2023-2024学年吉林省高中友好学校联合体高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年吉林省高中友好学校联合体高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列说法正确的是（）A．若|a→|=|b→|B．若|a→|=|b→|，且C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上 D．若a→∥b→，则a→2．（5分）已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的35%分位数是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．53．（5分）在△ABC中，A=2π3，AC=2，且△ABC的面积为3A．3 B．7 C．2 D．34．（5分）在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（）A．29 B．13 C．235．（5分）某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（）A．21 B．19 C．16 D．186．（5分）已知平面向量a→=(2，0)，b→=(−1，1)，且（ma→A．﹣1 B．0 C．1 D．1±7．（5分）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（）A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为858．（5分）如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30和45°，且A，B两点间的距离为20m，则这颗银杏树的高度为（）A．5(3+1)m B．10(3+1)m C．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分．（多选）9．（6分）若z＝2i﹣1，则（）A．z=2i+1B．|z|=5C．zi＝﹣2﹣i D．z在复平面内对应的点在第二象限（多选）10．（6分）已知两条不重合的直线m和n，两个不重合的平面α和β，下列四个说法其中所有正确的为（）A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β D．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β（多选）11．（6分）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为392C．正三棱锥的侧面积为939D．正三棱锥的体积为27三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知向量a→=(2，3)，b→=(λ，4)，若a→13．（5分）如图，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为4的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是．14．（5分）如图，用A，B，C三个不同的元件连接成一个系统N．当元件C正常工作且元件A，B至少有一个正常工作时，系统N正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.8，则系统N能正常工作的概率为．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC+3（1）求角A的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c的值．16．（15分）已知|a→|＝1，a→⋅b→=1（1）求|b→（2）求向量a→−b17．（15分）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品．若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？（1）A＝“恰有1支一等品”；（2）B＝“两支都是一等品”；（3）C＝“没有三等品”．18．（17分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且AB＝23，AD＝2，PD＝2，∠BAD＝30°，E为PC中点，F为AB中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）求点B到平面DEF的距离．19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝4，AB＝2，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点．（1）求证：AM⊥平面PCD；（2）求异面直线CD与BM所成角的正切值；（3）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．

2023-2024学年吉林省高中友好学校联合体高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列说法正确的是（）A．若|a→|=|b→|B．若|a→|=|b→|，且C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上 D．若a→∥b→，则a→【考点】平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线；命题的真假判断与应用．【答案】B【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析，判断真假性即可．【解答】解：对于A，当|a→|=|b→|时，对于B，当|a→|=|b→|，且a→对于C，平面上所有单位向量，如果起点相同，那么其终点在同一个圆上，所以选项C错误；对于D，当a→∥b→时，若a→=0→，则a→故选：B．2．（5分）已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的35%分位数是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【考点】百分位数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】D【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．【解答】解：因为有8个数，且8×35%＝2.8，所以35%分位数是第三个数5．故选：D．3．（5分）在△ABC中，A=2π3，AC=2，且△ABC的面积为3A．3 B．7 C．2 D．3【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．【答案】B【分析】由已知结合三角形面积公式先求出AB，然后结合余弦定理即可求解．【解答】解：△ABC中，A=2π则△ABC的面积S=12×2×所以AB＝1，则BC=A故选：B．4．（5分）在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（）A．29 B．13 C．23【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】D【分析】根据题意，先分析“双方都选白色或都选黑色”的概率，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有9种不同的组合，其中只有双方都选白色或都选黑色时不符合要求，其概率为P1=29，则符合要求的概率为故选：D．5．（5分）某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（）A．21 B．19 C．16 D．18【考点】分层随机抽样．【答案】A【分析】根据分层抽样的性质列式计算求解．【解答】解：高三年级应该抽取的人数为1050800+950+1050故选：A．6．（5分）已知平面向量a→=(2，0)，b→=(−1，1)，且（ma→A．﹣1 B．0 C．1 D．1±【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】A【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：平面向量a→=(2，0)，则ma→−b→=（2（ma→−b则（2m+1）×1＝1×（﹣1），解得m＝﹣1．故选：A．7．（5分）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（）A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85【考点】频率分布直方图的应用．【答案】D【分析】由频率分布直方图面积之和为1可计算a，由众数定义可得B，计算低于6（0分）的人数即可得C，根据百分位数的定义计算即可得D．【解答】解：根据频率分布直方图可知：10（2a+3a+3a+6a+5a+a）＝1，即a＝0.005，故A正确；由图易得在区间[70，80）的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故B正确；10×0.005×（2+3）×1000＝250，故成绩低于6（0分）的有250人，即C正确；由图中前四组面积之和为：（2+3+3+6）×0.005×10＝0.7，图中前五组面积之和为：（2+3+3+6+5）×0.005×10＝0.95，故这组数据的第85百分位数在第五组数据中，设这组数据的第85百分位数为m，则有0.7+5×0.005（m﹣80）＝0.85，故m＝86，即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误．故选：D．8．（5分）如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30和45°，且A，B两点间的距离为20m，则这颗银杏树的高度为（）A．5(3+1)m B．10(3+1)m C．【考点】解三角形．