2025-2026月考试卷8年级（数学）三角形重点题型复习（解析版）

合.含有这个顶点的所有三角形确定完全后，再以其他的顶点为基础，依次找到所有重复计数的三角形.有些数三角形的问题可以转化为数线段的问题.12025·陕西延安·三模）如图，在△ABC中，7ABC=90O，BDTE，则图中的直角三角形共有()【答案】C【答案】C直角三角形，再根据DE∥AB，AB丄BC得DE丄BC，即可得△BDE、△CDE是直角三角形，的是()A．LA>LC>LBB．LC>LB>LAC．LB>LA>LCD．LC>LA>LB【答案】B【分析】本题考查了三角形的边角关系，实数的大小比较，熟练掌握大边对大:AB>CA>BC，:LC>LB>LA，意说出一个与三角形有关的结论．嘉嘉：三角形的中线、高、角平分线都是线段．琪答的结论错误的人是()【答案】D【分析】本题主要考查了与三角形有关的性质与概念，熟知三角形的相关知【答案】D【分析】本题主要考查了与三角形有关的性质与概念，熟知三角形的相关知【答案】3【答案】3所以锐角三角形的个数所以锐角三角形的个数=9-4-2=3．524-25七年级上·山东青岛·阶段练习）△ABC中，LA是LB的2倍，且LC比7A+7B大12°,试【答案】【答案】△ABC为钝角三角形，理由见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．先根据题意表示出7【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．先根据题意表示出7A=27B，∠C=3∠B+12°,根据三角形内角和是180°,列出方程，求出LB的度数，即可得出LA和LC的度数，根据有一个角是钝【详解】解：∵LA是LB的2倍，LC比7A+7B大12o，故7A=27B，∠C=∠A+∠B+12o，解得：7B=28o，所以△ABC为钝角三角形．【小结】三角形的高，一定记住垂足不一定落在三角形的边上，有能落在边的延长线上.2）一个三角形有三条中线，它们都是线段，都在三角形的内部.(1)画出△ABC的边BC上的中线AE．(2)画出△ABC的边BC上的高AD．(3)若AC=10，求边AC上的高的长度．【分析】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的高，中线的定义等知识，解题的关键是学会利用面积（1）根据网络特点找到BC的中点E，连接A、E两点即可求解；【详解】（1）解：如下图，根据网络特点找到BC中点E，再连接A、E两点，线段AE即为所求．（2）解：如下图，延长CB，过点A作CB延长线的垂线，交于点D，线段AD即为所求．（3）解：设AC边上的高为h，由图题意可知：BC=6，AD=6，△ABCAD.BCAC.h，5(2)请在AC边上找一点D，使得线段BD平分△ABC的面积，在图上作出线段BD；(3)找△ABP（要求各顶点在格点上，P不与点C重合使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点P【分析】本题考查图形与平移，掌握平移的性质（2）根据三角形的中线平分三角形的面积，得到AC的中点即为点D，连接BD即可；(2)在图2中过点A画出BC的中线AN；(3)图3中，BD是△ABC的角平分线，在射线BD上找点E，使得AEBD．（3）如图，取格点Q，连接CQ交BD于N，连接AN，则7AND=45O，取格点M，H，F点，则7DHC=22.5O，连接AF交射线BD于E，交CH于G，则△ACF≌△HCF，可得7CAF=22.5O，则7NAF=45O，可得AETBE，再利用全等三角形的性质可得AG=2AE，AG=BD，可得AEBD.【详解】（1）解：如图，【详解】（1）解：如图，CM即为所求，M为格点；【点睛】本题考查的是复杂作图，作已知直线的垂线，作三角形的中线，作一条倍，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，熟本题的关键.小正方形的每一个顶点叫做格点，VABC的顶点都在格点上．(1)直接写出VABC的面积=；①请在图1中画出VABC的高BM；③在图2中画出所有满足条件VABC的面积=△ACE的面积的格点E．【分析】（1）用割补法【分析】（1）用割补法VABC将补全成四边形，再用四边形减去多余的三角形即可得到的VABC面积；（2）①如图，取格点P，Q，N，连接BP，BQ，PQ，AN，CN，且PQ，BQ与AC分别交于点G，M，利用SAS可证得△BPQ≌△ANC，进而证明ÐQ+ÐQGM=ÐC+ÐCAN=90°=ÐGMQ，即可知点M即为所②如图，取格点②如图，取格点S，T，R，连接AS，ST，TD，CT，CD，AT，并延长AT交BC于D，利用SAS可证得△AST≌△TDC，进而证得ÐCAT=ÐACT=45°,即可知点D即为所求；③利用网格，过点B作AC的平行线，则平行线所经过的格点即为满足条件的点E，如图，取格点X，Y，Z，E1，类比①②可知△XYC≌△ZE1B(SAS)，进而可证得AB∥BE1，取格点E2，E3与点E1同理（过点B且BE∥AC，平行线所经过的格点），即可知点E1，E2，E3即为所求．（2）①如图，取格点（2）①如图，取格点P，Q，N，连接BP，BQ，PQ，AN，CN，且PQ，BQ与AC分别交于点G，M，②如图，取格点S，T，R，连接AS，ST，TD，CT，CD，AT，并延长AT交BC于D，∴△AST≌△TDC(SAS)，AT=CT，③如图，取格点X，Y，Z，E1，类比①②可知△XYC≌△ZE1B(SAS)，∵XC∥ZB，则7XCB=7ZBC，∴7XCB-7XCA=7ZBC-7ZBE1，即7BCA=7CBE1，∴S△ABC=S△ACE，即点E1即取格点E2，E3与点E1同理（过点B且BE∥AC，平行线所经过的格点），综上，点E1，E2，E3即为所求．