北师大版小学数学三年级上册期末拓展提高教案：乘与除的智慧花园

北师大版小学数学三年级上册期末拓展提高教案：乘与除的智慧花园

一、设计理念与理论依据

本教案的设计根植于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，致力于在“数与运算”主题下，超越基础知识与技能的熟练操练，实现从“算术”到“代数思维”的初步过渡，从“解题”到“解决问题”的能力跃迁。我们认为，期末的“拓展提高”绝非难题的简单堆砌，而是学生数学认知结构重整、深化与升华的关键契机。本设计以“结构化”统整知识，将乘除法的算理、算法、数量关系及应用视作一个有机整体；以“情境化”驱动学习，创设真实、复杂且富有挑战性的“智慧花园”项目背景，激发学生探究内驱力；以“思维可视化”促进理解，借助多元表征工具，让学生的数学思考过程得以外显、交流与优化。最终，旨在培养学生的运算能力、推理意识、模型意识和应用意识，实现核心素养的融合发展。

二、学情深度分析

经过本单元及前期的学习，三年级学生已掌握了表内乘除法、整十、整百数乘（除以）一位数的口算，以及两、三位数乘（除以）一位数的笔算基本方法。他们的典型认知状态表现为：第一，计算技能初步形成，但算理理解的深度不一，部分学生可能仍处于程序性记忆阶段，对运算律（如乘法分配律的雏形）缺乏感性认识；第二，能解决简单的“每份数×份数=总数”或“总数÷每份数=份数”的直接应用问题，但对于数量关系的复合、变化与逆推感到困难，综合分析与灵活应变能力亟待提升；第三，具备初步的归纳、类比能力，但抽象概括与符号化表达尚在萌芽期。因此，本次拓展提高教学需精准锚定学生的“最近发展区”，通过精心设计的“认知冲突”和“思维脚手架”，引导他们跳一跳“摘到果子”，体验结构化思维与策略化解决问题的威力。

三、教学目标（三维融合）

知识与技能维度：

1.深化对乘除法算理的理解，能灵活运用多种策略（如分解、凑整、转化为已知模型）进行复杂情境下的快速口算与估算。

2.熟练掌握两步及两步以上混合运算（以乘除为主，含括号）的运算顺序，并能解决相关的实际问题。

3.系统建构“倍数关系”、“归一问题”、“归总问题”的数学模型，能辨析其结构特征并进行熟练转换与逆向推理。

过程与方法维度：

1.经历“发现问题—提出假设—验证推理—总结规律”的完整探究过程，提升数学探究与合情推理能力。

2.学会运用线段图、矩形面积模型、思维导图等工具分析和表征复杂的数量关系，发展几何直观与模型思想。

3.在小组合作解决开放性项目任务中，提升信息提取、策略规划、有效表达与协作反思的能力。

情感态度与价值观维度：

1.在挑战性任务中体验克服困难、发现规律的乐趣，增强学习数学的自信心和成功感。

2.感悟乘除法知识在解决现实世界问题中的强大力量，体会数学的简洁、有序与逻辑之美。

3.培养严谨求实、勇于探索、乐于分享的科学态度与合作精神。

四、教学重点与难点

教学重点：

1.乘除法数量关系模型（倍比、归一、归总）的深度建构与灵活应用。

2.在复杂、综合的真实问题情境中，策略性地选择与运用乘除法知识进行分析与解答。

教学难点：

1.从具体情境中抽象出隐藏的数学模型，尤其是对复合数量关系的分解与重组。

2.逆向思维与发散思维的培养，如根据结果反推条件，或对同一问题寻求多种解法路径。

五、教学准备

1.教师准备：“智慧花园”总体规划图（多媒体课件）、探究学习任务单、不同难度层级的挑战卡、小组合作评价量表、实物投影仪、几何画板或类似动态数学软件。

2.学生准备：常规文具、彩色笔、直尺、草稿本，以及课前对社区或校园内一处绿化区域的简单观察记录（可选）。

六、教学实施过程（总课时建议：3课时）

第一课时：智慧启航——算理深处的探险

（一）情境导入，揭示主题（约8分钟）

教师呈现“智慧花园”总体规划图动画：这是一个需要同学们用数学智慧共同设计和建造的虚拟社区花园。花园分为“育苗区”、“花卉展示区”、“果实采摘区”和“生态池区”。今天，我们将化身“花园规划师”，首先解决建造中的基础计算问题。

