初一数学函数教学案例及练习题

初一数学函数教学案例及练习题一、引言函数是初中数学的核心概念之一，它不仅是后续学习更复杂数学知识的基础，也在日常生活中有着广泛的应用。对于初一学生而言，函数概念的引入是一个从具体到抽象的思维跨越。本教学案例旨在通过生活实例和循序渐进的引导，帮助学生初步建立函数的概念，理解常量与变量的意义，并能识别简单的函数关系。同时，配套的练习题将有助于学生巩固所学知识，提升应用能力。二、教学案例：走进函数的世界——“变化中的奥秘”（一）教学目标1.知识与技能：通过具体情境，使学生感知变量与常量的含义；初步理解函数的概念，能判断两个变量之间是否存在简单的函数关系；能根据简单的实际问题写出函数关系式。2.过程与方法：引导学生经历从具体实例中抽象出常量、变量及函数概念的过程，体会数形结合和建模思想。3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，培养观察、分析和归纳的能力。（二）教学重点与难点*重点：常量与变量的识别；函数概念的初步理解（单值对应关系）。*难点：函数概念中“对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个确定的值与之对应”的理解。（三）教学过程1.情境引入，激发兴趣教师活动：（1）提问：同学们，我们的生活中充满了变化。比如，每天的气温会变化，我们的身高会增长，上学路上汽车行驶的路程会随着时间的增加而变远。你还能举出一些生活中“一个量随着另一个量的变化而变化”的例子吗？（2）引导学生思考并分享，如：买铅笔的总价与购买的数量；一天中时间与对应的温度；正方形的面积与边长等。学生活动：积极思考，踊跃发言，列举生活中的变化现象。设计意图：从学生熟悉的生活实例出发，让学生初步感知“变化”，为引入常量与变量及函数概念做铺垫，激发学习兴趣。2.探究新知，形成概念探究一：常量与变量教师活动：（1）出示具体问题：*问题1：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时。则s与t的关系为s=60t。*问题2：每本练习本的价格是2元，购买练习本的总价为y元，购买的数量为x本。则y与x的关系为y=2x。（2）引导学生分析：在上述两个问题中，哪些量的数值是始终不变的？哪些量的数值是在不断变化的？（3）总结：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量；数值发生变化的量叫做变量。（4）提问：在问题1和问题2中，分别指出常量和变量。学生活动：独立思考，小组讨论，分析并识别每个问题中的常量与变量。设计意图：通过具体问题的分析，使学生理解常量与变量的含义，并能准确识别。探究二：函数的概念教师活动：（1）聚焦问题2：y=2x。*提问：当x取1时，y等于多少？x取2时，y等于多少？x取3时呢？*引导学生发现：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。例如，x=1，y=2；x=2，y=4；x=3，y=6等等。（2）再看问题1：s=60t。*提问：当t取1时，s等于多少？t取0.5时，s等于多少？*引导学生同样发现：对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应。（3）抽象概括：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。（这里对函数的定义是初步的、描述性的，避免过于抽象的符号化定义）（4）强调：“唯一确定”是函数概念的核心。即给x一个值，y不能有两个或多个值。学生活动：跟随教师引导，计算具体数值，观察并总结规律，尝试理解“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应”这一核心内涵。设计意图：通过对具体函数关系的分析，引导学生逐步抽象出函数的概念，重点理解“唯一确定”的对应关系，突破难点。3.巩固新知，辨析概念教师活动：（1）出示辨析题：判断下列两个变量之间是否存在函数关系？*①长方形的长为5cm，它的面积S(cm²)与宽b(cm)。*②一个人的身高h(cm)与年龄a(岁)。*③圆的半径r与它的面积S。（2）引导学生思考：对于每一个自变量的值，函数值是否“唯一确定”？学生活动：独立判断，小组交流，阐述理由。设计意图：通过辨析，加深对函数概念中“唯一确定”对应关系的理解，巩固所学概念。4.