平行线的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识点三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边满足|a-b|＜x＜|a+b|，这种表述方式在解决已知两边求第三边的取值范围问题时有重要作用.分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是A．P，Q，R，SB．P，R，S，QC．Q，S，P，RD．R，P，S，Q【答案】D【分析】本题考查线段的性质，三角形的三边关系，根据两点之间线段最短，a-c=2b-4，则b的取值范围是()【答案】A【答案】A由三角形的三边关系得到a+c>b,a-c<b，继而得到b，解3OC，若△OAB，△OAC，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是()333【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系，熟练掌握角平分线的性【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系，熟练掌握角平分线的性A．4<AD<26B．4<AD<13C．2<AD<26D．2<AD<13【答案】D【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等知识点．延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB(SAS)，推出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可．【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，则AE=2AD，则连接BE，:BD=CD，::△ADC≌△EDB(SAS)，:EB=AC=11，根据三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE，:4<AE<26，:4<2AD<26，∴:2<AD<13142025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线MN的上方，AB=5，点A到直线MN的距离AC=8，点B到直线MN的距离BD=5，点P在直线MN上运动，则PA-PB的最大值等于．【答案】5【答案】5【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到P,点时，PA-PB最大，即为AB的长是解题关键．延长AB交MN于点P,，由题意可知P,A-P,B=AB≥PA-PB，即说明当点P运动到P,点时，PA-PB最大，即为AB的长．【详解】解：如图，延长AB交MN于点P,，∵P,A-P,B=AB，AB≥PA-PB，∴当点∴当点P运动到P,点时，PA-PB最大，即为AB的长．【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形任意23a34123b54654c55666(1)化简：a+b+c-a+b-c+a-b-c--a-b+c；(2)若a，b，c满足b-c+(a-c)2=0，试判断VABC的形状． ∴a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,-a-b+c<0∴a+b+c-a+b-c+a-b-c--a-b+c=a+b+c-(a+b-c)-(a-b-c)+(-a-b+c)．=a+b+c-a-b+c-a+b+c-a-b+c=-2a+4c；（2）解：∵b-c+(a-c)2=0且b-c≥0，(a-c)2≥0，∴b-c=0且a-c=0,试求a+b-c的值．【答案】3【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的应用，因式分解的应用，解方程组等知识，有一定【答案】3【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的应用，因式分解的应用，解方程组等知识，有一定(a+b-c)2-(a+b-c)-6=0，左边利用十字相乘法分解因式即可求得a+b-c的值．关键是由方程组得到(a+b-c)2-(a+b-c)-6=0．【详解】解：①-②-③得：a2+b2+2ab+c2-2bc-2ac-a-b+c=6，即(a+b)2-2c(a+b)+c2-(a+b-c)-6=0，∴(a+b-c)2-(a+b-c)-6=0，分解因式得：(a+b-c-3)(a+b-c+2)=0，∴a+b-c-3=0或a+b-c+2=0，∴a+b-c=3或a+b-c=-2；∴a+b-c>0，∴a+b-c=-2不符合题意，∴a+b-c=3． 还是底角，需要分类讨论.【易错点】边所求结果需满足三角形三边关系.5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为()4453【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长AB=AC=x，底边长BC=y，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出x、y的值，再根据三角形的三边关系检验即可．【详解】解：设腰长AB=AC=x，底边长BC=y，当等腰三角形ABC腰长为2，底边长为4时，2+2=4，不可以组成三角形；4\该等腰三角形的底边长为，32＋b2则这个等腰三角形的周长为()【答案】C2+(b_【答案】15【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三故答案为：15．