2023-2024学年江苏省盐城市五校联考高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年江苏省盐城市五校联考高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z＝（1﹣i）（2+i）的实部为（）A．3i B．3 C．﹣i D．﹣12．（5分）sin27°cos18°+cos27°sin18°的值为（）A．22 B．32 C．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a：b：c＝3：4：6，则cosA的值为（）A．14 B．−14 C．434．（5分）已知向量a→，b→的夹角为3π4，|a→A．1 B．3 C．5 D．55．（5分）在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．（5分）tan23°+tan37°+3A．3 B．−3 C．33 7．（5分）已知两个非零向量a→与b→的夹角为θ，我们把数量|a→||b→|sinθ叫作向量a→与b→的叉乘a→A．﹣14 B．14 C．﹣2 D．28．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知A=π6，则2sinB﹣cosA．(−32，3) B．(3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=22，c=23，A=πA．5π6 B．2π3 C．3π4（多选）10．（6分）已知cosα=−55，cosβ=35，其中A．sin2α=45 B．C．cos(α−β)=55 （多选）11．（6分）已知a→，b→是两个不共线的向量，且|aA．|a→−B．−3C．a→在b→方向上的投影向量可能为D．a→+b→三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝1+i（i是虚数单位），则z＝．13．（5分）如图，在△ABC中，AN→=13AC→，P是线段BN上的一点，若14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若tanAtanB＝2（tanA+tanB）tanC，则c2a四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）实数m取什么值时，复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣5m﹣6）i是：（1）实数？（2）纯虚数？16．（15分）已知向量a→=(1，2)，（1）若a→∥b（2）若a→⊥(a17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2＝bc．（1）求A；（2）已知a＝3，△ABC的面积为934，且AD为角A的角平分线，求线段18．（17分）已知平面向量a→=(sinx，cosx)，b→（1）求f（x）的最大值；（2）若在△ABC中f（A）＝﹣2，D在BC边上，且∠BAD=π2，BD＝2DC＝2，求△19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量OM→=(a，b)为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量（1）设函数g(x)=4cos(x2−π3)⋅cosx（2）将（1）中函数g（x）的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把整个图像向左平移2π3个单位长度，得到h（x）的图像，已知A（﹣2，3），B（2，6），问在y＝h（x）的图像上是否存在一点P，使得AP→⊥

2023-2024学年江苏省盐城市五校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z＝（1﹣i）（2+i）的实部为（）A．3i B．3 C．﹣i D．﹣1【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】B【分析】由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念即可求解．【解答】解：因为数z＝（1﹣i）（2+i）＝2+i﹣2i+1＝3﹣i，则z的实部为3．故选：B．2．（5分）sin27°cos18°+cos27°sin18°的值为（）A．22 B．32 C．1【考点】两角和与差的三角函数．【答案】A【分析】利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：sin27°cos18°+cos27°sin18°＝sin（27°+18°）＝sin45°=2故选：A．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a：b：c＝3：4：6，则cosA的值为（）A．14 B．−14 C．43【考点】余弦定理．【答案】C【分析】由题意设a，b，c的值，由余弦定理可得cosA的值．【解答】解：因为a：b：c＝3：4：6，设a＝3，b＝4，c＝6，由余弦定理可得cosA=b故选：C．4．（5分）已知向量a→，b→的夹角为3π4，|a→A．1 B．3 C．5 D．5【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的坐标运算．【答案】A【分析】根据向量的模长公式进行计算即可．【解答】解：|=a=2+2×故选：A．5．（5分）在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【答案】D【分析】直接利用正弦定理整理得sin2A＝sin2B，进一步利用三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：利用正弦定理：acosA＝bcosB转换为sinAcosA＝sinBcosB，整理得sin2A＝sin2B，故2A＝2B或2A+2B＝π；所以A＝B或A+B=π故三角形为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．（5分）tan23°+tan37°+3A．3 B．−3 C．33 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．【答案】A【分析】结合两角和与差的三角函数求解．【解答】解：因为tan(23°+37°)=tan23°+tan37°则tan23°+tan37°+3故选：A．7．（5分）已知两个非零向量a→与b→的夹角为θ，我们把数量|a→||b→|sinθ叫作向量a→与b→的叉乘a→A．﹣14 B．14 C．﹣2 D．2【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的概念与平面向量的模．【答案】B【分析】由向量坐标，首先求得夹角余弦值，进而求得夹角正弦值，即可求解．【解答】解：由向量a→=(2，4)，可得cosθ=a从而sinθ=1−co则|a故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知A=π6，则2sinB﹣cosA．(−32，3) B．(3【考点】两角和与差的三角函数；正弦定理．【答案】D【分析】由两角和与差的三角函数，结合三角函数的性质求解．