角，不反映空间直线对相应投影面的真实倾角。图2-12一般位置直线(a)立体图；(b)投影图【例2-3】如图2-13(a)所示，根据三棱锥的正面投影和水平投影，判别棱线SA、SB、SC及底边AB、BC、CA是什么位置直线？并完成它们的侧面投影。

分析棱线SA的投影sa、s′a′ 都倾斜于OX轴，是一般位置直线，其侧面投影必然也倾斜于OZ轴；棱线SC同样也是一般位置直线；在棱线SB的投影中，sb∥OX，s′b′ 倾斜于OX轴，因此，SB是正平线，其侧面投影必然平行于OZ轴；在底边AB的投影中，ab倾斜于OX轴，a′b′∥OX，因此，AB是水平线，侧面投影必然平行于OYW轴；底边BC同样也是水平线；在底边CA的投影中，ca⊥OX，c′a′ 积聚为点，因此，CA是正垂线，侧面投影必然垂直于OZ轴。

作图作图过程如图2-13(b)所示。图2-13三棱锥的投影图2.3.3直线上点的投影

如图2-14所示，直线上点的投影有如下特性：

1．从属性

若点在直线上，则点的投影一定在直线的同面投影上，且符合点的投影规律，反之亦然。

2．定比性

若点在直线上，则点的投影将线段的同面投影分割成与空间线段相同的比例，反之亦然，即ek∶kf =e′k′∶k′f′ =e″k″∶k″f″ =EK∶KF。图2-14直线上的点【例2-4】已知点M在直线AB上，求作它们第三面投影(见图2-15(a))。

分析由于点M在直线AB上，根据正投影的投影特性(从属性)，点M的另两面投影投影必在直线AB的同面投影上。

作图

①首先求出直线AB的水平投影ab，如图2-15(b)所示。

②过m′作OX、OZ轴线的垂线，分别与ab、a″b″ 相交，求得m、m″，如图2-15(c)所示。图2-15直线上点的投影2.4.1平面的三面投影

平面图形的投影，一般仍为平面图形。

例如，图2-16(a)所示△ABC的三面投影均为三角形。作图时，先求出三角形各顶点的投影(见图2-16(b))，然后将各点的同面投影依次相连，即得△ABC的三面投影，如图2-16(c)所示。2.4平

面

的

投

影图2-16平面的投影2.4.2平面的投影特性

1．平面对一个投影面的投影特性

如图2-17所示，平面对一个投影面的投影特性取决于平面与投影面的相对位置，共分为三种情况，即：平行于投影面、垂直于投影面、倾斜于投影面。图2-17平面对一个投影面的投影特性

1)平面平行于投影面

当平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形，投影具有真实性。

2)平面垂直于投影面

当平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成一条直线，投影具有积聚性。

3)平面倾斜于投影面

当平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影与空间平面的形状是类似的，投影具有类似性。

2．平面在三面投影体系中的投影特性

1)投影面平行面

平行于一个投影面的平面称为投影面平行面。根据其所平行的投影面的不同，又可分为：

水平面——平行于H面，垂直于V、W面的平面；

正平面——平行于V面，垂直于H、W面的平面；

侧平面——平行于W面，垂直于V、H面的平面。

表2-3列出了投影面平行面的立体图、投影图及投影特性。

2)投影面垂直面

垂直于一个投影面而倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面。根据其所垂直的投影面的不同，又可分为：

铅垂面——垂直于H面，倾斜于V、W面的平面；

正垂面——垂直于V面，倾斜于H、W面的平面；

侧垂面——垂直于W面，倾斜于V、H面的平面。

表2-4列出了投影面垂直面的立体图、投影图及投影特性。

3)一般位置平面

对三个投影面均倾斜的平面称为一般位置平面。由于一般位置平面对三个投影面都倾斜(见图2-16(a))，所以，它的三面投影都均为与空间平面类似的图形，既不反映真形，也不积聚。【例2-5】根据所给的平面的两面投影判断是什么位置平面，并求作第三面投影(见图2-18(a))。

