广西玉林市九校2025-2026学年高二数学下学期期中测试含解析

广西玉林市九校2025-2026学年高二下学期期中质量监测

数学试卷

一、单选题

1．下列导数运算正确的有（）

''

A．sin1cos1B．xexx1ex

'2

C．e2xe2xD．ln2x

x

*22

2．已知nN，若5An3C2n1，则n（）

A．1B．2C．3D．1或3

8

22

3．在x的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）

x

A．56B．-56C．70D．-70

1

4．已知函数fxx2，则f1（）

x

A．0B．1C．2D．3

5．如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种

颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（）

A．20B．24C．48D．72

6．已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为

6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子

的概率为（）

153281

A．B．C．D．

51275125

7．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均

3

为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（）

5

61243

A．B．C．D．

252577

1a

8．已知函数fxx3x2ax1（aR）有两个极值点，则实数a的取值范围为（）

32

A．,04,B．,0

C．0,4D．4,

二、多选题

9．在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，

则下列结论正确的是（）

A．若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况

B．若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况

C．若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况

D．若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况

10．袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为X，

则（）

1

A．随机变量X服从二项分布B．PX1

2

C．E4X13D．记这4个球中白球的个数为Y，则DXDY

11．甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为

p(0p1)，乙获胜的概率为1p，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（）

A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为p232p

B．若采用5局3胜制，则甲以3:1获胜的概率为5p31p

C．若p0.6，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大

D．若p0.6，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大

三、填空题

18

12．在21x的展开式中，常数项为_______________.

x2

13．已知曲线fxex，则在点0,f0的切线方程为________．

14．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号

码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________．

四、解答题

15．已知函数fxx242x1.

(1)求函数fx的单调区间；

(2)求当x0,2时，函数fx的最值.

16．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机

器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽

取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.

(1)求的分布列和数学期望；

(2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器

人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为p，若该

机器人成功完成指令的概率为0.8，求p的值；

n2n

17．已知2x1a0a1xa2xanx展开式共有11项.

(1)求n的值，并求二项式系数的最大值；

(2)求a0a1a2an的值；

1111

(3)求aaaaa的值.

02142832nn

18．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生

体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学

生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，

获得数据如下表：

男生（人）女生（人）合计（人）

运动达标8040120

运动不达标206080

合计100100200

用频率估计概率．

(1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；

(2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设X为“运动达标”的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为Y．求使概率PYk取得最大值时的k的

值．（直接写出结论）

19．已知函数fxax2lnxaR.

1

(1)若a，求函数fx的单调区间；

2

(2)若gxax2ax1aR，且f(x)gx恒成立，求实数a的取值范围；

11

(3)证明：1lnn1nN.

2n

参考答案

1．B

'

【详解】选项A，因为sin1是常数，所以sin10，故A错误；

''

选项B，xexxexxex1·exx·exx1ex，故B正确；

选项C，e2xe2x2x2e2x，故C错误；

11

选项D，ln2x2x，故D错误，

2xx

2．C

(2n1)(2n2)

【详解】由题意知n2，且5n(n1)3，解得n3．

2

故选：C

3．A

3

【详解】第4项的二项式系数为C856.

故选：A.

4．D

11

【详解】因为fxx2，则fx2x，

xx2

1

所以f1213.

12

5．D

【详解】

如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择，若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或

CE同色，

以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：

3

第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有A4种，

444

第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有A4种，若区域CE同色有A4种故用四种颜色有2A4种，

34

由加法原理得不同的涂色方法数共有A42A4244872种，D正确.

6．D

【详解】设事件M“至少分离出2个轻水分子”，

63

由题意知分离出1个轻水分子的概率为，

105

312

分离出1个非轻水分子的概率为，

105

2130542781

所以232332，

PMC3C3

5555125125

81

故至少分离出2个轻水分子的概率为．

125

故选：D.

7．C

【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件A1,A2，只答对一道题为事件C，甲通过测试为

事件B，

322312

则P(C)P(AA)P(AA)，

1212555525

3223321

P(B)P(AA)P(AA)P(AA)()2，

1212125555525

12

P(CB)P(C)4

则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为P(C|B)25.

P(B)P(B)217

25

8．A

1a

【详解】由题设fxx2axa，因为fxx3x2ax1（aR）有两个极值点，

32

所以fx0在R上有两个不同的实根，

所以a24a0a0或a4，

即a,04,.

