2023-2024学年江西省南昌市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年江西省南昌市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：每题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z满足z＝（1+2i）2，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知单位向量满足，则＝（）A． B．3 C． D．43．（5分）已知命题甲：“非零向量，若，则”命题乙：“非零复数z1，z2，z3，若z1z3＝z2z3，则z1＝z2”，则（）A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲为真命题，命题乙为假命题 C．命题甲为假命题，命题乙为真命题 D．命题甲和命题乙都为假命题4．（5分）已知直线m，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β C．若m⊥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）向量在向量上的投影向量为，且，则＝（）A．2 B． C．4 D．6．（5分）已知角α，β的终边与单位圆⊙O的交点分别为P，Q，O为坐标原点，若P（﹣sinβ，cosβ），则＝（）A．0 B．1 C．2 D．47．（5分）在△ABC中，若AB＝AC，则cosA+cosB的取值范围为（）A． B． C． D．8．（5分）如图，边长为2的正方形ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，EF是圆O1的直径，点E从B1点出发，沿着圆O1逆时针方向转动一圈，记点E运动的路程为x，三棱锥E﹣FBA的体积为y，则函数y＝f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．二、多项选择题：每题6分，共18分在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z满足zi＝4﹣z，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣2i B． C．z2为纯虚数 D．（多选）10．（6分）已知函数的部分图象如图所示，M，N分别是函数图象的最高点和最低点，记∠MON＝θ，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的单调递增区间为[3+8k，7+8k]，k∈Z B．函数f（x）的对称中心为（1+4k，0），k∈Z C． D．（多选）11．（6分）函数f（x）＝x﹣[x]是物理中常见的锯齿波函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（）A．[x+1]＝[x]+1 B．函数y＝2x﹣[2x]的最小正周期为 C．函数y＝3x﹣[3x﹣1]的值域为[1，2] D．函数y＝x﹣[﹣x]为周期函数三、填空题：每题5分，共15分。12．（5分）圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝5，c＝7，，则△ABC的面积为．14．（5分）如图，曲线C1是以O为圆心，半径为1的半圆弧，AB为圆O的直径，现将C1上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的，横坐标不变，分别得到曲线C2，C3，垂直AB的直线与曲线C1，C2，C3分别相交于P1，P2，P3三个不同的点，则|OP2|•|OP3|的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知复数z是关于x的方程x2+4x+5＝0的一个根，且复数z在复平面内所对应的点在第二象限．（1）求z；（2）若复数所对应的向量分别为，且，求λ的值．16．（15分）已知4sinα﹣3cosα＝5．（1）求sinα的值；（2）求的值．17．如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，，点E在底面ABCD的投影恰好为△BCD的重心F．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求证：PC⊥BD．18．（17分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为BB1的中点，点M在棱AC上．（1）若M为AC的中点，求证：平面BMC1⊥平面ACC1A1；（2）若ΔAEC1为直角三角形，求tan∠EAB；（3）若，AB＝4，求AM．19．（17分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．（1）若，求λ+μ的值；（2）若，，求||；（3）若BE⊥AF，求cos∠ACB的最小值．