分析该平面的水平投影积聚为一倾斜的直线，侧面投影为六边形的类似形，根据平面的投影特性可知，该平面为六边形的铅垂面，其正面投影必为侧面投影的类似形(六边形)。

作图

①首先在侧面投影中标注出平面的各个顶点a″、b″、c″、d″、e″、f″。

②按对应关系在水平投影中标注出相应的字母a、b、c、d、e、f。

③根据点的两个投影求作正面投影a′、b′、c′、d′、e′、f′。

④按侧面投影的连线顺序依次连接a′b′c′d′e′f′a′。作图结果如图2-18(b)所示。图2-18根据平面的两投影求作第三投影(a)题目；(b)作题结果2.4.3平面上的直线和点

1．平面内取直线

直线在平面上的条件是：

(1)直线经过平面上的两点；

(2)直线经过平面上的一点，且平行于平面上的另一已知直线。

据此，可在平面的投影图中进行作图。

【例2-6】如图2-19(a)所示，平面由△ABC给出，试在平面内任意作一条直线。图2-19平面内取任意直线

解可用下面两种方法作图：

解法1

在平面内任找两个点连线(见图2-19(a))。

在边线AB上任意取一点M(m、m′)，在边线AC上任意取一点N(n、n′)，用直线连接M、N的同面投影，直线MN即为所求。

解法2

过面内一点作平面内已知直线的平行线(见图2-19(b))。

在边线ED上任意取一点M(m、m′)，过M点作直线MN∥EF(mn∥ef，m′n′∥e′f′ )，直线EF即为所求。

2．平面内取点

点在平面内的条件是：如果点在平面内的某一直线上，则此点必在该平面上。据此，在平面上取点时，应先在平面上取直线，再在直线上取点。

【例2-7】如图2-20(a)所示，已知△ABC上点K的正面投影k′，求k和k″。

解求平面上点的投影，必须先过已知点作辅助线。可用两种方法作图：

解法1

图2-20(b)所示：过k′ 作辅助直线c′d′ 求k和k″ 的方法。

解法2

如图2-20(c)所示过k′ 作平行线(e′f′∥a′b′)求k和k″ 的方法，具体作图步骤如图中箭头所指。图2-20求平面上点的投影3.1物体的三视图

3.2平面立体的投影

3.3回转体的投影

3.4平面与回转体相交

3.5两回转体相交

第3章立体的投影

3.1.1视图的基本概念

用正投影法绘制物体所得到的图形，称为视图。

应当指出，视图并不是观察者观看物体所得的直觉印象，而是把物体放在观察者和投影面之间，将观察者的视线视为一组相互平行且与投影面垂直的投影线，对物体进行投影所获得的正投影图，其投影情况如图3-1所示。3.1物体的三视图图3-1单个视图的形成3.1.2三视图的形成

在正投影中，用一个视图是不能确定物体的形状和大小的(如图3-1所示)。因此，为了将物体的形状和大小表达清楚，工程上常用三面视图。

1．物体在三面投影体系中的投影

将物体放置在三投影面体系中，按正投影法向各投影面投影，即可分别得到物体的正面投影、水平投影和侧面投影，如图3-2(a)所示。

2．三投影面的展开

为了画图方便，需将物体拿走，把相互垂直的三个投影面展开(摊平)在同一平面上。规定V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°(如图3-2(b)所示)，使H面、W面与V面在同一平面上(这个平面就是图纸)，这样就得到了如图3-2(c)所示的展开后的三视图。应注意，H面和W面在旋转时，OY轴被一分为二。

物体在V面上的投影，即由前向后投射所得的视图，称为主视图；物体在H面上的投影，即由上向下投射所得的视图，称为俯视图；物体在W面上的投影，即由左向右投射所得的视图，称为左视图，如图3-2(c)所示。物体的形状与距离投影面的远近无关，投影面可根据需要扩大。在实际作图中，不必画出投影面的边界和投影轴。三视图的配置是以主视图为准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右方，如图3-2(d)所示。