核心问题链：

1.育苗区需要培育花苗。如果每个育苗盘有16个小格，我们买了23个这样的育苗盘，一共能培育多少株花苗？

2.你能用多少种不同的方法来计算16×23的结果？比一比，谁的方法更能体现乘法的本质意义。

（此问题旨在直接激活学生的已有笔算经验，并引导其追溯算理本源。）

（二）问题探究，追溯本源（约22分钟）

活动一：算法多样化与算理可视化

1.独立思考与尝试：学生自主计算16×23，鼓励尝试多种方法。

2.小组交流与归类：在小组内分享各自的算法。教师巡视，引导小组将方法归类，预设类别：

1.3.竖式计算法（标准算法）。

2.4.拆分法：16×23=16×20+16×3=320+48=368；或16×23=10×23+6×23=230+138=368。

3.5.面积模型法：画一个长为23、宽为16的长方形，将其分割为20×10、20×6、3×10、3×6四个小长方形，面积求和。

6.全班分享与深化：各小组代表展示不同方法，重点聚焦“拆分法”和“面积模型法”。

1.7.教师追问：“16×20和16×3分别求的是什么？（20个16和3个16的和）”“在面积图中，每一部分面积对应着乘法算式中的哪两个数相乘？”

2.8.几何画板演示：动态展示将23×16的长方形进行不同方式的分割（如横分、竖分、混合分），每一种分割都对应一种“拆分相乘再相加”的计算思路，直观揭示乘法分配律的几何意义。

3.9.归纳升华：所有方法的本质都是将“两位数乘两位数”这个新问题，转化为了若干个“表内乘法”或“整十数乘一位数”这些已解决的问题。数学转化思想是解决复杂问题的金钥匙。

活动二：从“多解”到“优解”

1.迁移挑战：计算25×44。学生快速尝试。

2.策略比较：

1.3.方法A：竖式计算。

2.4.方法B：25×44=25×40+25×4=1000+100=1100。

3.5.方法C：25×44=25×4×11=100×11=1100。（看到25找4）

4.6.方法D：25×44=(100÷4)×44=100×44÷4=4400÷4=1100。

7.引导反思：“面对不同的题目，哪种方法更巧妙？为什么？”引导学生发现，根据数字特点（如25与4，125与8是好朋友）灵活选择策略，能使计算更简便、快捷。这体现了计算的“策略性”而不仅仅是“程序性”。

（三）巩固应用，链接实际（约8分钟）

智慧花园任务一：育苗区的预算

1.每包营养土重5千克，售价15元。育苗区初步估算需要购买120千克营养土，请问需要多少元？

（学生可能先算需要多少包：120÷5=24包，再算总价：24×15=360元。也可能先算每千克单价：15÷5=3元，再算总价：120×3=360元。引导比较两种思路，建立“归一”思想的初步感知。）

2.如果花园理事会给我们拨付了500元用于购买营养土，在满足120千克需求的前提下，最多可以剩余多少元？请写出你的思考过程。

（四）课堂小结与延伸思考（约2分钟）

教师引导学生小结：今天我们不仅复习了乘法计算，更深入探寻了计算背后的道理和策略。我们发现了“转化”和“根据数字特点简算”两大法宝。课后思考：除法的计算中，是否也存在类似的“转化”奥秘和简算策略？请尝试分析96÷4和96÷6可以怎样灵活计算。

第二课时：关系解码——数量模型的建构

（一）情境再入，提出挑战（约7分钟）

回顾“智慧花园”项目。如今，花园进入种植布局阶段。

核心情境：花卉展示区计划种植郁金香和风信子。已知郁金香每行种8株，种了15行；风信子的总株数是郁金香的2倍。

问题风暴：根据以上信息，你能提出哪些数学问题？并尝试解答。

（学生可能提出：郁金香一共多少株？风信子一共多少株？两种花共多少株？风信子比郁金香多多少株？风信子如果每行也种8株，需要种多少行？如果风信子种了20行，平均每行种几株？……教师将问题分类板书。）

（二）模型探究，结构化梳理（约25分钟）

活动一：聚焦“倍数关系”模型

1.解决问题：郁金香株数：8×15=120株。风信子株数：120×2=240株。

2.模型抽象：引导学生用简洁的数学语言表述：郁金香株数×2=风信子株数。明确“标准量”（郁金香株数）、“倍数”（2倍）和“比较量”（风信子株数）三者关系。

3.逆向与变形：

1.4.如果知道风信子240株，是郁金香的2倍，求郁金香株数？（240÷2=120）

2.5.如果知道郁金香120株，风信子240株，风信子是郁金香的几倍？（240÷120=2）

3.6.深度对话：“倍”是一种关系，不是单位。求“一个数的几倍是多少”用乘法，求“一个数是另一个数的几倍”或“已知一个数的几倍是多少，求这个数”都用除法。它们本质上是同一个数量关系的三种不同表述形式。