【答案】B【分析】由题意及正弦定理可得BC的值，再在Rt△BCD中，可得CD的值．【解答】解：由题意∠BAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝20m，可得∠BCA＝∠DBC﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°，因为sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=2在△ABC中，由正弦定理可得：BCsin∠BAC即BC12=206−2在Rt△BCD中，CD＝BCsin∠CBD＝10（6+2）×22=故选：B．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分．（多选）9．（6分）若z＝2i﹣1，则（）A．z=2i+1B．|z|=5C．zi＝﹣2﹣i D．z在复平面内对应的点在第二象限【考点】复数对应复平面中的点；共轭复数；复数的模．【答案】BCD【分析】根据复数的基本概念，复数的模，以及复数的乘法运算和复数的几何意义，逐项判定，即可求解．【解答】解：由复数z＝2i﹣1，则z=−2i−1，所以A由|z|=22+(−1由zi＝（2i﹣1）i＝﹣2﹣i，所以C正确；由z在复平面内对应的点为（﹣1，2）位于第二象限，所以D正确．故选：BCD．（多选）10．（6分）已知两条不重合的直线m和n，两个不重合的平面α和β，下列四个说法其中所有正确的为（）A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β D．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】AC【分析】根据题意，由直线与平面垂直、平行的性质依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A：因为α⊥β，所以平面β内必有直线l⊥α，又因为m⊥α，所以l∥m，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，而l∥m，所以n⊥m，А正确．对于B：m与n相交或异面也能满足条件，B错误；对于C：因为m⊥α，m∥n，则n⊥α，又因为n⊥β，所以α∥β，C正确；对于D：如果α∩β＝l，m∥l，n∥l也能满足条件，D错误．故选：AC．（多选）11．（6分）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为392C．正三棱锥的侧面积为939D．正三棱锥的体积为27【考点】棱锥的体积；棱锥的侧面积和表面积．【答案】ABC【分析】作出图形，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：如图，设正三棱锥为P﹣ACD，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF=12−94=392，EF=而正三棱锥的体积为13×3×3故C选项正确，D选项错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知向量a→=(2，3)，b→=(λ，4)，若a→【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】8【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可．【解答】解：由题意，2×4﹣3λ＝0，解得λ=8故答案为：8313．（5分）如图，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为4的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是．【考点】平面图形的直观图．【答案】322【分析】根据题意，求出直观图的面积，结合原图与直观图的面积关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，直观图是边长为4的正方形O′A′B′C′，则直观图的面积S′＝16，则原图的面积S＝22S′=322故答案为：32214．（5分）如图，用A，B，C三个不同的元件连接成一个系统N．当元件C正常工作且元件A，B至少有一个正常工作时，系统N正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.8，则系统N能正常工作的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】0.752．【分析】根据题意系统N能正常工作，则A，B至少有1个能正常工作且C能正常工作，再利用相互独立事件的概率乘法公式可解．【解答】解：系统N能正常工作，则A，B至少有1个能正常工作且C能正常工作，又元件A，B，C正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.8，且相互独立，则系统N能正常工作的概率为（0.8×0.3+0.2×0.7+0.8×0.7）×0.8＝0.752．故答案为：0.752．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC+3（1）求角A的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c的值．【考点】解三角形；正弦定理．【答案】（1）A＝60°．（2）b＝c＝2．【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+3sinAsinC＝sinB+sinC＝sin（A+C）+sinC＝sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）由（1）所求A及S=12bcsinA可求bc，然后由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，【解答】解：（1）∵acosC+3asinC﹣b﹣c∴sinAcosC+3sinAsinC﹣sinB﹣sinC∴sinAcosC+3sinAsinC＝sinB+sinC＝sin（A+C）+sinC＝sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0，∴3sinA﹣cosA＝1，∴sin（A﹣30°）=1∴A﹣30°＝30°，∴A＝60°．（2）由S=12bcsinA=3由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，即4＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，∴b+c＝4，解得：b＝c＝2．16．（15分）已知|a→|＝1，a→⋅b→=1（1）求|b→（2）求向量a→−b【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】（1）22；（2）2【分析】（1）由已知结合（a→+b→）•（a→（2）请求出向量a→−b【解答】解：（1）∵|a→|＝1，（a→+b→得|a→|2−|（2）|a|a又（a→+b→）•（a→−b→）则cosθ=(17．（15分）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品．若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？（1）A＝“恰有1支一等品”；（2）B＝“两支都是一等品”；（3）C＝“没有三等品”．【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】（1）35（2）15（3）23【分析】根据已知条件，结合列举法，以及古典概型的概率计算公式，即可求解．【解答】解：用A，B，C表示3支一等品，用a，b表示2支二等品，用c表示三等品，从中任取2支，所有的事情为：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Cc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种，（1）事件A为：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Cc，Ca，Cb，Cc，共9种，故P（A）=9（2）事件B为：AB，AC，BC，故P（B）=3（3）事件C为：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，故P（C）=1018．（17分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且AB＝23，AD＝2，PD＝2，∠BAD＝30°，E为PC中点，F为AB中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）求点B到平面DEF的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解答；（2）32【分析】（1）取PD中点G，连结AG，EG，由中位线的性质推AFEG为平行四边形，从而可得FE∥AG，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用等体积法即可求解点B到平面DEF的距离．【解答】证明：（1）取PD中点G，连结AG，EG．∵E，G分别是PC，PD的中点，∴EG∥DC且EG=12∵F是AB中点，AB∥CD，∴EG∥AF且EG＝AF．∴AFEG为平行四边形．∴EF∥AG．又∵EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．解：（2）∵E是PC中点，∴点E到平面ABCD的距离为d′=12∵AD＝2，∠BAD＝30°，AF=12AB∴DF＝1且∠DFA＝90°，∴S△BDF=12BF•DF∵AFEG为平行四边形，∴EF=AG=A∵DE=1∴DF2+DE2＝EF2，即∠EDF＝90°，∴S△DEF∵VB﹣DEF＝VE﹣BDF，∴13∴点B到平面DEF的距离d=319．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝4，AB＝2，PA⊥平面ABC