2023-2024学年江西省南昌市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：每题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z满足z＝（1+2i）2，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】B【分析】可得出z＝﹣3+4i，然后即可得出复数z对应的坐标，从而得出复数z对应的点所在象限．【解答】解：由（1+2i）2＝1﹣4+4i＝﹣3+4i，对应点坐标为（﹣3，4），在第二象限．故选：B．2．（5分）已知单位向量满足，则＝（）A． B．3 C． D．4【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】由平面向量模的求法计算即可．【解答】解：因为单位向量满足，所以＝＝．故选：C．3．（5分）已知命题甲：“非零向量，若，则”命题乙：“非零复数z1，z2，z3，若z1z3＝z2z3，则z1＝z2”，则（）A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲为真命题，命题乙为假命题 C．命题甲为假命题，命题乙为真命题 D．命题甲和命题乙都为假命题【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】由平面向量数量积的性质分析甲，由复数的运算判定乙即可．【解答】解：对非零向量，若，则有，即或，故命题甲为假命题；对非零复数z1，z2，z3，若z1z3＝z2z3，则有z1＝z2，故命题乙为真命题．故选：C．4．（5分）已知直线m，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β C．若m⊥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【答案】B【分析】由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】解：若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若m∥α，过m作平面γ，使得γ∩α＝n，可得m∥n，∵m⊥β，∴n⊥β，可得α⊥β，故B正确；若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m∥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β或m与β相交，故D错误．故选：B．5．（5分）向量在向量上的投影向量为，且，则＝（）A．2 B． C．4 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【答案】D【分析】根据题意，由投影向量的计算公式分析可得•＝||2＝4，结合向量数量积的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量在向量上的投影向量为，则＝，则有•＝||2＝4，又由，即2+2﹣2•＝2﹣4＝4，变形可得＝2．故选：D．6．（5分）已知角α，β的终边与单位圆⊙O的交点分别为P，Q，O为坐标原点，若P（﹣sinβ，cosβ），则＝（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的坐标运算．【答案】A【分析】根据题意可得出P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），进而得出cosα＝﹣sinβ，sinα＝cosβ，然后进行数量积的坐标运算即可得出答案．【解答】解：根据题意知：P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），且P（﹣sinβ，cosβ），∴cosα＝﹣sinβ，sinα＝cosβ，∴＝﹣sinβcosβ+cosβsinβ＝0．故选：A．7．（5分）在△ABC中，若AB＝AC，则cosA+cosB的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】诱导公式；求二倍角的三角函数值．【答案】A【分析】由题意得B＝C，A＝π﹣2B，运用诱导公式及二倍角公式可得cosA+cosB＝﹣2（cosB﹣）2+，结合二次函数的性质和B∈（0，），可得结论．【解答】解：△ABC中，AB＝AC，所以B＝C，A＝π﹣B﹣C＝π﹣2B，所以cosA+cosB＝cos（π﹣2B）+cosB＝﹣cos2B+cosB＝﹣2cos2B+cosB+1＝﹣2（cosB﹣）2+，因为B＝C，所以B∈（0，），cosB∈（0，1），故当cosB＝，cosA+cosB取得最大值，当cosB＝1，cosA+cosB取得最小值0，故cosA+cosB的取值范围为（0，]．故选：A．8．（5分）如图，边长为2的正方形ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，EF是圆O1的直径，点E从B1点出发，沿着圆O1逆时针方向转动一圈，记点E运动的路程为x，三棱锥E﹣FBA的体积为y，则函数y＝f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】棱锥的体积．【答案】D【分析】把三棱锥E﹣FBA分成等体积两个三棱锥E﹣O1AB，F﹣O1AB即可求解．【解答】解：先把三棱锥E﹣FBA分成两个三棱锥E﹣O1AB，F﹣O1AB，这两个三棱锥E﹣O1AB，F﹣O1AB体积是一样的，所以，设点F到面O1AB的距离为h，即是过点F作A1B1的垂线，根据题意可得h＝sinx，x∈[0，2π]，在△O1AB中，，所以△O1AB的AB边上的高等于2，所以，所以，x∈[0，2π]，因为当点E从B1点出发，沿着圆O1逆时针方向转动越过A1时，即x∈（π，2π）其体积也是跟原来x∈[0，π]也是一样．