形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的腰长．【答案】这个等腰三角形的腰长为10【答案】这个等腰三角形的腰长为10cm【分析】设AB=AC=2xcm，BC=ycm，根据题意可的AD=CD=xcm，然后分当AB+AD=15cm、BC+CD=6cm和AB+AD=6cm、BC+CD=15cm两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边【详解】解：设AB=AC=2xcm，BC=ycm，∴AD=CD=xcm，∵中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，①当AB+AD=15cm，BC+CD=6cm时，则有,解得，②当AB+AD=6cm，BC+CD=15cm时，则有,解得综上所述，这个等腰三角形的腰长为10cm．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线、二元一次方程组的应用、三角形三边关系等知的夹角为40°,则该等腰三角形顶角的度数为．【答案】【答案】40o或140o【分析】作出图形，分等腰三角形是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三种【分析】作出图形，分等腰三角形是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三种【详解】解：①如图，【详解】解：①如图，△ABC是锐角三角形时，DG是AB的中垂线，BF是AC边上的高，LDGB=40o，LLDBG=180o-LBDG-LDGB=50o，在在△ABF中，LALA=180o-LABF-LAFB=40o；②如图，△ABC是钝角三角形时，DG是AB的中垂线，BF是AC边上的高，LDGB=40o，LDBG=180o-LBDG-LDGB=50o，在△ABF中，LFAB=180o-LABF-LAFB=40o，③如图，△ABC是直角三角形时，DE是AC的中垂线，则AC是BC边上的高，这时LEDC=90o， 【分析】分高BD和腰AC的交点D在AC上和高BD和腰AC的交点D在CA延长线上两种情况；根据直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，可推导得等腰三角形顶角度数，再根据三根据题意，得7ABD=20o，BDTAC∴7A=90o-7ABD=70o根据题意，得7ABD=20o，BDTAC∴7BAC=90o+7ABD=110o【点睛】本题考查了三角形的高、等腰三角形、直角三角形、三角形内角和的握等腰三角形、直角三角形两锐角互余、三角形内角和的1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与③三边中线交点为重心，切记重心的性质.2424-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，CD是△ABC的中线，）．【答案】【答案】a-b【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周形周长定义，表示出△BCD的周长比△ACD的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．:DA=DB，:C△BCD-C△ACD=(BC+CD+DB)-(AC+CD+DA)=BC-AC=a-b，故答案为：a-b．21且AD=BD，CE=2BE，连接AE，CD交于点F，当四边形BEFD的面积为时，边AC长度的最小值5【答案】6【分析】连接BF，设S△BEF=S，则S△BDFS，根据“AD=BD，CE=2BE”分别将△C【详解】解：连接【详解】解：连接BF．设S设S△BEF=S，则S△BDFS，∴∴AC丄BC时，AC最小，即当AC是△ABC的高时，AC故答案为：6故答案为：6．F分别是线段AF,BD,EC的中点，则阴影部分的面积是cm2．【答案】4∵点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点∴AD=DF，BE=ED，EF=FC，△ADC=S△CDF，S△AED=S△ABE，S△BEF=S△EFD，S△EBF=S△BFC，S△ABD=S△BDF，S△AEF=S△AFC，1∴△ABC被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角7积是4cm2．故答案为：4．2724-25七年级下·山西运城·期末）若四CD，DA的中点，MP与NQ相交于点O，则图中阴影部分的面积为．【答案】6【答案】6【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接OA,OB,OC,OD∴S△AOM=S△BOM①,S△CON=S△BON②,S△COP=S△DOP③,S△AOQ=S△DOQ④,①+②+③+④,得S+S+S+S=S+S+S△AOM△CON△COP△AOQ△BOM△BON△DOP△DOQ，∴S四边形AMOQ+S四边形CPON=S四边形BMON+S四边形DPOQ2824-25七年级下·北京·开学考试）如图，在三角形ABC中，BD:DC=1:2，E为AD的中点和△DEC的面积都等于△AEF和△DEF的面积相等，设△AEF和△DEF的面积都等于x，利用△ABD的面积为40，列式计算即可求解．【详解】解：连接DF，设△AEF和△DEF的面积都等于x，解得x=8，∴阴影部分的面积是40-x=32（平方厘米）．