绘制三视图时应注意，按国家标准的规定，视图中凡可见的轮廓线用粗实线表示；不可见的轮廓线用虚线表示；对称中心线用点画线表示。如图3-2支架中的圆柱孔，在左视图和俯视图中不可见，用虚线表示。三个视图中圆柱孔的中心线均画成点画线。图3-2三视图的形成3.1.3三视图的投影规律

1．三视图的“三等”规律

以主视图为准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右方。

物体都有长、宽、高三个方向尺寸。从图3-2(c)中各视图之间的尺寸关系可以看出，每个视图都反映两个方向的尺寸，即：

主视图反映物体的长度和高度；

俯视图反映物体的长度和宽度；

左视图反映物体的宽度和高度。由此可归纳得出三视图之间的对应规律：

主、俯视图长对正(等长)；

主、左视图高平齐(等高)；

俯、左视图宽相等(等宽)。

必须指出，无论是整个物体或物体的局部，其三面投影图都必须符合“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”规律，如图3-3所示。图3-3三视图的“三等”规律

2．三视图与物体的方位关系

所谓的方位关系，是指以绘图(或看图)者面对正面(即主视图的投影方向)来观察物体为准，看物体的上、下、左、右、前、后六个方位在三视图中的对应关系，如图3-4所示。

主视图——反映物体的上、下、左、右；

俯视图——反映物体的左、右、前、后；

左视图——反映物体的上、下、前、后。图3-4三视图与物体的方位关系3.1.4三视图的作图方法

根据物体(或轴测图)画三视图时，首先应分析其结构形状，摆正物体(使其主要表面与投影面平行)，选好主视图的投影方向，再着手画图。

作图时，应先画出三视图的基准线。然后画三视图，通常从主视图入手，再根据“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”规律，按物体的组成部分依次画出俯视图和左视图。图3-5(a)所示的物体，其作图步骤如图3-5(b)、(c)、(d)所示。

作图时，为了实现“俯、左视图宽相等”，可作45°辅助线来求得其对应关系，如图3-5(b)所示。图3-5三视图的作图步骤(a)轴测图；(b)画底板的三视图；(c)画左立板的三视图；(d)画右立板的三视图，完成全图【例3-1】根据立体图(见图3-6(a))，补画三视图中的漏线，完成其三视图(未知尺寸从立体图中量取)。

分析对照图3-6(a)中的立体图可以看出，该立体由下底板和上立板构成。由立体图和所给的三视图按“三等”规律检查发现，下底板在俯视图和左视图上投影不全，上立板缺少俯、左视图。

解

(1)由主视图“长对正”补画出下底板缺少的虚线。

(2)由主视图“高平齐”，在左视图中画出下底板缺少的轮廓线。

(3)由主视图“长对正”画上立板的轮廓线，并从下底板的后面往前量取立板的宽度等于立体图上的宽度，完成上立板的俯视图。

(4)由主视图“高平齐”，在左视图中画上立板的轮廓线，并由俯视图“宽相等”画出上立板的左视图。完成立体的三视图，如图3-6(b)所示。图3-6补画三视图中的漏线

【例3-2】根据立体图和给出的主、左视图(见图3-7(a)、(b))，画出俯视图。

分析该立体由带方孔的立板和圆柱构成。

解根据“三等”投影规律依次画出立板和圆柱的俯视图，作图见图3-7(c)、(d)、(e)所示。图3-7已知主、左视图画俯视图(a)题目；(b)立体图；(c)画立板及前后通方孔的俯视图；(d)画前面圆柱的俯视图；(e)加深，完成俯视图3.2.1棱柱体