9．ACD

4

【详解】对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有A424种不同的获奖情况，A正确．

对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，

12

共有A3A39种不同的获奖情况，B错误．

C2C2

422

对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有2A436种不同的获奖情况，C正确．

A2

对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，

23

共有C4A4144种不同的获奖情况，D正确．

故选：ACD

10．BD

【详解】选项A，本题是从8个球中不放回任取4个，随机变量X服从超几何分布，不是二项分布（二项分

布要求独立重复、每次概率不变），故A错误；

选项B，PX1PX0PX1，

C0C45C1C331030

3535

PX04，PX14，

C870C87070

5301

因此PX1，故B正确。

702

nK

选项C，超几何分布期望公式EX，其中n4（抽取个数），K3（总体黑球数），N8（总球数），

N

433

得EX，

82

3

根据期望性质E4X14EX14153，故C错误；

2

选项D，取出4个球，因此Y4X（Y为白球个数）.

根据方差性质DaXba2DX，得DYD4X(1)2DXDX，故D正确.

11．ACD

【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜，

22332322

其概率为C3p1pC3p3p1ppp33ppp32p，A正确；

对于B：若采用5局3胜制，甲以3:1获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局，

223

其概率为C3p1p·p3p1p，B错误；

对于C：若p0.6，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为

3324455

C50.610.6C50.610.6C50.60.34560.25920.077760.68256，

在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为

2233

C30.610.6C30.60.4320.2160.648，

0.682560.648，C正确；

对于D：由事件A表示“甲获胜”，设事件B表示“比赛局数为4局”，

事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”，

33

则PA0.68256，PACC30.60.216，

22222

PABC30.610.60.60.2592，PADC40.610.60.60.20736，

PAB0.2592PAC0.216

所以PB|A0.3797，PC|A0.3165，

PA0.68256PA0.68256

PAD0.20736

PD|A0.3038，PB|APC|APD|A，D正确；

PA0.68256

故选：ACD.

12．26

8rrrrr

【详解】因为1x的通项公式为Tr1C8x1C8x(0r8,rN)，

18rr1

则21x的展开式中的项为21Crxr(0r8,rN)或1Crxr2(0r8,rN)，

x288

0002120

所以常数项为21C8x1C8x22826，

故答案为：26.

13．xy10

【详解】fxex，故f0e01，

又f0e01，所以曲线fx在点0,f0的切线方程为y11x0，

即xy10.

216

14．

625

2

【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有C510种情况，

其中两个号码的和为偶数的有1,3,1,5,3,5,2,4共4种情况，

42

所以一个人摸球，能够获奖的概率为，

105

22

所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率222216.

C41

55625

216

故答案为：.

625

44

15．(1)单调递增区间为,1和,，单调递减区间为1,

33

100

(2)最小值为，最大值为4

27

【详解】（1）因为fxx242x1，

所以fx2x2x1x24223x2x42x13x4.

44

由fx0x1或x；由fx01x.

33

44

所以函数fx的单调递增区间为,1和,，单调递减区间为1,.

33

44

（2）由（1）得：函数fx在0,上单调递减，在,2上单调递增.

33

2

444

所以=-100.

fxminf421

33327

又，，所以.

f04f20fxmaxf04

100

综上，当x0,2时，函数fx的最小值为，最大值为4.

27

16．(1)分布列为：

234

241

P

777

20

E

7

(2)0.25

【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中N7，M5，n4，

C2C22C3C14C4C01

525252

且的所有可能取值为2，3，4，P24，P34，P44，

C77C77C77

故的分布列为：

234

241

P

777

24120

法一：所以的数学期望E234.

7777

M520

法二：根据超几何分布的期望公式知En4.

N77

（2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件A，

记“下达的动作指令表述模糊”为事件B，

记“机器人成功完成指令”为事件C.

由已知得PC0.8，PC|A0.9，PC|B0.5，PBp，PA1p.

因为PCPACPBCPAPC|APBPC|B0.91p0.5p0.90.4p，

所以0.90.4p0.8p0.25.

17．(1)n10，252

(2)310

(3)0

n

【详解】（1）二项式2x1展开式的项数为n1，

由题知展开式共11项，因此n111，得n10，

10!

因为10是偶数，故二项式系数的最大值为C5252；

105!5!

1010k

（2）2x1展开式中，系数ak的符号由1决定，

即ak对应将原式中1换为1后的系数，

等价于令代入原式：10，

x1211a0a1a2a10a0a1a10

10

计算得3310，因此结果为310；

110210

（3）令，代入等式得1111，

x21a0a1a2a10

22222

左边等于0100，因此结果为0.

1

18．(1)

25

(2)X的分布列为

X012

3148

P

252525

31486

数学期望E(X)012

2525255

(3)12

201

【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为，

1005

设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件A，

111

则PA；

5525

804

（2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标”的概率为，

1005

402

从女生中抽取一人“运动达标”的概率为，

1005

随机变量X的可能取值为0,1,2，

133

P(X0)，

5525

431214

P(X1)，

555525

428

P(X2)，

5525

所以X的分布列为

X012

3148

P

252525

31486

数学期望E(X)012.

2525255

1203

（3）由题意