2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高中五校高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高中五校高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有（）A．3种 B．6种 C．7种 D．9种2．（5分）若函数f（x）＝3x+lnx的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1＝0平行，则a＝（）A．−14 B．14 3．（5分）某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（）A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.754．（5分）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（）A．16，7.2 B．12，7.2 C．12，4.8 D．16，4.85．（5分）随机变量X～N（8，σ2），若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.36．（5分）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（）A．70种 B．165种 C．280种 D．1860种7．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）＝lnx+f′（1）x2，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．（−22，22） B．（﹣∞，−2C．（0，22） D．（28．（5分）若（1+2x）（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，x∈R，则a2的值为（）A．﹣20 B．20 C．40 D．60二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）关于(x−1A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为﹣20 D．系数最大的项为第3项（多选）10．（6分）随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（）A．A发生的概率为0.6 B．B发生且A不发生的概率为0.2 C．A或B发生的概率为0.9 D．A与B同时发生的概率0.2（多选）11．（6分）已知变量x，y之间的线性经验回归方程为y＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（）x681012y6m32A．变量x，y之间成负相关关系 B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7 C．m＝4 D．该经验回归直线必过点（9，3）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）（x+3x2）13．（5分）3个班分别从5个景点中选择一处游览，共有种不同的选法（填数字）．14．（5分）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有个．（用数字作答）四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．16．（15分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=n(ad−bcP（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63517．（15分）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加．某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为34（1）求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率；（2）设李明和王华回答问题正确的个数分别为X和Y，求X、Y的期望E（X）、E（Y）和方差D（X）、D（Y），并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好．18．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣ax（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＝0，证明：对任意的x＞1都有f（x）≥x4﹣3x3lnx+x3．19．（17分）为了研究某果园的一种果树的产量与种植密度的关系，某中学的数学兴趣小组在该果园选取了一块种植区域进行了统计调查，他们将每株果树与其直线距离不超过1米的果树株数x记为其密度，在记录了该种植区域内每株果树的密度后，从中选取密度为0，1，2，3，4的果树，统计其产量的平均值y（单位：kg），得到如下统计表：x01234y15121198（1）小组成员甲认为y与x有很强的线性相关关系，请你帮他利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ŷ（2）小组成员乙提出：若利用回归方程计算的平均产量的估计值ŷi与实际的平均产量yi（1≤i≤n，n∈N*）满足：1ni=1n|yi−参考公式：b̂=i=1

2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高中五校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有（）A．3种 B．6种 C．7种 D．9种【考点】排列组合的综合应用；计数原理的应用．【答案】C【分析】分三种情况：买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有1种方案，相加即可．【解答】解：买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有1种方案，因此共有方案3+3+1＝7（种），故选：C．2．（5分）若函数f（x）＝3x+lnx的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1＝0平行，则a＝（）A．−14 B．14 【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；导数与切线的斜率．【答案】A【分析】根据题意，对函数f（x）＝3x+lnx求导，进而求出f'（1），由导数的几何意义，构造方程解a，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x+lnx，求导可得f′(x)=3+1x，所以直线x+ay+1＝0的斜率k=−1因为函数f（x）＝3x+lnx的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x+ay+1＝0平行，由导数的几何意义得k＝f'（1），即−1a=4故选：A．3．（5分）某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（）A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.75【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】C【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为：P＝1﹣（0.3×0.4+0.4×0.2+0.3×0.5）＝0.65．故选：C．4．（5分）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（）A．16，7.2 B．12，7.2 C．12，4.8 D．16，4.8【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【答案】C【分析】由条件确定该同学答对题目数量的分布列，再由二项分布的期望和方差公式求随机变量的期望及方差．【解答】解：设该同学答对题目数量为ξ，因为该同学每道题答对的概率为0.6，共答20道题，所以ξ～B（20，0.6），所以E（ξ）＝20×0.6＝12，D（ξ）＝20×0.6×（1﹣0.6）＝4.8，故选：C．5．（5分）随机变量X～N（8，σ2），若P（7≤X≤9）＝0.4，则P（X＞9）＝（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】D【分析】根据正态分布的对称性得出P（X＞8），P（8≤X≤9），从而得出答案．【解答】解：∵随机变量X～N（8，σ2），P（7≤X≤9）＝0.4，∴P（X＞8）＝0.5，P（8≤X≤9）＝0.2，∴P（X＞9）＝0.3，故选：D．6．（5分）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（）A．70种 B．165种 C．280种 D．1860种【考点】排列组合的综合应用．【答案】B【分析】根据题意，将8个笔记本看成8个相同的小球，原问题可以转化为将8个小球用相同的挡板分成4组，每组对应一种样式的笔记本，由组合式公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，小明只有8元钱且要求全部花完，则小明需要买8个笔记本，将8个笔记本看成8个相同的小球，原问题可以转化为将8个小球用相同的挡板分成4组，每组对应一种样式的笔记本，8个小球、3个挡板共11个位置，在其中任选8个安排小球，剩下3个安排挡板，有C118＝165种；故选：B．7．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）＝lnx+f′（1）x2，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．（−22，22） B．（﹣∞，−2C．（0，22） D．（2【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】C【分析】对函数f（x）求导，可得f′（1）＝﹣1，即f′（x）=1x−2【解答】解：∵f（x）＝lnx+f′（1）x2（x＞0），∴f′（x）=1x+2f∴f′（1）＝1+2f′（1），解得f′（1）＝﹣1，∴f′（x）=1x−2当x∈（0，22）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（22，+∞）时，f′（x）＜0，f（∴函数f（x）的单调递增区间为（0，22故选：C．