重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探S△GCDDGAG(4)如图4，点D、E在△ABC的边AC、AB上，BD、CE交于G，G是△ABC的重心，BD〓6，CE〓3，【分析】本题考查三角形中线的性质、重心12:S△ABD=S△ACD，△ABD△ACD，\y=z，△ABE\x=y，1设S△ABC=m，则S△BGDm，S△BGAm．（4）解：∵G是VABC的重心，等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况下:一种是利用面积公式表示三割补法表示三角形的面积.为AB边上一动点，连接CP，则CP的最小值为．【答案】9长．根据垂线段最短，得出当CP丄AB时，即点P与点D重合时，PC最小．解得：CD∴当点P与点D重合时，PC最小，即PC最小值为，99边BC上的任意一点，M到腰AB，AC的距离分别为h1，h2，则BD= 又∵又∵S△ABCAC´BDAC´h，（2）如图2，在△ABC中，AB=4，BC=2，求△ABC的高CD与AE的比；（3）如图3，在△ABC中，LC=90o，点D，P分别在边AB，AC上，且BP=AP，DE丄BP，【答案】（1）CD=2）CD:AE=1:23）10．5【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会（1）利用面积法求出CD即可．（2）利用面积法求出高CD与AE的比即可．:2CD=AE，:CD:AE=1:2；（3）解：丫S△ABPAP.BC，S△ADPAP.DF，S△BDP=BP.DE，△ABP△ADP△BDP，如图1，在△ABC中，AB=AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD丄AB，PE丄AC，垂足分别为D、（1）小毅的证明思路是：如图②,连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：（2）【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PF-PE=CD；【结论运用】（3）如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C9处，点P为折痕EF上的任一【答案】（1）证明见解析2）证明见解析3）4（1）利用面积转换：S△ABC=S△ABP+（2）连接AP，利用面积转换S△ABC=S△ABP-S△ACP即可得证．:PD+PE=CF；\AB.CD=AB.PF-AC.PE\PF-PE=CD；（3）如图④,过点E作EQ丄BC于Q，丫AD∥BC，\ÐDEF=ÐEFB，由折叠的性质得ÐBEF=ÐDEF，\ÐBEF=ÐEFB，\BE=BF，\PG+PH=4．\PG+PH的值为4．3424-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在VABC中，AD，AF分别是VABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．(1)若LBED=60°,LBAD=40°,求LBAF的度数．(2)若△ABC面积为40，AD=5，求AF的长．(2)AF=8【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关（1）先利用三角形的外角性质计算出LABE=20°,再利用角平分线定义得到LABC=2LABE=40°,然后根据高的定义和互余两角的性质求出LBAF的度数；（2）先根据题意得到BD=DC=AD=5，然后利【详解】（1）解：∵LBED=LABE+LBAE，:LABE=60°-40°=20°,∵BE平分7ABC，∴LABC=2LABE=40°,:LAFB=90°,:LBAF=90°-LABF=90°-40°=50°.（2）解：由（1）得LBAD=LABD=40°,∴BD=DC=AD=5，3521-22八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DETAC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5．求△ADF的面积．【答案】12.5【分析】过D点作DM丄AB，垂足为M，则由角平分线的性质定理可得DM=DE，从而可分别求得△ABD与△ACD的面积，进而可得△ABC的面积；由AF是中线，即可得△ACF的面积是△ABC面积的一半S△ADF=S△ACF-S△ACD即可求得结果．【详解】过D点作DM丄AB，垂足为M，如图∵AD是△ABC的角平分线，DE丄AC△ABC=S△ABD+S△ACD=40+15=55△ADF=S△ACF-S△ACD=27.5-15=12.53624-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，AD为△ABC的中(1)已知AB-AC=5cm，△ABD的周长为25cm，求△ADC的周长；【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类（1）根据中线的定义可得BD=CD，然后表示出△ABD的周长，再把AB用AC表示，BD用CD表示，整（3）根据等底等高的三角形的面积相等用△ABC的面积表示:BD=CD，丫AB-AC=5cm，:AB=AC+5，:△ABD的周长=BD+AD+AB=BD+AD+AC+5=25cm，:BD+AD+AC=20cm，:△ADC的周长=CD+AD+AC=BD+AD+AC=20cm；（2）解：如图，BF即为△ABE中AE边上的高，（3）解：设点B到AE边的距离为h:S△ABDS△ABC，S△ABE=S△ABD \h=4，\点B到AE边的距离为4．