2023-2024学年江西省九江市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N+|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}2．（5分）a2＞b2是lga＞lgb的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数是定义在R上的增函数的是（）A． B．f（x）＝2﹣x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝lnx4．（5分）等差数列{an}前n项和为Sn，a7＝4，则S13＝（）A．44 B．48 C．52 D．565．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝ab，则a（b+1）+b（a+1）的最小值是（）A．9 B．12 C．16 D．206．（5分）已知曲线y＝xex+alnx在x＝1处的切线方程为y＝ex+b，则（）A．a＝e，b＝0 B．a＝e，b＝1 C．a＝﹣e，b＝1 D．a＝﹣e，b＝07．（5分）牛顿冷却定律（Newton'slawofcooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．已知环境温度为20℃，一块面包从温度为120℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为70℃，那么大约再经过多长时间，温度降为30℃？（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（）A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟8．（5分）函数的最大值为（）A．1 B．2 C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．（6分）设a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．|a|＞|b| B．ln（a﹣b）＞0 C．a2＞b2 D．2a＞2b（多选）10．（6分）设函数，则f（x）（）A．定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．图象关于原点对称 C．在（1，+∞）上单调递减 D．不存在零点（多选）11．（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足则（）A．{a2n}为等比数列 B．a2024﹣a2023＞2 C．S2024＜﹣2015 D．S2024﹣S2025＜2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题第1问2分，第2问3分。12．（5分）设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝﹣3，a2+a3+a4＝6，则a6＝．13．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．若函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）＝ax+bx（a，b＞0且a，b≠1）．若f（x）为偶函数，则ab＝；若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则ab的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝（m2﹣4m+5）xm为幂函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）＝ln[f（x）+ax+2]在[﹣1，1]上单调递增，求实数a的取值范围．16．（15分）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（1）＝1，求的值．17．（15分）已知数列{an}，{bn}满足an+bn＝22n+1+1，a1＝3，a2＝21，且{bn}为等比数列．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．18．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）（a∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若x＞0，f（x）＞0，求a的取值范围．19．（17分）若函数f（x）在定义域内存在x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称f（x）具有性质P．（1）试写出一个具有性质P的一次函数；（2）判断函数g（x）＝ex﹣ax是否具有性质P；（3）若函数h（x）＝lnx﹣ax2具有性质P，求实数a的取值范围．

2023-2024学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N+|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】求集合的交集．【答案】C【分析】由已知结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：∵A＝{x∈N+|x2﹣3x﹣4≤0}＝{1，2，3，4}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．2．（5分）a2＞b2是lga＞lgb的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】对数函数的单调性与最值．【答案】B【分析】由已知结合对数函数及二次函数的性质分别检验充分及必要性即可判断．【解答】解：∵a2＞b2⇔|a|＞|b|，但无法得出a＞b，所以lga＞lgb不一定成立，lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a2＞b2，∴a2＞b2是lga＞lgb的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）下列函数是定义在R上的增函数的是（）A． B．f（x）＝2﹣x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝lnx【考点】函数的单调性与函数图象的特征．【答案】A【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域和单调性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝＝，是幂函数，在R上为增函数；对于B，f（x）＝2﹣x，是指数函数，是R上的减函数；对于C，f（x）＝x2在，是二次函数，（﹣∞，0）为减函数；对于D，f（x）＝lnx的定义域为（0，+∞），不符合题意．故选：A．4．（5分）等差数列{an}前n项和为Sn，a7＝4，则S13＝（）A．44 B．48 C．52 D．56【考点】求等差数列的前n项和．【答案】C【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．【解答】解：因为等差数列{an}前n项和为Sn，a7＝4，．故选：C．5．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝ab，则a（b+1）+b（a+1）的最小值是（）A．9 B．12 C．16 D．20【考点】运用基本不等式求最值．【答案】B【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝ab，由a+b＝ab，得，∴＝．故选：B．6．（5分）已知曲线y＝xex+alnx在x＝1处的切线方程为y＝ex+b，则（）A．a＝e，b＝0 B．a＝e，b＝1 C．a＝﹣e，b＝1 D．a＝﹣e，b＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】D【分析】利用导数的几何意义可求出a的值，再将（1，e）代入y＝ex+b，可求得b的值，从而得答案．【解答】解：因为y＝xex+alnx，x＞0，所以，解得a＝﹣e，将（1，e）代入y＝ex+b，得b＝0．故选：D．7．（5分）牛顿冷却定律（Newton'slawofcooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．已知环境温度为20℃，一块面包从温度为120℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为70℃，那么大约再经过多长时间，温度降为30℃？（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（）A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟【考点】指数函数的实际应用．【答案】C【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：环境温度为20℃，一块面包从温度为120℃的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为70℃，则，又30﹣20＝（120﹣20）e﹣kt，得，故大约再经过33﹣10＝23分钟．故选：C．8．（5分）函数的最大值为（）A．1 B．2 C． D．【考点】利用导数求解函数的最值．【答案】A【分析】法一：先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解；法二：对已知函数进行化简可得，，令t＝xex＞0，则，对g（t）求导，结合导数与单调性关系即可求解．