2027届新高考数学热点突破复习函数的对称性

2027届新高考数学热点突破复习函数的对称性课标要求1.

能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.

会利用对称公式解决问题.目录/CONTENTS考点一轴对称01考点二中心对称02提能点两个函数图象间的对称03课时跟踪训练0401PART考点一轴对称轴对称1.

偶函数的图象关于

对称.2.

若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直

线

对称.3.

若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的

图象关于直线

对称.y轴

x＝a

x＝a

题组练透1.

若函数f（x）满足f（x＋1）＝f（3－x）对任意x∈R成立，则f

（x）的图象（

）A.

关于直线x＝1对称B.

关于直线x＝2对称C.

关于直线x＝3对称D.

关于直线x＝－1对称√解析：

∵对于∀x∈R满足f（x＋1）＝f（3－x）成立，则f（x）的

图象是轴对称图形，设f（x）的对称轴为x＝a，则（x＋1）＋（3－x）

＝2a，∴a＝2，故f（x）的图象关于x＝2对称，选B.

2.

已知函数f（x）＝3｜x－a｜＋2，且满足f（5＋x）＝f（3－x），则f

（6）＝（

）A.29B.11C.3D.5√解析：

因为f（5＋x）＝f（3－x），所以f（x）的图象关于直线x＝

4对称，而f（x）＝3｜x－a｜＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f

（6）＝3｜6－4｜＋2＝11.3.

已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（4－x），若y＝（x－2）2

与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），

（x4，y4），则x1＋x2＋x3＋x4＝（

）A.

－4B.0C.4D.8√解析：

由f（x）＝f（4－x）可知y＝f（x）的图象关于直线x＝2对

称，y＝（x－2）2的图象关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2

＝8.4.

（2026·云南玉溪统考）已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x＋3）

是偶函数，当x≥3时，f（x）＝log2x，则不等式f（2x＋2）＞f（x－

1）的解集为

⁠.

02PART考点二中心对称中心对称1.

奇函数的图象关于

对称.2.

若f（x＋a）是奇函数，则函数y＝f（x）图象的对称中心为

⁠

⁠.3.

若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数y＝f（x）

的图象关于点

对称.原点

（a，

0）

（a，0）

〔多选〕（2026·江苏苏州模拟）下列说法中，正确的是（

）B.

函数f（x）满足f（2x－1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点

（－1，0）中心对称C.

若函数y＝f（x）的图象关于（0，1）对称，则函数y＝f（x－1）＋1

的图象关于（1，2）对称√√√

练1

（1）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点（1，0）对称，

则b＝（

C

）A.

－3B.

－1C.1D.3C

（2）（2026·福建泉州模拟）已知y＝f（x＋1）＋1为奇函数，则f（－

1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝（

D

）A.6B.5C.

－6D.

－5解析：由题y＝f（x＋1）＋1为奇函数，则f（x）的图象关于（1，－1）

对称，所以f（－1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝[f（－1）＋f

（3）]＋f（1）＋[f（0）＋f（2）]＝－2－1－2＝－5.故选D.

D03PART提能点两个函数图象间的对称两个函数图象间的对称1.

函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于

对称.2.

函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于

对称.3.

函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于

对称.y轴

x轴

原点

（1）下列函数中，其图象与函数y＝x2＋2x的图象关于点（1，0）对

称的是（

D

）A.

y＝－x2－2xB.

y＝－x2－2x＋2C.

y＝x2－6x＋8D.

y＝－x2＋6x－8解析：

设P（x，y）为所求函数图象上的任意一点，则P关于点（1，

0）对称的点为Q（2－x，－y），由点Q在y＝x2＋2x的图象上，可得－

y＝（2－x）2＋2（2－x），整理得y＝－x2＋6x－8，即所求函数解析式

为y＝－x2＋6x－8.故选D.

D（2）设函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f

（3）＋f（9）＝1，则实数m＝

⁠.解析：∵函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，

∴x＝log3y－m，∴f（x）＝log3x－m，∴f（3）＋f（9）＝1－m＋2

－m＝1，∴m＝1.1规律方法破解两个函数图象间的对称的方法

（2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在解题中的应用.练2已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y

＝f（4－x）的图象（

）A.