(2)若AB=9，BC>AB，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．【答案】(1)LAEC=50o（1）根据三角形的高的概念得到LADB=90o，根据直角三角形的性质求出LABD，根据角平分线求出LECBLACB=25o，根据三角形的外角性质计算即可；【详解】（1）解：丫AD是△ABC的高，LBAD=65o\LABD=90o-65o=25o，\LAEC=LABD+LECB=25o+25o=50o；\AF=FC，丫△BCF与△BAF的周长差为3，BC>AB；\(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3\BC-AB=3，\BC=12．3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.【问题解决】【猜想证明】（3）当LABC和LACB在变化，而LA始终保持不变，则LD是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有LA的式子表示LD）【拓展提高】（4）若把LA截去，得到四边形MNCB，如图②,猜想LD、LM、LN的数量关系，并说明理由．【答案】（1）30【答案】（1）30o（2）30o（3）不变化，理由见解析，结论LDLALD，理由见解析【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质（3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到LDLA；【详解】解1）∵LABC=75o，BD∵CD平分LACE，∴LD=LDCE-LDBC=67.5o-37.5o=30o，（2）∵BD平分LABC，∵CD平分LACE，∴LD=LDCE-LDBC∵BD平分LABC，∵CD平分LACE，∴LD=LDCE-LDBC=LACE-LABC(LA+LABC-LABC)即LDLA则LA=180O-(LAMN+LANM)=LBMN+LCNM-180O∴LA=LBMN+LCNM-180O，由（3）可得LDLA，(1)若LA:LABC:LACB=3:4:5，求△ABC的最大内角的度数；(2)若BD丄AC于点D，CE是ÐACB的平分线，LA=69o，LCBD=40o，求ÐBEC的度数．【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、（1）由题意可设LA=3a，LABC=4a，LACB=5a，根据三角形内角和定理列出方程，解出a的值，即分线的定义得到LACELBCD=25o，再利用三角形外角的性质即可求出ÐBEC的度数．【详解】（1）解：丫LA:LABC:LACB=3:4:5，:设LA=3a，LABC=4a，LACB=5a，:LACB=5a=75o，:△ABC的最大内角的度数75o；:LBCD=90o-LCBD=50o，（1）已知：如图1，在△ABC中，LA=60O，BP，CP分别平分LABC和LACB，LBPC的度数是.______（2）已知：如图2，LDBC与LECB分别是△ABC的两个外角，且LDBC+LECB=210O，则LA=.______【拓展与应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，LF为四边形ABCD的LABC的平分线及外角LDCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设LA=a，LD=β,求LF的度数用含a，β的式子表示）（4）如图4．BI平分LABC，CI平分LACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若L1+L2=130O，则LBIC=【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的（3）延长BA，CD交于点O，同（2）可得LQ=a+β-180O，证明LFBELQBC，LFCELDCE，结合外角的性质可得LQ=LDCE-LQBC，2LF=2LFCE-2LFBC=LDCE-LQBC，可得LQ=2LF，进一步求解即可；：（∵BP，CP分别平分LABC和LACB，（2）∵LDBC与LECB分别是△ABC的两个外角，且LDBC+LECB=210o，（3）延长BA，CD交于点Q，∵LBAD=a，LADC=β,同（2）可得LQ=a+β-180o，∵LF为四边形ABCD的LABC的平分线及外角LDCE的平分线所在的直线构成的锐角，∵LDCE=LQBC+LQ，LFCE=LFBC+LF，∴LQ=LDCE-LQBC，2LF=2LFCE-2LFBC=LDCE-LQBC，∴LQ=2LF，∴LADI+AEI=180o+180o-(L1+L2)=230o，LA=LDIE，∵BI平分LABC，CI平分LACB，①如图1，请直接写出LBDC与LA、LB、LC之间的关系：②如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若LA=50o，直接写出LABX+LACX的结果；③如图3，DC平分LADB，EC平分LAEB，若LDAE=50o，LDBE=130o，求LDCE的度数；【答案】①【答案】①LBDC=LBAC+LB+LC；②LABX+LACX=40o；③LDCE=90o．①作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：LBDC=LBAC+LB+LC；②先根据三角尺可知：LX=90o，根据(1)的结论可得：LA+LABX+LACX=LBXC=90o，从而得结论；③先根据第①题的结论可得：LADE+LAEB的度数，由角平分线可得：LADC+LAEC=(LADE+LAEB)=40o，从而得结论．