活动二：对比建构“归一”与“归总”模型

1.问题对比呈现：

1.2.问题A（归总）：给郁金香浇水，如果每人每小时能浇4行，3个同学一起浇1小时，正好浇完所有郁金香。郁金香一共有多少行？

2.3.问题B（归一）：浇完所有郁金香（15行）用了3个同学1小时的时间。照这样计算，如果只有2个同学，浇完这些郁金香需要多少小时？

4.小组合作探究：

1.5.分别解答两个问题。

2.6.画出线段图或示意图表示题目中的数量关系。

3.7.对比两个问题的已知条件、求解过程有何异同。

8.全班建模与辨析：

1.9.问题A（归总）解析：先求“工作总量”（人数×时间=3×1=3份工时），再求“行数”（每份工时浇的行数×工时总数=4×3=12行？）。认知冲突：计算结果（12行）与已知（15行）不符！引导学生审题发现：“每人每小时能浇4行”，这里的“工作效率”是“每人每小时4行”。因此，3人1小时的总工作量是4行/人时×3人×1小时=12行？依然不符。再次审题：“正好浇完所有郁金香”，结合前面已知郁金香有15行。矛盾产生。引导发现：此题数据为假设，意在构建模型。我们设郁金香有a行。根据条件：3人1小时浇a行，则1人1小时浇a÷3行。又知1人1小时可浇4行，所以a÷3=4，得a=12。模型是：总行数=每人每小时浇的行数×人数×时间。这是典型的“归总”问题，先求出不变的“单人单时效率”，但在此题中，总行数是未知的。

2.10.调整问题A数据以符合逻辑：若每人每小时浇5行，3人1小时浇完，总行数=5×3×1=15行。模型清晰。

3.11.问题B（归一）解析：已知总行数15行，3人1小时完成。先求“联合工作效率”：15行÷3人÷1小时=5行/人时（每人每小时），或直接求“团队效率”：15行/小时（3人合作）。再求新条件下时间：若2人合作，团队效率为5行/人时×2人=10行/小时，所需时间=15行÷10行/小时=1.5小时。模型是：先求单一量（人均效率或团队效率），再求新总量或新时间。

4.12.核心辨析：“归一”先求“每份数”（单一量），再求新结果；“归总”先利用“每份数×份数”求出“总数”，再利用总数求其他。它们都围绕“每份数、份数、总数”三个基本量展开，是乘除法基本数量关系的复合与拓展。

（三）综合应用，模型迁移（约15分钟）

智慧花园任务二：种植规划与资源调配

1.果树区问题：采摘区要种植苹果树和梨树。苹果树每排种6棵，种了8排。梨树的棵数比苹果树的3倍少10棵。梨树有多少棵？

（两步计算，涉及“求比一个数的几倍多（少）几”的模型，是倍数关系的深化。）

2.灌溉系统问题：一个自动喷头每分钟喷水15升，灌溉生态池需要喷水360升。如果使用4个这样的喷头同时工作，需要多少分钟？

（方法多样：可先求总工作量，再求联合工作效率，最后求时间(360÷(15×4))；也可先求一个喷头需要的时间，再考虑多个喷头同时工作缩短的时间(360÷15÷4)。引导学生比较哪种思路更符合其思维习惯。）

3.花坛设计问题（开放性）：用同样长的栅栏围一个长方形花坛。你可以设计出多少种不同的方案？（长和宽为整米数）哪种方案围出的面积最大？你发现了什么规律？

（此题渗透周长一定时，面积与长、宽的关系，为未来学习埋下伏笔，鼓励学生通过列表枚举、计算比较进行探究。）

（四）本课总结（约3分钟）

师生共同总结：今天我们破解了“倍数”、“归一”、“归总”三大数量关系“密码”。解决复杂问题的关键，是将它分解成几个简单的乘除基本关系，并善于用画图的方式让关系“看得见”。