1．棱柱体的三视图

图3-8所示为正五棱柱的投射情况。从图中可知，正五棱柱的上顶面和下底面都是水平面，五个侧面(均为矩形)中，后侧面是正平面，其余的四个侧面为铅垂面，五条侧棱线为铅垂线。3.2平面立体的投影图3-8正五棱柱的三视图及表面上的点(a)立体图；(b)投影图画三视图时，先画上顶面和下底面的投影。水平投影中，上顶面和下底面均反映实形(正五边形)且投影重合，正面投影和侧面投影都有积聚性，分别积聚为平行于OX轴和OYW轴的直线；五个侧面由五条侧棱线分开，五条侧棱线的水平投影具有积聚性，积聚为正五边形的五个顶点，它们的正面投影和侧面投影均平行于OZ轴且反映棱柱的高。在画完上述面与棱线的投影后，即得该五棱柱的三视图，如图3-8(b)所示。

由于后面两条棱线EE0和DD0从前往后看时不可见，因此主视图中应画成虚线，同时请特别注意，俯视图和左视图之间必须符合宽相等和前后对应关系。这种关系可在作图时按照相对位置关系在图中直接量取作图，也可添加45°辅助线作图。

2．棱柱体表面上的点

当点属于立体的某个表面时，则该点的投影必在它所从属的表面的各同面投影范围内。若该表面的投影为可见，则该点的同面投影也可见；反之为不可见。因此在求立体表面上点的投影时，应首先分析该点所在平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。

如已知正五棱柱上点F和G的正面投影f'(g')(见图3-8)，求作它们的水平投影和侧面投影。按f'(g')的位置和可见性，可判定点F属于五棱柱的左前棱面AA0BB0，G属于五棱柱的后棱面DD0EE0。因点F所属平面AA0BB0为铅垂面，因此其水平投影必落在该平面有积聚性的水平投影aa0bb0上。再根据f' 和f求出f″。点G的投影求法与点F的投影求法相同。

3．棱柱体的特征

图3-9所示是一些常见的棱柱及其三视图，从中可以总结出它们的形体特征：正棱柱体都是由两个平行且相等的多边形底面和若干个与其相垂直的矩形侧面所组成，其三视图的特征是：一个视图为多边形，其他两个视图均为一个或多个可见或不可见的矩形线框(图形内的线为某些侧面棱线的投影，矩形线框为某些侧面的投影或重影)。图3-9棱柱体及其三视图(a)正三棱柱；(b)直四棱柱；(c)正四棱柱；(d)正五棱柱；(e)正六棱柱；(f)正六棱柱3.2.2棱锥体

1．棱锥体的三视图

图3-10所示为正三棱锥的投射情况。从图中可知，棱锥由底面△ABC和三个相等的棱面△SAB、△SBC和△SAC所组成。底面为水平面，其水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚为一直线。棱面△SAC为侧垂面，因此侧面投影积聚为一直线，水平投影和正面投影都是类似形。棱面△SAB和△SBC为一般位置平面，它的三面投影均为类似形。棱线SB为侧平线，棱线SA、SC为一般位置直线，棱线AC为侧垂线，棱线AB、BC为水平线。对它们的投影特性，读者可自行分析。画正三棱锥的三视图时，先画出底面△ABC的各个投影，再画出锥顶S的各个投影，连接各顶点的同面投影，即为正三棱锥的三视图，如图3-10(b)所示。图3-10正三棱锥的三视图及表面上的点(a)立体图；(b)投影图

2．棱锥体表面上的点

正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。属于特殊位置平面的点的投影，可利用该平面投影的积聚性直接作图。属于一般位置平面的点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。

如图3-10所示，已知棱面△SAB上点M的正面投影m' 和棱面△SAC上点N的水平投影n，试求点M、N的其他投影。因棱面△SAC是侧垂面，它的侧面投影s″a″(c″)具有积聚性，因此n" 在直线s″a″(c″)上，再由n和n″ 求得n'。棱面△SAB是一般位置平面，过锥顶S及点M作一辅助线SⅡ(图3-10(b)中即过m' 作s' 2'，其水平投影为s2)，然后根据直线上的点的投影特性，求出其水平投影m，再由m'、m求出侧面投影m″。若过点M作一水平辅助线ⅠM，同样可求得点M的其余二投影。