【详解】解：①LBDC=LBAC+LB+LC，理由如下：过点A、D作射线AF， \LFDC+LBDF=LDAC+LBAD+LC+LB，即LBDC=LBAC+LB+LC，故答案为：LBDC=LBAC+LB+LC；由①知：LA+LABX+LACX=LBXC=90o， \LABX+LACX=40o； 丫DC平分LADB，EC平分LAEB，L1+L2=146O，则L3+L4=o．【答案】68【答案】68【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得LA,DE=LADE，LA,ED=LAED，LA,=LA，根据三角形内角和LA,+L1+L2=180O，【详解】解：由折叠的性质得LA,DE=LADE，LA,ED=LAED，LA,=LA，::LADE+LAED=180o-34o=146o，丫LA,DE=LADE，LA,ED=LAED，:L3+L4=180o-2LADE+180o-2LAED=360o-2(LADE+LAED)=360o-2´146o（D与A，B不重合设LACD=a，将△ACD沿CD翻折至△A,CD处，CA,与AB边相交于点E.若△A,DE是等腰三角形，则a的值为．【答案】18【答案】18o或36o【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三论思想解决问题是解题的关键．由折叠的性质可求LA=LA,=36o，LACD=LA,CD=a，LADC=LA,DC=144o-a，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解．【详解】解：丫将△ACD沿CD翻折至△A,CD处，:LA=LA,=36o，LACD=LA,CD=a，LADC=LA,DC=180o-36o-a=144o-a，:LAEA,=∠A+∠ACA,=2a+36o，LA,DE=∠ADC+∠A,DC-180o=108o-2a，当A,E=A,D，则LA,DE=LAEA,，:2a+36o=108o-2a，:a=18o；当A,E=DE，则LA,DE=LA,，:108o-2a=36o，:a=36o，(1)把△ABC纸片按图1所示折叠，使点A落在AC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF；(2)把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时（如图2探索LC与71+72之间的数量(3)当点A落在四边形BCED外部时（如图3直接写出LC与71，72之间的数量关系．(2)71+72=27C，理由见解析(3)72-71=27C【分析】本题考查了翻折的性质，三角形外角的性质，平行线的判定知识（1）由折叠的性质得7A=7DFA，由已知得出7A=7C，推出7DFE=7C，即可得到结论；∴7A=7C．由折叠，可知7A=7DFA，∴7C=7DFA．∴BC∥DF（同位角相等，两直线平行）．（2）71+72=27C．∴L1+L2=LDAA,+LDA,A+LEAA,+LEA,A．∴L1+L2=LA+LA,．∵LA=LA,，LA=LC，∴L1+L2=2LC．（3）L2-L1=2LC．如图，设AB与A,E相交于点O，∴LAOE=L1+LA,，L2=LA+LAOE，∴L2=LA+L1+LA,．∵LA=LA,，LA=LC，∴L2-L1=2LC．上一点，连接AD，将△ABD沿直线AD折叠，得到△ADE，作AF平分LEAC交BC于F．【尝试发现】（1）①若LDEF=80o，则LDAF=；②若LDEF=LDAF，则LDAF=；③若LDEF=a，则LDAF=（用含a的式子表示【简单应用】（2）如图1，若LDEF=90o，LEAF=2LDAE，求证：DF=2BD；【拓展延伸】LBHF+LDAE=90o，BD=2FC，试探究GD，GH，GF三条线段之间的数量关系并证明．【答案】（1）①50【答案】（1）①50O；②60O；③90O-2）证明过程见详解3）GH=GF-GD，理由见解析2（3）证明△ABC是等边三角形，证明△ADT与△FHB全等，进而利用全等三角形的性质和含30O角的直角【详解】解：①丫将△ABD沿直线AD折叠，得到△ADE，:△BAD≌△ADE，:7BAD=7EAD，LB=LAED，AB=AE，BD=DE，丫AF平分LEAC，:LCAF=LEAF，:AE=AC，:△CAF≌△EAF(SAS)，:LC=LAEF，EF=CF，:LDEF=LB+LC=2LB，②丫LDEF=LDAF，③丫LDEF=a，aaa2∴LDEF=LB+LC=90o，则LDAF=45o，∵LEAF=2LDAE，∴LEAF=30o=LCAF∴LAFD=LC+LCAF=75o，∴LDFE=180o-LEAF-LAEF-LAFD=30o在Rt△DEF中，DF=2DE，∴DF=2BD；（3）GH=GF-GD．∵LADB=LGDF，∴LBFH=LBAD=LDAE，∴LBHF+LBFH=90o，作DT丄AB于点T，∴LBDT=30o，设FC=x，DF=y，则BD=2FC=2x，AB=BC=3x+y，BTBD=x，∴AT=2x+y=BF，设GD=n，GF=m，则BD=2FC=2x，AB=BC=3x+y，BTBD=x，在Rt△AGF中，LGAF=30o，∴FH=AD=AG-DG=2m-n，∴GH=FH-GF=2m-n-m=m-n，即GH=GF-GD．线上（LE=LBAC=90o，LD=LDAE=45o，LC=30o，LABC=60o若将含30o的三角尺ABC绕顶【答案】15°或45°或60°或105°或135°或120°.