2023-2024学年江苏省连云港市七校高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年江苏省连云港市七校高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z=1−i2+2i，则zA．﹣i B．i C．0 D．12．（5分）已知a→=（2，﹣3），b→=（λ，1），若（a→+2A．74 B．−74 C．23．（5分）已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，若A．1665 B．3365 C．56654．（5分）在△ABC中，AC＝3，BC=7，AB＝2，则△ABCA．23 B．332 C．265．（5分）已知向量a→，b→，且AB→=aA．A，B，C B．A，B，D C．A，C，D D．B，C，D6．（5分）已知△ABC的重心为O，则向量BO→A．23AB+1C．−23AB7．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2A．79 B．19 C．−1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列各式中，值为12A．cos2π12−sin2B．tan22.5°1−taC．2sin195°cos195° D．1+cos（多选）10．（6分）已知函数f(x)=3sin2x−cos2x，x∈A．﹣2≤f（x）≤2 B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点 C．f（x）的最小正周期为π D．∀x∈R，f(（多选）11．（6分）下列说法正确的是（）A．设e1→，e2→是两个不共线的向量，若向量B．设a→=(2，3)，b→=(6，t)，若a→C．设a→=(−1，1)，b→=(2，3)，且D．若O是△ABC内的一点，满足3OA→+OB→+4OC→=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→=λAE→+μAF→，其中λ，μ∈R，则λ13．（5分）已知α为锐角，且cos(α−π6)=sin(5π14．（5分）在△ABC中，已知tanA=14，tanB=35，且△ABC最大边的长为17，则△四、解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（m，﹣1）（m∈R），且z•（1+3i）为纯虚数（z是z的共轭复数）．（1）求m的值；（2）复数z2=a−iz在复平面对应的点在第一象限，求实数16．（15分）已知向量a→=（2cosα，2sinα），b→=（6cosβ，6sinβ），且（1）求向量a→与b（2）若|ta→−b→|17．（15分）（1）已知sinα=35，α∈(π2（2）已知cos(α+β)=513，cosβ=18．（17分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知c=2，C=π（1）若△ABC的面积等于3，求边a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积；（3）求△ABC周长的最大值．19．（17分）在刘志州公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中CD＝100米，BC＝200米，∠A=π（1）若BD＝150米，求烧烤区的面积？（2）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？（3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

2023-2024学年江苏省连云港市七校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知z=1−i2+2i，则zA．﹣i B．i C．0 D．1【考点】复数的运算；共轭复数．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：z=1−i则z=故z−z=−故选：A．2．（5分）已知a→=（2，﹣3），b→=（λ，1），若（a→+2A．74 B．−74 C．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】B【分析】根据题意，求出a→+2b→的坐标，进而由数量积的坐标计算公式可得（a→+2b【解答】解：根据题意，a→=（2，﹣3），b→=（λ，1），则a→若（a→+2b→）⊥a→，则（a→+2b→故选：B．3．（5分）已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，若A．1665 B．3365 C．5665【考点】两角和与差的三角函数．【答案】D【分析】根据条件，由sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ求解即可．【解答】解：因为α∈(0，π2)所以α+β∈(π2，故α+β∈(π，3π2)因为cosβ=−513，所以故sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=(−3故选：D．4．（5分）在△ABC中，AC＝3，BC=7，AB＝2，则△ABCA．23 B．332 C．26【考点】正弦定理．【答案】B【分析】先根据余弦定理求出夹角，再根据三角形的面积公式即可求出．【解答】解：∵AC＝3，BC=7，AB∴cosA=A∴sinA=3∴S△ABC=12AB•AC•sinA=1故选：B．5．（5分）已知向量a→，b→，且AB→=aA．A，B，C B．A，B，D C．A，C，D D．B，C，D【考点】平面向量的相等与共线．【答案】B【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点．【解答】解：∵AD→∴AD→与AB又AD→与AB→有公共点∴A，B，D三点共线，故B正确；∵AC→=AB∴A，B，C三点不共线，故A错误，又∵A，B，D三点共线，则A，C，D不共线，B，C，D不共线，故C，D错误．故选：B．6．（5分）已知△ABC的重心为O，则向量BO→A．23AB+1C．−23AB【考点】平面向量的基本定理．【答案】C【分析】由△ABC的重心为O，为三条中线交点，得OA→+OB→+OC→得BO→=OA→+OC→=2【解答】解：取AC中点D，连接OD，∵O是△ABC的重心，∴B、O、D三点共线，由重心特点得OA→∴BO→=OA→+OC→=−13AB→+故选：C．7．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】正弦定理；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】由正弦定理知asinA=bsinB，由sinA＞sinB，知a＞b，所以【解答】解：由正弦定理知asinA=b∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sinA＞sinB故选：A．8．（5分）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2A．79 B．19 C．−1【考点】两角和与差的三角函数．【答案】B【分析】由已知结合和差角公式先求出sinαcosβ，再求出sin（α+β），然后结合二倍角公式可求．【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα=13，cosαsinβ所以sinαcosβ=1所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα=1则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×4故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列各式中，值为12A．cos2π12−sin2B．tan22.5°1−taC．2sin195°cos195° D．