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知A=π则2sinB﹣cosC=2sinB−cos(=2sinB+3=3=3又B+π则2sinB﹣cosC∈(0，3故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=22，c=23，A=πA．5π6 B．2π3 C．3π4【考点】正弦定理．【答案】BD【分析】由正弦定理及角C的范围，可得角C的大小．【解答】解：因为a=22，c=23，A=π即sinC=ca•sinA=2322所以C=π3或故选：BD．（多选）10．（6分）已知cosα=−55，cosβ=35，其中A．sin2α=45 B．C．cos(α−β)=55 【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．【答案】BCD【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数及二倍角公式逐一判断．【解答】解：已知cosα=−55，cosβ=35，其中则sinα=255对于选项A，sin2α＝2sinαcosα=−4即选项A错误；对于选项B，cos2β=2cos即选项B正确；对于选项C，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=(−5即选项C正确；对于选项D，sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=2即选项D正确．故选：BCD．（多选）11．（6分）已知a→，b→是两个不共线的向量，且|aA．|a→−B．−3C．a→在b→方向上的投影向量可能为D．a→+b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【答案】ACD【分析】根据|a→|−|b→|≤|a→−b→|≤|a【解答】解：选项A：由|a→|−|b→|≤|a→−选项B：由于a→，b→不共线，所以﹣1＜cos＜a→，b→＞＜1，又选项C：当a→⊥b→时，a→在b选项D：设a→+b→与a→由于−3＜a→⋅b→因为θ∈[0，π]，所以θ∈(0，π3]，即a→+b→故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝1+i（i是虚数单位），则z＝﹣i．【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】由z（1﹣i）＝1+i，得到z=【解答】解：由z（1﹣i）＝1+i，得z=则z＝﹣i．故答案为：﹣i．13．（5分）如图，在△ABC中，AN→=13AC→，P是线段BN上的一点，若AP→【考点】平面向量的基本定理．【答案】47【分析】由AP→=mAB【解答】解：由B，P，N三点共线，有BP→=λBN→即AP→−AB又AN→=1则AP→由平面向量基本定理有，λ=37且m＝1﹣所以m=4故答案为：4714．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若tanAtanB＝2（tanA+tanB）tanC，则c2a2+【考点】正弦定理．【答案】15【分析】将正切转化为正弦、余弦，再由正弦定理，余弦定理可得a，b，c之间的关系，进而求出c2【解答】解：因为tanAtanB＝2（tanA+tanB）tanC，所sinAsinBcosAcosB=2•sinAcosB+cosAsinBcosAcosB在三角形中，可得sin（A+B）＝sinC，所以sinAsinBcosC＝2sin2C，由正弦定理和余弦定理可得：ab•a2+b2整理可得a2+b2＝5c2，所以c2故答案为：15四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）实数m取什么值时，复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣5m﹣6）i是：（1）实数？（2）纯虚数？【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【答案】（1）﹣1或6；（2）3．【分析】（1）结合实数的定义，即可求解；（2）结合纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：（1）因为复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣5m﹣6）i是实数，所以m2﹣5m﹣6＝0，解得m＝﹣1或6．所以m＝﹣1或6时，复数z是实数．（2）因为复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣5m﹣6）i是纯虚数，所以m2﹣2m﹣3＝0且m2﹣5m﹣6≠0，解得m＝3，所以m＝3时，复数z是纯虚数．16．（15分）已知向量a→=(1，2)，（1）若a→∥b（2）若a→⊥(a【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用向量平行的性质能求出结果．（2）利用向量坐标运算法则、向量垂直的性质能求出结果．【解答】解：（1）向量a→=(1，2)，因为a→∥b→，所以1×（2）因为a→=(1，2)，b→因为a→⊥(a→+217．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2＝bc．（1）求A；（2）已知a＝3，△ABC的面积为934，且AD为角A的角平分线，求线段【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）π3；（2）3【分析】（1）由三角形的余弦定理可得所求角；（2）由三角形的面积公式和等积法、余弦定理，解方程可得所求值．【解答】解：（1）由b2+c2﹣a2＝bc，结合余弦定理可得cosA=b因为A∈（0，π），所以A=π（2）因为△ABC的面积为934，所以12由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，且a＝3，A=π可得9＝b2+c2﹣18×12，即b2+c所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝18+18＝36，因为b＞0，c＞0，所以b+c＝6，因为AD为角A的角平分线，所以S△ABD+S△ACD＝S△ABC，所以12所以AD=318．（17分）已知平面向量a→=(sinx，cosx)，b→（1）求f（x）的最大值；（2）若在△ABC中f（A）＝﹣2，D在BC边上，且∠BAD=π2，BD＝2DC＝2，求△【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）1；（2）3+23【分析】（1）利用平面向量数量积和三角函数的恒等变换，即可求解；（2）由题意得到A=2π【解答】解：（1）已知平面向量a→=(sinx，cosx)，b→因为a→=(sinx，cosx)，所以f(x)=2=2(3所以f（x）的最大值为2﹣1＝1；（2）在△ABC中f（A）＝﹣2，D在BC边上，且∠BAD=π2，BD＝2因为f（A）＝﹣2，所以sin(2A−π因为A∈（0，π），所以2A−π所以2A−π6=因为∠BAD=π2，所以在△ABD中，BDsin∠BAD=ABsin∠BDA，所以在△ACD中，CDsin∠CAD=ACsin∠