∴7BFA=7E=90°∴7BAF=90°-7B=30°∴7BAD=7EAD-7BAF=15°;如图所示，当AC∥DE时，∴7BAD=45°;∴7BAD=7B=60°;如图所示，当AE∥BC时，∴7BAE=7B=60°如图所示，当AB∥DE时，如图所示，当AD∥BC时，∴LBAD=LBAC+LCAD=1学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，小明和小颖将一尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．当LBCE<180o且点B在直线CE的上方时，如果这两个三角尺存在一组边互相平行，则LBCE的度数为： 【分析】（1）根据LDCB和LACD的度数，求得LACE的度数，再根据LACE和LACD求得LDCB的度（2）根据∠ACD=90o-LDCB，以及LBCE=90o-LDCB，进行计算即可得出结论；（3）分五种情况进行讨论：当CB∥DE时，当AC∥DE时，当AB∥DE时，当AB∥CD时，当AB∥CE时，分别求得LBCE的度数．:LACD=40o，:LACE=90o+40o=130o；:LDCB=90o-60o=30o．证明：丫LACD=90o-LDCB，又丫LBCE=90o-LDCB，:LACE=LACD+LBCE+LDCB=90o-LDCB+90o-LDCB+LDCB=180o-LDCB，即LACE+LDCB=180o当AC∥DE时，∴7ACD=7D=90o∴7BCD=90o-ACD=60o当AB∥DE时，∴7BFC=180o-7CED=120o∴7BCD=7BFC-7B=75o当AB∥CD时，∴7BCD=7B=45o，当AB∥CE时，∴7BCE=7B=45O(1)如图2，直角顶点C与E重合，当FD∥AB时，求7FCB的度数．(2)如图3，直角顶点C与E重合，当点F恰好落在AB上时，在CD上截取CF,=CF，连接BF,，判断AF和BF,的数量关系并说明理由．当AC旋转到FC延长线上时，停止旋转．①如图5．当FD∥AC时，t的值是秒；②当三角板ABC中的边AB与三角板DEF中的某条边平行时，t的值是秒．(2)AF=BF,，理由见解析；（1）过C作CM∥DF，根据平行线的判定与性质求解即可；②分当AB∥EF时，当AB∥DE时，当AB∥DF时，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：过C作CM∥DF，则LFCM=LF=60O∴LFCB=LFCM+LBCM=105O；（2）解：AF=BF,，∴LACF=LBCD，又CF,=CF，∴AF=BF,；∴LF+LACF=180O，②当AB∥EF时，则LAEF=LA=45O，当AB∥DE时，则LDEA=LA=45O，在直线AC上，且ED∥AC，DF与AB相交于点G，其中LACB=90o，LABC=60o，LBAC=30o，(1)求此时LDGA的度数；(2)如图2，若三角板DEF绕点F按顺时针方向旋转，当ED聂AB时，求此时LDFA的度数；秒，当三角板DEF第一次回到图2的位置时，在这个旋转平行的情况?若存在，请求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． (3)9秒或27秒或36秒或45秒或63 LDGA=LDGH+LAGH计算即可得出答案； （2）过F作FH∥AB．由平行线的性质得出LDFH=LEDF=45o，LAFH=LBAC=30o，再由LDFA=LDFH-LAFH计算即可得出答案； ∵ED∥AB，FH∥AB，∴ED∥AB∥FH．∴7DFA=7DFH-7AFH=15O．∴7DFA=7EFA-7EFD=60O．解得：t=9．解得：t=27．如图5，当DE∥AB时，过F作FG∥AB．∵DE∥AB，FG∥AB，∴5t=150+45-15，解得：t=36．∴7AFD=30°+90°=120°∴5t+15=360-120，解得：t=45．解得：t=63．综上，t值为9秒或27秒或36秒或45秒或63秒时，存在三角板的某一条边与AB平行的情况．【答案】7【答案】7A=7CBD=35o7C=7ABD=55o；相等的锐角有：7A=7CBD,7C=7ABD【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角∴相等的锐角有：LA=LCBD,LC=LABD．为D，LACDÐB填“>（2）如图②,在Rt△ABC中，LC=90o，点D、E分别在AC、AB上，且LADE=LB，△ADE的形状是 与ÐD的关系是（3）利用余角性质可得LA=LDBE，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以∴7ABD=90o，∴LA=LDBE，故答案为：LA+LD=90o．分线，AD与CE相交于点P．(3)直接写出ÐAPC与ÐB，ÐBAD，LBCE的数量关系．(3)LAPC=LB+LBAD+LBCELAPC=LADC+LBCE,LADC=LBAD+LB解答即可；本题考查了三角形内角和定理应用，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性【详解】（1）证明：∵AD，CE分别为ÐBAC，ÐAC∵LAPC=LADC+LBCE,LADC=LBAD+LB，∴LAPC=LBCE+LBAD+LB，∵LBAC+LBCA+LB=180o，LBAC=70o，LACB=60o，故答案为：115． ∵LAPC=LADC+LBCE,LADC=LBAD+LB，∴LAPC=LBCE+LBAD+LB，∵LBAC+LBCA+LB=180o，∴LB=180o-(LBAC+LBCA)，∵LAPC=LADC+LBCE,LADC=LBAD+LB，∴LAPC=LBCE+LBAD+LB．5324-25八年级上·四川成都·期末）如图1，在△(1)若P为线段AD上的一个点，过点P作PETAD交线段BC的延长线于点E．①若LB=30o，LACB=80o，则LE=；②猜想7E与7B、7ACB之间的数量关系，并给出证明．