【解答】解：解法一：，则，令h（x）＝x+lnx，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，且，故存在，使得，即，当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴；解法二：，令t＝xex＞0，则，∵，∴0＜t＜1时，g'（t）＞0，g（t）在（0，1）上单调递增，t＞1时，g'（t）＜0，g（t）在（1，+∞）上单调递减，g（t）≤g（1）＝1，即f（x）≤1．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．（6分）设a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．|a|＞|b| B．ln（a﹣b）＞0 C．a2＞b2 D．2a＞2b【考点】等式与不等式的性质．【答案】D【分析】利用特殊值法可判断选项A，B，C；由指数函数的单调性可判断选项D．【解答】解：对于A，取a＝﹣1，b＝﹣2，|a|＜|b|，故A错误；对于B，取a＝﹣1，b＝﹣2，可得a﹣b＝1，则ln（a﹣b）＝0，故B错误；对于C，取a＝﹣1，b＝﹣2，a2＜b2，故C错误；对于D，指数函数y＝2x为增函数，又a＞b，所以2a＞2b，故D正确．故选：D．（多选）10．（6分）设函数，则f（x）（）A．定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．图象关于原点对称 C．在（1，+∞）上单调递减 D．不存在零点【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．【答案】ABD【分析】根据对数函数的性质逐项判断即可．【解答】解：若函数有意义，需满足，得x＜﹣1或x＞1，故f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），A正确；由A项可知f（x）的定义域关于原点对称，∵，∴f（x）为奇函数，B正确；令，则在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，C错误；令f（x）＝0，得无实数解，∴f（x）不存在零点，D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足则（）A．{a2n}为等比数列 B．a2024﹣a2023＞2 C．S2024＜﹣2015 D．S2024﹣S2025＜2【考点】数列的求和．【答案】ACD【分析】根据等比数列定义确定A，结合数列的递推公式判断BCD．【解答】解：依题意可得，则，所以数列{a2n}是以为首项，为公比的等比数列，故A选项正确；则，当n≥2时，，当n＝1时，也满足，所以，即a2024﹣a2023＜2，B选项错误；S2n＝（a1+a3++a2n﹣1）+（a2+a4++a2n）＝，∴，C选项正确；，S2n﹣S2n+1＜2，D选项正确；故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题第1问2分，第2问3分。12．（5分）设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝﹣3，a2+a3+a4＝6，则a6＝32．【考点】等比数列的性质．【答案】32．【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．【解答】解：因为{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝﹣3，a2+a3+a4＝6，设{an}的公比为q，则，由a1+a2+a3＝﹣3，得，解得a1＝﹣1，∴．故答案为：32．13．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．若函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是．【考点】函数零点的判定定理．【答案】．【分析】函数f（x）零点个数问题，转化为两个函数交点问题，数形结合即可．【解答】解：由f（x）＝0，得，令y＝﹣a，，则函数的部分图象如图所示，由图象结合题意得，即，即a的取值范围是．故答案为：．14．（5分）设函数f（x）＝ax+bx（a，b＞0且a，b≠1）．若f（x）为偶函数，则ab＝1；若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则ab的取值范围是[1，+∞）．【考点】奇函数偶函数的性质；由函数的单调性求解函数或参数．【答案】1；[1，+∞）．【分析】根据指数函数的性质，分类讨论即可．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（﹣1），即，∴ab＝1．此时为偶函数．当a，b＞1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，符合题意，此时ab＞1．当0＜a，b＜1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不符合题意．当0＜a＜1，b＞1或0＜b＜1，a＞1时，f'（x）＝axlna+bxlnb，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，不妨设0＜a＜1，b＞1，则在（0，+∞）上恒成立，∵在（0，+∞）上单调递增，∴lna+lnb≥0，即ab≥1．综上，ab的取值范围是[1，+∞）．故答案为：1；[1，+∞）．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝（m2﹣4m+5）xm为幂函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）＝ln[f（x）+ax+2]在[﹣1，1]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】由幂函数的单调性求解参数；求幂函数的解析式．【答案】（1）f（x）＝x2．（2）[2，3）．【分析】（1）根据幂函数定义即可得；（2）由复合函数的单调性即可得．【解答】解：（1）函数f（x）＝（m2﹣4m+5）xm为幂函数，则m2﹣4m+5＝1，∴m＝2，∴f（x）＝x2．（2）g（x）＝ln（x2+ax+2），由复合函数的单调性，得，解得2≤a＜3．故实数a的取值范围为[2，3）．16．（15分）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（1）＝1，求的值．【考点】错位相减法；奇函数偶函数的判断．【答案】（1）奇函数，详见解答过程；（2）（n﹣1）•2n+1+2．【分析】（1）结合函数奇偶性的定义，利用赋值法即可判断；（2）利用赋值法可得an+1﹣an＝1，a1＝1，然后结合错位相减求和即可求解．【解答】解：（1）对任意x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0，令y＝﹣x，得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）是奇函数；（2）令x＝n，y＝1，得f（n+1）﹣f（n）＝f（1）＝1，令an＝f（n），则an+1﹣an＝1，a1＝1，∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×1＝n，设数列{n•2n}的前n项和为Tn，则，两式相减，得，∴，即．17．（15分）已知数列{an}，{bn}满足an+bn＝22n+1+1，a1＝3，a2＝21，且{bn}为等比数列．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．【考点】裂项相消法；数列递推式．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及通项公式即可求解；（2）利用裂项求和即可求解．【解答】解：（1）因为an+bn＝22n+1+1，由题意得，由a1＝3，a2＝21，得，∵{bn}为等比数列，∴{bn}的公比q＝2，；（2）由（1）可得，∴，∴＝．18．（17分）已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）（a∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若x＞0，f（x）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；由函数的单调性求解函数或参数．【答案】（1）当a≤0时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；（2）[1，+∞）．【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论即可求解；（2）结合（1）中单调性的讨论及不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．【解答】解：（1），当a≤0时，，∴f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；当a＞0时，，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，故f（x）在上单调递减，在上单调递增，综上，当a≤0时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；（2）：①当a≤0时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0）＝0，不符合题意，舍去；②当0＜a＜1时，由（1）知f（x）在上单调递减，在上单调