1+cos【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】BC【分析】利用二倍角公式以及三角函数的值，化简求解即可．【解答】解：对于A，cos2π12−sin2π12对于B，tan22.5°1−tan2对于C，2sin195°cos195°＝sin390°＝sin30°=1对于D，1+cosπ故选：BC．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=3sin2x−cos2x，x∈A．﹣2≤f（x）≤2 B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点 C．f（x）的最小正周期为π D．∀x∈R，f(【考点】三角函数的周期性；两角和与差的三角函数．【答案】ACD【分析】首先利用辅助角公式化简f（x），再利用正弦函数的性质分别判断四个选项的正误，即可得正确选项．【解答】解：因为f(x)=3对于选项A：因为x∈R，所以﹣2≤f（x）≤2，故选项A正确；对于选项B：当x∈（0，π）时，2x−π当2x−π6=0或2x−π6=π时即x=π所以f（x）在区间（0，π）上有2个零点，故选项B不正确；对于选项C：f（x）的最小正周期T=2π2=π对于选项D：2×π3−所以x=π3是对称轴，故选项故选：ACD．（多选）11．（6分）下列说法正确的是（）A．设e1→，e2→是两个不共线的向量，若向量B．设a→=(2，3)，b→=(6，t)，若a→C．设a→=(−1，1)，b→=(2，3)，且D．若O是△ABC内的一点，满足3OA→+OB→+4OC→=【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】AC【分析】根据给定条件，利用共线向量求出k判断A；利用夹角余弦及向量共线计算判断B；利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示计算判断C；作出图形，分析三角形面积关系判断D．【解答】解：对于A，由e1→，e2→不共线，m→=−e1→对于B，由a→=(2，3)，b→=(6，t)的夹角为锐角，得a→则12+3t＞02t≠3×6，解得t＞﹣4且t≠9，故B对于C，由a→=(−1，1)，b→=(2，3)，得由(a→+mb→)∥(a→−对于D，由3OA→+令AC，BC的中点分别为D，E，则6OD→+2OE→=0→，即如图，在△ABC中，连接DE，则DE是△ABC的中位线，所以S△AOC=2S故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→=λAE→+μAF→，其中λ，μ∈R，则λ+μ【考点】平面向量的基本定理．【答案】43【分析】根据已知条件，结合平面向量的基本定理，即可求解．【解答】解：设AB→=a则AF→=a→+AC→∵a→，b∴12λ+μ=1λ+故λ+μ=4故答案为：4313．（5分）已知α为锐角，且cos(α−π6)=sin(5π【考点】两角和与差的三角函数．【答案】1．【分析】将原式中的5π6−2α化为π2【解答】解：由已知得cos(α−π6)=sin(5π6＝cos2(π6−α)=2cos2解得cos(π6−α)=−12故cos（π6故答案为：1．14．（5分）在△ABC中，已知tanA=14，tanB=35，且△ABC最大边的长为17，则△ABC最小边的长为【考点】余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】由tanA与tanB的值，利用两角和与差的正切函数公式求出tanC的值小于0，得到C为钝角，A与B为锐角，再利用正切函数的单调性得到A为最小角，可得出a为最小边，c为最大边，根据tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出a的值，即为三角形ABC最小边长．【解答】解：∵在△ABC中，tanA=14，tanB∴tanC＝﹣tan（A+B）=−tanA+tanB∴C＝135°，即C为最大角，A与B都为锐角，∵tanA＜tanB，∴A＜B，即A为最小角，a为最小边，∴cos2A=11+tan2由正弦定理csinC=a解得：a=2则△ABC最小边的长为2．故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（m，﹣1）（m∈R），且z•（1+3i）为纯虚数（z是z的共轭复数）．（1）求m的值；（2）复数z2=a−iz在复平面对应的点在第一象限，求实数【考点】复数的除法运算．【答案】（1）m＝3；（2）a＞3．【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数z⋅(1+3i)，由已知条件可求得实数m（2）利用复数的除法求z2，再结合复数的几何意义求解．【解答】解：（1）由题意，复数z＝m﹣i（m∈R），∴z=m+i（m∈R则z•（1+3i）＝（m+i）•（1+3i）＝m﹣3+（3m+1）i，∵z•（1+3i）为纯虚数，∴m−3=03m+1≠0，解得m∴m的值为3；（2）复数z2∵复数z2∴3a+110＞0a−3∴实数a的取值范围为a＞3．16．（15分）已知向量a→=（2cosα，2sinα），b→=（6cosβ，6sinβ），且（1）求向量a→与b（2）若|ta→−b→|【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）向量a→与b→的夹角为π3；（2）【分析】（1）由已知可得a→，b→的模，展开a→•（b→−a→（2）把|ta→−b→|【解答】解：（1）由a→=（2cosα，2sinα），b→=（6cos得|a→|=又a→•（b→−a→设向量a→与b→的夹角为θ，则cosθ又θ∈[0，π]，∴θ=π（2）由|ta→−b→|即t2|a→|2∴4t2﹣12t+9＝0，解得t=317．（15分）（1）已知sinα=35，α∈(π2（2）已知cos(α+β)=513，cosβ=【考点】两角和与差的三角函数．【答案】（1）5665；（2）33【分析】（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果；（2）利用三角函数的定义和函数的角的恒等变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sinα=3所以cosα=−4由于cosβ=−5所以sinβ=−12故cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=(−4（2）由于α，β为锐角，故0＜α+β＜π，由于cos(α+β)=5所以sin(α+β)=1213，故sinα＝sin[（α+β）﹣β]=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ=1218．（17分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知c=2，C=π（1）若△ABC的面积等于3，求边a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积；（3）求△ABC周长的最大值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）a＝b＝2；（2）23（3）6．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解a，b；（2）由已知结合和差公式及二倍角公式进行化简，然后结合正弦定理可求a，b，进而可求三角形面积；（3）由正弦定理及和差角公式，辅助角公式对a+b先进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）由余弦定理及已知得：a2+b2﹣ab＝4，∵S△ABC=12absinC=联立方程组a2+b2﹣ab＝4与ab＝4，解得a＝b＝2；（2）由题得sin（B+A）+sin（B﹣A）﹣4sinAcosA，∴sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A=π2，B=π6，当cosA≠0时，得sinB＝