函数的表示方法（初步）教师活动：（1）指出：函数关系的表示方法有多种，我们今天接触的y=2x，s=60t这样用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法（或解析法）。（2）除了关系式法，我们还可以用列表法来表示函数关系。例如，问题2中，购买练习本的数量x与总价y的关系可以列表如下：x（本）1234...--------------y（元）2468...（3）简单介绍：以后我们还会学习用图象法表示函数关系（为后续学习做铺垫）。学生活动：了解函数的不同表示方法，重点理解关系式法和列表法。设计意图：初步介绍函数的表示方法，拓宽学生视野，为后续学习一次函数的图象和性质打下基础。5.例题讲解，应用新知教师活动：出示例题：已知函数y=3x-1。（1）当x=2时，求y的值。（2）当y=8时，求x的值。分析：（1）当x=2时，就是将x=2代入函数关系式中，计算出对应的y值。（2）当y=8时，就是让3x-1=8，解这个关于x的方程，求出x的值。学生活动：尝试独立完成，指名板演，师生共同点评。设计意图：通过例题，使学生掌握已知自变量求函数值，以及已知函数值求自变量的基本方法，体会函数关系式的应用。6.课堂小结，回顾提升教师活动：提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？（引导学生从知识、方法、情感等方面进行总结）*什么是常量？什么是变量？*什么是函数？函数概念的核心是什么？*我们学习了哪些表示函数关系的方法？学生活动：回顾本节课所学内容，总结知识要点。设计意图：梳理本节课知识脉络，帮助学生构建知识体系，培养总结概括能力。三、练习题设计（一）基础巩固1.指出下列变化过程中的常量与变量：*（1）圆的周长C与半径r的关系为C=2πr。常量是______，变量是______。*（2）每月的电费y（元）随用电量x（千瓦时）的变化而变化。常量是______（假设电费单价固定），变量是______。2.下列各题中，两个变量之间是否存在函数关系？为什么？*（1）三角形的面积一定时，它的一边长a与这条边上的高h。*（2）人的体重w（kg）与身高h（cm）。3.已知函数y=4x+5。*（1）当x=0时，y=______；*（2）当x=______时，y=13。4.一个长方形的周长为20cm，设它的长为xcm，宽为ycm。*（1）写出y与x之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。*（2）当x=6时，y的值是多少？（二）能力提升5.某商店出售一种文具盒，每个售价15元。*（1）写出购买文具盒的总价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系式。*（2）计算购买8个文具盒需要多少元？*（3）若小明有100元，他最多可以买几个这样的文具盒？（结果取整数）6.如图（假设为一个简单的正方形边长变化图，此处文字描述：一个正方形的边长为a，边长逐渐增大），正方形的边长为a，面积为S。*（1）写出S与a之间的函数关系式。*（2）当a从2cm增加到5cm时，面积S增加了多少？参考答案1.（1）常量是2、π，变量是C、r。（2）常量是电费单价，变量是y、x。2.（1）存在函数关系。因为三角形面积一定时，对于一边长a的每一个确定的值，这条边上的高h都有唯一确定的值与之对应（h=2S/a）。（2）不存在函数关系。因为对于一个确定的身高h，体重w并不是唯一确定的，不同的人身高相同体重可能不同。3.（1）y=5；（2）x=2。4.（1）因为长方形周长=2×（长+宽），所以20=2(x+y)，化简得y=10-x。（2）当x=6时，y=10-6=4。5.（1）y=15x。（2）当x=8时，y=15×8=120（元）。（3）100÷15≈6.67，所以最多可以买6个。6.（1）S=a²。（2）当a=2时，S=4；当a=5时，S=25。增加了25-4=21（cm²）。四、教学反思与建议*注重概念形成过程：函数概念的抽象性较强，教学中应避免直接给出定义，而是通过丰富的实例，引导学生观察、比较、分析、归纳，逐步建立概念，充分理解“唯一确定”的含义。*紧密联系生活实际：从生活实例引入，再将所学知识应用于解决实际问题，让学生感受数学的实用性，增强应用意识。*鼓励学生主动参与：通过提问、讨论、辨析等多种形式，调动学生学习的积极性，让学生在活动中学习和感悟。*关注个体差异：对于函数概念的理解，学生可