点M和点N的各个投影的可见性问题，这里不再分析。

3．棱锥体的特征

下面看一些常见的正棱锥体及其三视图(见图3-11)。从中可总结出它们的形体特征：正棱锥体由一个正多边形底面和若干个具有公共顶点的等腰三角形侧面所组成，且锥顶位于过底面中心的垂直线上；其三视图的特征是：一个视图为正多边形(图形内的线分别为侧棱线的投影，等腰三角形分别为侧表面的投影)，其他两视图均为一个或多个可见与不可见具有公共顶点的三角形线框(图形内的线为某些侧棱线的投影，三角形为某些侧表面的投影)。图3-11棱锥体及其三视图(a)正三棱锥；(b)正四棱锥；(c)正六棱锥

棱锥体被平行于底面的平面截去其上部，所剩的部分叫做棱锥台，简称棱台，如图3-12所示。其三视图的特征是：一个视图中为两个相似的正多边形(分别反映两个底面的实形，图形内对应角的连线分别为侧棱线的投影，梯形分别为侧面的投影)；其他两个视图均为一个或多个可见与不可见的四边形线框(图形内的线为某些侧棱线的投影，四边形为某些侧面的投影)。图3-12棱锥台及其三视图(a)正三棱台；(b)正四棱台；(c)正六棱台

由一条母线(直线或曲线)围绕轴线回转而形成的表面，称为回转面(如图3-13所示)；由回转面或回转面与平面所围成的立体，称为回转体。3.3回转体的投影图3-13回转面的形成(a)圆柱面的形成；(b)圆锥面的形成；(c)球面的形成3.3.1圆柱体

1．圆柱面的形成

如图3-13(a)所示，圆柱面可看做一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时，称为素线。

2．圆柱体的三视图

图3-14表示一个圆柱体的投射情况。由于圆柱轴线为铅垂线，圆柱面上所有素线都是铅垂线，所以其水平投影积聚成一个圆。圆柱体的上、下两底圆均平行于水平面，其水平投影反映实形，为与圆柱面水平投影重合的圆平面。图3-14圆柱体及其三视图(a)圆柱体的投射情况；(b)圆柱体的三视图主视图的矩形表示圆柱面的投影，其上、下两边分别为上、下底面的积聚性投影；左、右两边分别为圆柱面最左、最右素线的投影，这两条素线的水平投影积聚成两个点，其侧面投影与轴线的侧面投影重合。最左、最右素线将圆柱面分为前、后两半，是圆柱面由前向后的转向轮廓线，也是圆柱面在正面投影中可见与不可见部分的分界线。

左视图的矩形线框可与主视图的矩形线框作类似的分析。

画圆柱体的三视图时，一般先画圆，再根据圆柱体的高度和投影规律画出其他两视图。

3．圆柱体表面上的点

如图3-15所示，已知圆柱面上点M的正面投影m‘，求m和m″。

由于圆柱的轴线为侧垂线，圆柱面上所有素线均是平行于轴线的侧垂线，其圆柱面的侧面投影积聚成一个圆，所以点M的侧面投影一定重影在圆周上。据此，作图时应先求出m″，再由m'和m″求出m。因点M位于圆柱的上表面，所以其水平投影m为可见。图3-15圆柱体表面上点的求法

4．圆柱体的特征

综上所述，可总结出圆柱的形体特征：它由两个相等的圆底面和一个与其垂直的圆柱面所围成。其三视图的特征是：一个视图为圆，其他两个视图均为相等的矩形线框。3.3.2圆锥体