故选：D．二、多项选择题：每题6分，共18分在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z满足zi＝4﹣z，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣2i B． C．z2为纯虚数 D．【考点】复数的模；复数的混合运算；复数的实部与虚部；纯虚数；共轭复数．【答案】BC【分析】结合复数的四则运算，求出z，即可依次判断．【解答】解：zi＝4﹣z，则z（1+i）＝4，故z＝，z的虚部为﹣2，故A错误；，故B正确；z2＝（2﹣2i）2＝﹣4i为纯虚数，故C正确；，故D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）已知函数的部分图象如图所示，M，N分别是函数图象的最高点和最低点，记∠MON＝θ，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的单调递增区间为[3+8k，7+8k]，k∈Z B．函数f（x）的对称中心为（1+4k，0），k∈Z C． D．【考点】余弦函数的图象；余弦函数的单调性；余弦函数的对称性．【答案】ABD【分析】利用图象求出一个零点，代入函数中求解C，利用整体代入法求解A，B，求出点M，N的坐标，进而得到θ﹣φ，最后再利用两角差的正切公式求解即可．【解答】解：设的周期为T，由题意得，结合图象得该函数的一个零点为（1，0），代入函数中，得到，而|φ|＜π，解得（其它根舍去），故C错误，此时，该函数即为，令，可得，解得﹣5+8k≤x≤8k﹣1，k∈Z，故x∈[﹣5+8k，﹣1+8k]，结合T＝8，故x∈[3+8k，7+8k]，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间为[3+8k，7+8k]，k∈Z，故A正确，令，故，解得x＝4k+1，k∈Z，即函数f（x）的对称中心为（1+4k，0），k∈Z，故B正确，当x＝﹣1时，，故，当x＝3时，，故，如图，作MP⊥x轴，NQ⊥x轴，在△MOP中，由锐角三角函数定义知，故，，在△NOQ中，由锐角三角函数定义知，故，而，故，可得，故＝，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）函数f（x）＝x﹣[x]是物理中常见的锯齿波函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（）A．[x+1]＝[x]+1 B．函数y＝2x﹣[2x]的最小正周期为 C．函数y＝3x﹣[3x﹣1]的值域为[1，2] D．函数y＝x﹣[﹣x]为周期函数【考点】由函数解析式求解函数图象．【答案】AB【分析】令x＝m+t，0≤t＜1，代入求解即可判断A；求出f（x）＝x﹣[x]的周期即可判断B；求出f（x）＝x﹣[x]值域即可判断C；根据图象判断D【解答】解：令x＝m+t，0≤t＜1，则[x]＝m，[x+1]＝[m+t+1]＝m+1，而[x]+1＝m+1，故A对；f（x+1）＝x+1﹣[x+1]＝x+1﹣（[x]+1）＝x﹣[x]＝f（x），即f（x+1）＝f（x），所以f（x）是周期函数，1是f（x）＝x﹣[x]一个周期，设T是函数f（x）＝x﹣[x]一个周期T≠0，即f（x+T）＝f（x），所以x+T﹣[x+T]＝x﹣[x]⇌T＝[x+T]﹣[x]，故函数的周期为整数，而1是最小的正整数，故f（x）＝x﹣[x]的最小正周期为1，根据图象的伸缩变换，y＝2x﹣[2x]的图象是由f（x）＝x﹣[x]图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到，所以函数y＝2x﹣[2x]的最小正周期为，故B对；由f（x）＝x﹣[x]＝m+t﹣m＝t，所以f（x）的值域为[0，1），而y＝3x﹣[3x﹣1]＝3x﹣[3x]+1，又0≤3x﹣[3x]＜1，故1≤3x﹣[3x]+1＜2，即函数y＝3x﹣[3x﹣l]的值域为[1，2），故C错；当x∈（0，1]时，﹣x∈[﹣1，0），∴[﹣x]＝﹣1，所以y＝x+1，当x∈（1，2]时，﹣2≤x＜1，[﹣x]＝﹣2，所以y＝x+2，x∈（2，3]，﹣3≤x＜2，[﹣x]＝﹣3，y＝x+3，y随x增大而增大故不是周期函数，故D错．故选：AB．三、填空题：每题5分，共15分。12．（5分）圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为2，∴母线长为：，∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×1×＝π，故答案为：π．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝5，c＝7，，则△ABC的面积为10．【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】10．【分析】由已知利用余弦定理可得a2﹣5a﹣24＝0，解方程可得a的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：因为△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝5，c＝7，，所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得49＝a2+25﹣2×a×5×，整理可得a2﹣5a﹣24＝0，解得a＝8（负值舍去），所以△ABC的面积S＝absinC＝＝10．