2026年精算师考试数学科目试题与答案

2026年精算师考试数学科目试题与答案1.单项选择题（每题2分，共20分）1.1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E[A.λ  B.  C.+λ  D.−λ  E.答案：B1.2已知连续型随机变量X的密度函数为f(x则P(A.  B.  C.  D.  E.答案：D1.3设A,B为两个事件，满足P(A)=0.4A.0.2  B.0.3  C.0.4  D.0.5  E.0.6答案：C1.4若利率力为常数δ=0.05，则年有效利率A.0.04879  B.0.05000  C.0.05127  D.0.05254  E.0.05381答案：C1.5设,,…,为来自N(μA.  B./n  C.σ/  D.n  E.答案：B1.6已知生存函数(x)=A.  B.  C.  D.  E.答案：A1.7设N服从参数为λ的泊松分布，独立同分布且与N独立，S=，则E[A.λE[]  B.λ  C.E[答案：A1.8若年金现值随机变量Y满足E[Y]=10A.0.5  B.1.0  C.1.5  D.2.0  E.2.5答案：B1.9设X的矩母函数为(t)=A.  B.+3μ  C.+3  D.+答案：B1.10在完全离散寿险模型中，若=0.01，i=5A.0.0095  B.0.0098  C.0.0100  D.0.0102  E.0.0105答案：B2.多项选择题（每题3分，共15分；每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）2.1设X为连续型随机变量，其分布函数为F(A.F(x)单调不减  B.D.F(x)答案：ABCD2.2关于生命表函数，下列恒成立的有A.单调不增  B.为出生人数基数  C.=−D.=/  E.答案：ABCD2.3设X,Y为独立随机变量，A.(t)C.Var(Z)答案：ABCD2.4对于完全连续终身寿险，下列公式正确的有A.=∈fC.=∈fty答案：ABCD2.5设X∼N(A.Y服从卡方分布自由度为1  B.E[YD.Y与X独立  E.Y的密度在0处为0答案：ABC3.填空题（每题4分，共20分）3.1设X的密度函数为f(x)答案：exp3.2已知=0.02，=0.03，=100答案：1003.3若年有效利率为6%，则3年后的1元在现在的现值为\underline{\hskip3em}元。答案：=3.4设X服从参数为λ的指数分布，则P(答案：=3.5在完全离散模型中，若=0.02，=0.25，则答案：=4.简答题（每题8分，共24分）4.1简述生命表编制中“暴露数”与“死亡数”的关系，并给出暴露数的近似计算公式。答案：暴露数表示在年龄区间[x,x+1)≈4.2给出完全连续终身寿险的净保费准备金V¯答案：经济含义：准备金瞬时变化率由利息收入、保费收入与死亡成本共同决定。4.3解释“风险中性定价”在精算中的基本思想，并写出对一份到期支付H的欧式看涨期权在T时刻的价格公式。答案：风险中性定价假设市场参与者风险中性，资产价格等于期望折现支付。公式：=其中Q为风险中性测度，r为无风险利率，K为执行价。5.应用题（共71分）5.1计算题（12分）设某团体初始有1\,000名60岁独立生命，生命表给出=0.01，=0.012，=0.015(1)求该团体在3年内预期死亡人数的现值之和；(2)若每人死亡即刻给付1万元，求总给付现值的期望与标准差。答案：(1)预期死亡人数：===现值：P(2)期望给付现值：10000方差：V标准差：≈175.2分析题（12分）某保险公司销售一份完全连续20年期两全保险，保额1元，被保险人40岁，利率力δ=0.04，死亡力(1)写出净保费P¯(2)利用数值积分（梯形法，步长1年）估算P¯答案：(1)P==(2)梯形法计算得=exp(−0.0005t−0.00015.3综合题（15分）考虑一个双衰减模型：衰减1为死亡，衰减2为退保。独立衰减率分别为=0.01，=(1)计算关联单衰减表中的与；(2)若10\,000份保单进入年龄x，求预期死亡与退保人数；(3)若死亡给付5万元，退保给付1万元，利率5%，求总给付现值的期望。答案：(1)==(2)死亡人数：10000×0.00975(3)现值：E5.4计算与证明题（15分）设X的密度为f(x)=，x>(1)求E[(2)求E[(3)证明Var(答案：(1)E(2)E(3)先求E[V5.5综合案例分析（17分）某养老金计划采用最终工资60%的替代率，退休年给付按月支付，利率4%，死亡表采用GP2014男性，退休年龄65，加入年龄30，工资年增长率3%。(1)写出未来给付精算现值(APV)的表