1．圆锥面的形成

如图3-13(b)所示，圆锥面可看做是一条直母线SA围绕和它相交的轴线OO回转而成。

2．圆锥体的三视图

图3-16所示为一圆锥体的投影情况。由于圆锥轴线为铅垂线，底面为水平面，所以它的水平投影为一圆，反映底面的实形，同时也表示圆锥面的投影。主视图、左视图均为等腰三角形，其下边均为圆锥底面的积聚性投影。主视图中三角形的左、右两边，分别表示圆锥面最左、最右素线的投影(反映实长)，它们是圆锥面的正面投影可见与不可见的分界线；左视图中三角形的两边，分别表示圆锥面最前、最后素线的投影(反映实长)，它们是圆锥面的侧面投影可见与不可见的分界线。上述四条线的其他两面投影，请读者自行分析。图3-16圆锥体及其三视图(a)圆锥体的投影情况；(b)圆锥体的三视图

3．圆锥体表面上的点

如图3-17所示，已知圆锥体表面上点M的正面投影m′，求m和m“。

根据M的位置和可见性，可判定点M在前、左圆锥面上，因此，点M的三面投影均为可见。

作图可采用如下两种方法：

(1)辅助素线法：如图3-17(a)所示，过锥顶S和点M作一辅助素线SⅠ，即在图3-17(b)中连接s‘m’，并延长到与底面的正面投影相交于1‘，求得s1和s″1″；再由m’ 根据点在线上的投影规律求出m和m″。

(2)辅助圆法(纬圆法)：如图3-17(a)所示，过点M在圆锥面上作垂直于圆锥轴线的水平辅助圆(该圆的正面投影积聚为一直线)，即过m' 所作的2' 3' (如图3-17(c)所示)的水平投影为一直径等于2' 3' 的圆，圆心为s，由m'作OX轴的垂线，与辅助圆的交点即为m。再根据m' 和m求出m″。图3-17圆锥体表面上点的求法

4．圆锥体的特征

圆锥的形体特征是：它由一个圆底面和一个锥顶位于与底面相垂直的中心轴线上的圆锥面所围成。其三视图的特征是：一个视图为圆，其他两视图均为相等的等腰三角形。

圆锥体被平行于其底面的平面截去上部，所剩的部分叫作圆锥台，简称圆台。圆台及其三视图如图3-18所示。其三视图的特征是：一个视图为两个同心圆(分别反映两个底面的实形，两圆之间的部分表示圆台面的投影)；其他两个视图均为相等的等腰梯形。如图3-11(b)所示，俯视图的左、右两腰分别为圆台面最左、最右素线的投影，左视图的上、下两腰分别为圆台面最上、最下素线的投影，梯形的两底分别为两个底面的积聚性投影。图3-18圆台及其三视图3.3.3球体

1．球面的形成

如图3-13(c)所示，球面可看做一圆母线围绕它的直径回转而成。

2．球体的三视图

图3-19(a)所示为一球体的投影情况，图3-19(b)所示为球体的三视图。它们都是与球直径相等的圆，均表示球面的投影。球体的各个投影虽然都是圆，但各个圆的意义却不相同。主视图中的圆是平行于V面的圆素线Ⅰ(前、后半球的分界线，球面正面投影可见与不可见的分界线)的投影；按此作类似分析，俯视图中的圆是平行于H面的圆素线Ⅱ

的投影；左视图中的圆是平行于W面的圆素线Ⅲ 的投影。这三条圆素线的其他两面投影都与圆的相应中心线重合。图3-19圆球体及其三视图(a)圆球体的投影情况；(b)圆球体的三视图

3．圆球体表面上的点

如图3-20(a)所示，已知圆球面上点M的水平投影m，求其他两面投影。

根据M的位置和可见性，可判定点M在前半球的左上部分，因此点M的三面投影均为可见。

图3-20圆球体表面上的点作图应采用辅助圆法。即过点M在球面上作一平行于正面的辅助圆(也可作平行于水平面或侧面的圆)。因点在辅助圆上，故点的投影必在辅助圆的同面投影上。