关于直线x＝1对称B.

关于直线x＝3对称C.

关于直线y＝3对称D.

关于点（3，0）对称√解析：

设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0

＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－

x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对

称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称.04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

12345678910111213141.

下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A.

y＝tan

xB.

y＝x－1C.

y＝x3D.

y＝ln｜x｜√解析：

由正切函数的图象性质：y＝tan

x关于原点对称，但没有对称

轴，不符合；由幂函数的图象性质：y＝x－1关于原点和y＝±x对称，符

合；由幂函数的图象性质：y＝x3关于原点对称，但没有对称轴，不符

合；由ln｜－x｜＝ln｜x｜，即y＝ln｜x｜关于y轴对称，但没有对称中

心，不符合.故选B.

A.

关于x轴对称B.

关于y轴对称C.

关于原点对称D.

关于直线y＝x轴对称√

1234567891011121314

A.

（－1，－3）B.

（－1，3）C.

（－1，－2）D.

（－1，2）√

12345678910111213144.

（2026·广东湛江模拟）已知函数y＝f（1－x）的图象与函数y＝f（2

＋x）的图象关于直线x＝m对称，则m＝（

）A.3√

C.

－112345678910111213145.

已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当

x≥1时，f（x）＝2x－1，则（

）√1234567891011121314

12345678910111213146.

〔多选〕设函数f（x）的定义域为R，f（x）为奇函数，f（1＋x）＝

f（1－x），f（3）＝1，则（

）A.

f（－1）＝1B.

f（x）＝f（4＋x）C.

f（x）＝f（4－x）√√√1234567891011121314

12345678910111213147.

若函数f（x＋1）是奇函数，则函数y＝f（x）＋1的图象的对称中心

是

⁠.解析：因为函数f（x＋1）是奇函数，所以f（x＋1）的图象关于点（0，

0）对称.将函数y＝f（x＋1）的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝f

（x）的图象，所以函数y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称.所以函数

y＝f（x）＋1的图象关于点（1，1）对称.（1，1）12345678910111213148.

（2025·江苏南通一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f

（－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小

值分别为M和m，则M＋m＝

⁠.解析：由g（x）＝f（x）－2x2，那么g（－x）＝f（－x）－2x2，两式

相加，可得g（－x）＋g（x）＝2，故g（x）的图象关于点（0，1）对

称，其最大值和最小值也关于点（0，1）对称，所以M＋m＝2.21234567891011121314

123456789101112131410.

（13分）（2026·河北沧州模拟）已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2

－4x.（1）判断并证明函数f（x）的对称性；解：

f（x）的图象关于直线x＝2对称.证明：由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f（x）的定义域为（－∞，2）

∪（2，＋∞）.因为f（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4，f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4，所以f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x）的图象关于直线x＝2对称.1234567891011121314（2）求f（x）的单调区间.解：

设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x，当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单

调递增，故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增.又f（x）的图象关于直线x＝2对称，故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）.1234567891011121314

11.

（2025·江西九江模拟）设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋2，且f（1＋

x）＋f（1－x）＝2，则ab＝（

）A.

－1B.2√C.

－3D.4解析：

因为f（1＋x）＋f（1－x）＝2，所以函数f（x）＝x3＋ax2＋

bx＋2的图象关于点（1，1）对称，因为函数y＝x3，y＝x为奇函数，即

关于点（0，0）对称，函数f（x）＝（x－1）3＋k（x－1）＋1＝x3－

3x2＋（3＋k）x－k，所以a＝－3，b＝3＋k，－k＝2，解得a＝－3，

b＝1，所以ab＝－3.故选C.

123456789101112131412.

〔多选〕定义在R上的函数f（x），f（x＋1）的图象关于点（－1，

0）对称，恒有f（x－1）＝f（3－x），且f（x）在[1，2]上单调递减，

则下列结论正确的是（

）A.

直线x＝1是f（x）的图象的对称轴B.

周期T＝2C.

函数f（x）在[4，5]上单调递增D.

f（5）＝0√√1234567891011121314解析