8．（5分）若（1+2x）（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，x∈R，则a2的值为（）A．﹣20 B．20 C．40 D．60【考点】二项式定理．【答案】B【分析】结合二项式定理的运用求解即可．【解答】解：由二项式（1﹣2x）5的展开式的通项公式Tr+1（1+2x）（1﹣2x）5的展开式中x2的系数为C5故选：B．二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）关于(x−1A．所有项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为0 C．常数项为﹣20 D．系数最大的项为第3项【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】BC【分析】利用二项展开式的通项及二项式系数的性质逐项判断即可．【解答】解：(x−1x)6的展开式中所有项的二项式系数和为2令x＝1，得所有项的系数和为0，故B正确；常数项为C63x通项Tk+1=C系数为(−1)kC6k，最大为C故选：BC．（多选）10．（6分）随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（）A．A发生的概率为0.6 B．B发生且A不发生的概率为0.2 C．A或B发生的概率为0.9 D．A与B同时发生的概率0.2【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【答案】BD【分析】根据相互独立事件概率的知识求得正确答案．【解答】解：依题意A与B互相独立，P（B）＝0.4，P（B）＝0.6，P（AB）＝P（A）P（B）＝P（A）×0.6＝0.3，所以P（A）＝0.5，A选项错误，P（A）＝0.5，所以P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.4＝0.2，B选项正确，A或B发生的概率为1﹣P（AB）＝1﹣P（A）P（B）＝1﹣0.5×0.6＝0.7，C选项错误，P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.4＝0.2，D选项正确．故选：BD．（多选）11．（6分）已知变量x，y之间的线性经验回归方程为y＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（）x681012y6m32A．变量x，y之间成负相关关系 B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7 C．m＝4 D．该经验回归直线必过点（9，3）【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】AB【分析】根据回归方程判断A、B；求出x、y，根据回归方程必过样本中心点求出m，即可判断C、D．【解答】解：由y＝﹣0.7x+10.3，﹣0.7＜0，得变量x，y之间成负相关关系，故A正确；当x＝20时，ŷ=−0.7×20+10.3＝﹣3.7，故由表格数据可知x=则11+m4=−0.7×9+10.3，解得m＝5，故由m＝5，得y=6+5+3+24故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）（x+3x2）【考点】二项式定理．【答案】见试题解答内容【分析】先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于0，求出r的值，代入系数求出结果．【解答】解：∵(x+要求展开式中的常数项只要使得5﹣5r＝0，即r＝1∴常数项是C5故答案为：1513．（5分）3个班分别从5个景点中选择一处游览，共有种不同的选法（填数字）．【考点】排列组合的综合应用；计数原理的应用．【答案】125．【分析】每个班可有从5个景点中选择一处游览有5种选法，利用乘法原理即可得出．【解答】解：每个班可有从5个景点中选择一处游览有5种选法，利用乘法原理可得共有53＝125种不同的选法，故答案为：125．14．（5分）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有个．（用数字作答）【考点】排列组合的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列，这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列，三对相邻的元素内部各还有一个排列，根据分步计数原理得到这种数字的总数．【解答】解：首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有A33种结果，这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有A42种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列A22，根据分步计数原理得到这种数字的总数有A33A42A22A22A22＝576，故答案为：576．四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）＝x﹣1+a（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】变化的快慢与变化率；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出，（Ⅱ）先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x﹣1+aex，得f′（由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得f′（1）＝1−ae=0，解得（Ⅱ）f′（x）＝1−①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．∴f（x）在x＝lna处取得极小值，且极小值为f（lna）＝lna，无极大值综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．16．（15分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=n(ad−bcP（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【考点】独立性检验．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为240260B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为210240（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，∴K2∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．17．（15分）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加．某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，假设李明能且只能对其中3个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为34（1）求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率；（2）设李明和王华回答问题正确的个数分别为X和Y，求X、Y的期望E（X）、E（Y）和方差D（X）、D（Y），并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好．【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【答案】（1）932（2）E(X)=3【分析】（1）根据超几何分布和二项分布概率公式分别计算李明和王华回答问题正确的个数为2的概率，由独立事件概率乘法公式可求得结果；（2）根据超几何分布概率公式可得X每个取值对应的概率，由此可计算得到E（X），D（X）；根据二项分布期望和方差计算公式可求得E（Y），D（Y），根据E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）可得结论．【解答】解：（1）∵李明回答问题正确的个数为2的概率p1王华回答问题正确的个数为2的概率p2=3∴李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率p=p（2）由题意知：李明回答问题正确个数X所有可能的取值为1，2，∴P(X=1)=C∴E(X)=1×1∵王华回答问题正确的个数Y～B（2，34∴E(Y)=2×3∵E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），∴派李明代表该班参加竞赛更好．18．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣ax（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＝0，证明：对任意的x＞1都有f（x）≥x4﹣3x3lnx+x3．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】（1）当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）证明过程见解答．【分析】（1）分类讨论a的取值范围，利用导数求解函数f（x）的单调区间；（2）对原不等式整理化简得到ex﹣3lnx≥（x﹣3lnx+1），将x﹣3lnx整体代换，并构造函数求解x﹣3lnx的取值范围，通过整体代换，构造新函数g（x）＝ex﹣x﹣1，利用导数求解函数g（x）的极值，结合x﹣3lnx的取值范围，即可证明．【解答】解：（1）由题意，可得f'（x）＝ex﹣a．当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞lna，由f'（x）＜0，得x＜lna，则f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调