第三课时：策略突围——问题解决的升华

（一）高阶情境导入，确立项目目标（约10分钟）

“智慧花园”即将竣工，我们需要完成最后的“成本核算与成果预测”综合报告。

发布终极项目任务：以小组为单位，担任“花园审计与规划小组”，完成以下综合报告中的至少两项挑战性任务，并准备进行成果展示与答辩。

挑战任务清单：

1.预算审计任务：花园初始总预算为5000元。已知购买花苗花费了总预算的2/5，购买工具花费了剩余预算的1/3，其余用于购买肥料。请问购买肥料花了多少元？（分数为后续学习铺垫，此处可理解为“平均分成5份，花苗用了2份”）

2.产量预测任务：预计每平方米草莓园可收获草莓5千克。如果采摘区长方形草莓园的长是宽的2倍，且周长是36米。预测该草莓园总共能收获多少千克草莓？

3.优化设计任务：花园里有一条笔直的小路长120米。计划在小路一侧每隔5米种一棵银杏树（两端都种）。后来为了更美观，决定改为每隔6米种一棵。请问有多少棵树的位置不需要移动？请画出示意图并说明。

4.开放创作任务：结合“乘与除”的知识，为“智慧花园”的运营自创一个有趣的数学问题，并给出详细的解答方案。

（二）小组合作探究，教师精准指导（约25分钟）

1.小组分工与计划：各小组选择任务，进行角色分工（记录员、计算员、画图员、汇报员等），讨论解题策略与步骤。

2.深度探究与教师支架：

1.3.巡视各组，关注学生遇到的共性难点。

2.4.对任务1，引导学生用“线段图”清晰表示总预算、花苗花费、剩余预算、工具花费、肥料费用之间的关系。关键点：两个分率对应的“单位1”不同。

3.5.对任务2，引导分步：先利用周长和长宽关系求出长和宽，再求面积，最后求总产量。涉及公式的逆用。

4.6.对任务3，这是“植树问题”与“公倍数”思想的结合。引导通过画图发现，不需要移动的树位于既是5的倍数又是6的倍数的位置，即30米的倍数位置。进而计算120米内30的倍数个数。

5.7.对任务4，鼓励创新性和现实性，关注其问题是否合理，解答是否严谨。

8.报告撰写与可视化准备：各小组将解题过程、方法、结论进行整理，鼓励使用思维导图、图表、实物模型等多种方式准备展示。

（三）成果展示交流，思维碰撞深化（约12分钟）

1.小组展示：每组限时展示所选任务的解决方案。

2.质疑与答辩：其他小组和教师可以就展示内容提问，展示小组进行解释和辩护。

3.教师精讲与提升：

1.4.在任务1展示后，总结“连续分率”问题的关键——找准每个分率对应的“标准量”。

2.5.在任务2展示后，强调“分步解决复杂问题”的重要性，每一步都对应一个简单的数学模型。

3.6.在任务3展示后，抽象出“公倍数”在解决周期重叠问题中的应用，提升思维层次。

4.7.肯定任务4中的创造性思维，并引导学生关注问题的数学本质。

（四）整体总结反思，评价与延伸（约3分钟）

1.学生反思：分享在本项目学习中最深的体会、最大的挑战和收获的策略。

2.教师总结：回顾“乘与除的智慧花园”之旅，我们不仅巩固了知识，更经历了“深入算理”、“建构模型”、“综合应用”三次思维攀登。数学的学习，就是学会用数学的眼光观察世界（花园项目），用数学的思维分析世界（建立模型），用数学的语言表达世界（解决问题）。希望同学们能将这份智慧带入未来的学习与生活。

3.多维评价：过程性评价（课堂参与、合作表现）、任务单评价、小组项目报告评价相结合。

七、作业设计（分层与弹性）

基础巩固层（必做）：

1.完成练习册上关于乘除法混合运算及两步应用问题的精选习题。

2.编写一道“归一”问题和一道“归总”问题，并自己解答。

能力拓展层（选做）：

1.探究：一个数乘10，积比原数大108。这个数是多少？（用画图或方程思想尝试）

2.生活调查：记录家中一个月的水电费读数，尝试计算平均每天的用量，并预测下一月的费用（基于日均用量）。写一份简单的数据报告。

实践探究层（选做/小组合作）：

以“我们班的图书角”或“校园运动会”为背景，设计一个包含乘除法多种数量关系的小型项目方案，并制作一份简单的数学海报进行展示。

八、板书设计（动态生成纲要）

乘与除的智慧花园

核心思想：转化与建模

一、算理深处

1.多元计算：拆分法、面