作图时，先在水平投影中过m作ef

//

OX，ef为辅助圆在水平投影面上的积聚性投影，再画正面投影为直径等于ef的圆，由m作OX轴的垂线，其与辅助圆正面投影的交点(因m可见，应取上面的交点)即为m'，再由m、m′ 求得m"，如图3-20(b)所示。

4．圆球体的特征

圆球体的形体特征是：它是由过球心任一直径都相等的球面所围成的。其三视图的特征是：三个视图都是直径相等的圆。

回转体作为物体的组成部分不都是完整的，也并非总是直立的。多看、多画些形体不完整、方位多变的几何体及其三视图，熟悉它们的形状，对提高看图能力非常有益。

为此，下面给出了多种形式的不完整回转体及其三视图(见图3-21)，供读者自行识读。图3-21部分不完整回转体及其三视图3.4.1截交线的几何性质

平面与立体表面相交时会产生表面交线，这种表面交线称为截交线，这个平面称为截平面，由截交线所围成的平面图形称为断面，如图3-22所示。3.4平面与回转体相交图3-22截交线的基本概念由于立体的形状和截平面的位置不同，因此截交线的形状也各不相同，但它们都具有下面两个基本性质：

(1)共有性。截交线是截平面和立体表面的共有线，故截交线上任一点都是截平面和立体表面的共有点。

(2)封闭性。由于任何立体表面在空间的尺寸是有限的，所以，截交线一般多由封闭的平面曲线或直线所围成。

平面与回转体相交，截交线一般是由曲线或曲线与直线围成的一个封闭的平面图形，当投影为非圆曲线时，可以利用表面取点的方法求出截交线上一系列点的投影，再连成光滑的曲线，并判别可见性。首先求出截交线上的全部特殊点，即最高、最低、最左、最右、最前、最后点或转向轮廓线上的点，当连线有困难时，再求出若干个一般点。3.4.2平面与圆柱相交

平面与圆柱相交，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种不同的形状，见表3-1。表3-1圆柱体的截交线【例3-3】求圆柱被截切后(见图3-23(a))的三视图。

分析该圆柱为一直立圆柱体，轴线铅垂，上端切口是用左、右两个平行于圆柱轴线的对称的侧平面及两个垂直于圆柱轴线的水平面截切而成。侧平面与圆柱轴线平行，截断面为矩形，水平面与轴线垂直，与圆柱表面的截交线都为圆弧，由于它们都分别垂直于相应的投影面，因此，圆柱上部切口部分截交线的投影均可用积聚性法求出。

作图步骤如下：

(1)先画出完整的圆柱三视图。

(2)由于截平面分别为侧平面和水平面，圆柱截交线的正面投影都有积聚性，侧平面的水平投影也有积聚性，故应按切口部位的尺寸依次画出正面投影和水平投影，再根据这两面投影求出截交线的侧面投影a″b″c″d″，作图过程如图3-23(b)所示。图3-23圆柱切口三视图的画法【例3-4】已知圆柱被平面截切后的主、俯视图(见图3-24(a))，补画其左视图。

分析

该圆柱体轴线铅垂放置，上部由正垂面P和侧平面Q所截切而成。截平面P与圆柱体轴线倾斜，截交线为椭圆弧，其正面投影积聚在截平面P的正面投影上，水平投影重合在圆柱面的水平投影圆上，侧面投影为椭圆弧。截平面Q为侧平面，与轴线平行，截切圆柱表面的交线为前后两段素线，Q平面与顶平面和P面相交的交线为两段正垂线，其截断面为矩形。正面投影重合在Q平面的正面投影上，水平投影积聚为直线，侧面投影反映实形。

作图步骤如下：

(1)求截断面Q的投影。如图3-24(b)所示，因为Q为侧平面，水平投影积聚为直线，由此求出水平投影abmn，侧面投影反映实形，根据上例可求得侧面投影a″b″m″n″。

(2)求正垂面P截圆柱表面的截交线。如图3-24(c)所示，先求特殊点，在正面投影上确定出A、B、C、D、E的正面投影a′、(b′)