故答案为：10．14．（5分）如图，曲线C1是以O为圆心，半径为1的半圆弧，AB为圆O的直径，现将C1上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍、缩短为原来的，横坐标不变，分别得到曲线C2，C3，垂直AB的直线与曲线C1，C2，C3分别相交于P1，P2，P3三个不同的点，则|OP2|•|OP3|的最大值为．【考点】直线与椭圆的综合．【答案】．【分析】利用伸缩变换得到C2，C3的方程，联立求得交点，利用两点间距离公式表示出距离，再利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：由题意得C1的方程为x2+y2＝1，若将C1上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，可得C2的方程为，若将C1上的每个点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，可得C3的方程为x2+4y2＝1，设垂直AB的直线方程为x＝t（﹣1＜t＜1），P2（x，y1），P3（x，y2），y1＞0，y2＞0，联立方程，解得，联立方程，解得，故，，由两点间的距离公式可得：，，所以|OP2|•|OP3|＝≤（基本不等式）＝，当且仅当1，即时取等号，即（|OP2|•|OP3|）max＝．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知复数z是关于x的方程x2+4x+5＝0的一个根，且复数z在复平面内所对应的点在第二象限．（1）求z；（2）若复数所对应的向量分别为，且，求λ的值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（1）﹣2﹣i；（2）．【分析】（1）先求出方程在复数范围内的根，再根据题意求得复数z；（2）由共轭复数定义和复数的运算求得的坐标，再由向量垂直的坐标表示计算即可．【解答】解：（1）复数范围内方程x2+4x+5＝0的根为x＝﹣2±i，因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以z＝﹣2+i；（2）由（1）知，，z2＝（﹣2+i）2＝3﹣4i，所以，，，，因为，所以＝﹣5（3﹣2λ）+3（﹣λ﹣4）＝7λ﹣27＝0，所以．16．（15分）已知4sinα﹣3cosα＝5．（1）求sinα的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数间的基本关系．【答案】（1）；（2）﹣7．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可得25cos2α+30cosα+9＝0，解方程可得cosα的值，进而可得sinα的值；（2）由（1）可得tanα的值，利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：（1）因为4sinα﹣3cosα＝5，可得sinα＝＞0，所以（）2+cos2α＝1，整理可得25cos2α+30cosα+9＝0，解得cosα＝﹣，所以sinα＝＝；（2）由（1）可得tanα＝＝﹣，所以＝＝＝＝﹣7．17．如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，，点E在底面ABCD的投影恰好为△BCD的重心F．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求证：PC⊥BD．【考点】直线与平面平行；异面直线的判定．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）证明EF∥PA即可；（2）证明BD⊥平面PAC即可证明线线垂直．【解答】证明：（1）如图所示，连接AC交BD于点H，底面ABCD为菱形，AC⊥BD，AH＝HC，HB＝HD，所以H为BD的中点，因为F为△BCD的重心，所以F在AC上，且CF＝2FH，可得3CF＝AC，∵，∴PC＝3EC，在△PAC中，根据线段成比例可得3EF＝PA，EF∥PA，又因为EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（2）由（1）可知，EF∥PA，因为点E在底面ABCD的投影恰好为△BCD的重心F．所以EF⊥平面BCD，可得PA⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为PA，AC是平面PAC内两条相交直线，所以BD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以PC⊥BD．18．（17分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为BB1的中点，点M在棱AC上．（1）若M为AC的中点，求证：平面BMC1⊥平面ACC1A1；（2）若ΔAEC1为直角三角形，求tan∠EAB；（3）若，AB＝4，求AM．【考点】棱锥的体积；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）利用三线合一得BM⊥AC，再根据线面垂直的性质和面面垂直的判定即可证明；（2）首先得到∠AEC1＝90°再利用勾股定理得到．，最后得到a，b关系，最后根据正切定义即可．（3）根据锥体体积公式即可得到方程，解出即可．【解答】解：（1）证明：因为正棱柱ABC﹣A1