(2)如图2，若P在线段AD的延长线上，过点P作PETAD交直线BC于点E，请直接写出LPED与7B、7C的数量关系．【答案】(1)①【答案】(1)①25o②LELACBLB，证明见解析（1）①三角形的内角和求出7BAC的度数，平分线求出7BAD的度数，外角求出LEDP的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出7E的度数即可；②仿照①法，进行求解即可；∴LBAC=180o-LB-LACB=70o，∵AD平分7BAC，∵PETAD，②LELACBLB，证明如下：∵AD平分7BAC，LBAC=180o-LB-LACB，∵∵PETAD，（2）∵AD平分7BAC，LBAC=180O-LB-LACB，∵PETAD，(2)如图2，7ABC与7ACB的平分线相交于点P，若LA=60O，则7BPC的度数是；(3)如图3，作△ABC外角LMBC，LNCB的角平分线交于点Q，试探索LQ，7A之间的数量关系．（2）先求出LABC+LACB=120O，进而求出LPBC+LPCB=60O，即可求出LBPC=120O（3）先求出LMBC+LNCB=180O+LA，进而求出LQBC+LQCB=90OLA，即可求出【详解】（1）丫LABC与LACB的平分线相交于点P，\LPBCLABC，LPCB=LACB，丫LMBC=LACB+LA，LNCB=LABC+LA，\LMBC+LNCB=LACB+LA+LABC+LA=180O+LA，丫LMBC，LNCB的角平分线交于点Q\LQBC=LMBC，LQCBLNCB，5524-25七年级下·吉林·期中）如图1，△ABC中，LABC的角平分线和LACB的角平分线交于点D(2)从上述计算中，我们能发现：LBDC=（用含LA的代数式表示）；(3)如图2，△ABC中，LABC的角平分线和LACD的角平分线交于点A1，请用含LA的代数式表示LA1，写出LAn与LA的数量关系为（直接写出结果即可）． （1）利用LA求出LABC+LACB，再利用角平分线的性质求出LCBD+LBCD，即可求解； LA=LACF-LABC，LA1=LA1CD-LCBA1，再利用角平分线的性质，即可证明； 【详解】（1）解：∵LABC的角平分线和LACB的角平分线交 2（3）解：依题意，LA+LABC=LACD，LA1+LCBA1=LA1CD，:LA=LACD-LABC，LA1=LA1CD-LCBA1，∵LABC的角平分线和LACD的角平分线交于点A1，:LA1CDLACD，LCBA1=LABC，（4）解：依题意，LA1+LCBA1=LA1CD，LA2+LA2BC=LA2CD=LA1CD-LCBA1，LA2=LA2CD-LA2BC，∵∵LA1BC的角平分线和LA1CD的角平分线交于点A2，:LA2CDLA1CD，LCBA2=LA1BC，同理得LALALA…,以此类推，得LAnLA，故答案为：故答案为：7AnA．5623-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）△ABC中(2)如图2（7B>7C），试说明LDAE、LB、LC的数量关系；理求出7ADC=79o，根据直角三角形两锐角互余即可求出7DAE=11o；（2）根据三角形内角和定理求出（2）根据三角形内角和定理求出7BAC=180o-7B-7C，根据角平分线的定义得到互余即可求出7DAEB7G=7GCF-7CAG进行等量代换即可求解．∴∴∠BAC=180o-∠B-∠C=∵∵AD是LBAC的角平分线，∵∵LADC是△ABC的外角，∴∴7ADC=7B+7BAD=79o，∴∴LAEB=90o，∴∴LDAE=90o-LADE=11o；（2）解：（2）解：LDAELCLB．证明：如图证明：如图2，在△ABC中，LBAC=180o-LB-LC，∵∵AD是LBAC的角平分线，∵LADC是△ABC的外角，∴∴LAEB=90o，（3）解：∵（3）解：∵AG、CG分别是LCAE和LBCF的角平分线，∴∴LG=LGCF-LCAG以抽象成图①,我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，探究LA、LB、LC、LD之间的数量关系，并证明：【类比探究】①如图2，已知LA+LC+LE=90o,LB+LD=150o，求LAFE的度数；【拓展延伸】【答案】（1）LABC=7A+7ADC+7C，证明见解析2）①60O；②100O．【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平（2）连接CF，利用（1）中结论可得7B=7A+7AFC+7BCF，7D=7E+7EFC+7DCF，结合已知可（3）在直线EN上取一点P，连接AP，利用（2）中结论可得71+73=L2=L3，进而得到71+72=100。即可求解．【详解】解：（1）LABC=7A+7ADC+7C．证明：如图，连接DB，并延长至点E，∵7A+7ADB=7ABE，7C+7CDB=7CBE，∵7ABC=7ABE+7CBE∴LABC=7A+7ADB+7CDB+7C∴LABC=7A+7ADC+7C；由（1）可知7B=7A+7AFC+7BCF，7D=7E+7EFC+7DCF，∴150O=7A+7AFC+7BCF+7E+7EFC+7DCF，②如图，在直线EN上取一点P，连接AP，由①可知7B+7D=150O=71+73+7C＋7E，∴L2=L3证：7P=71+7A+72；【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，7A+7B+7C+7D+7E=度；【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求7A+7B+7C+7D+7E+7G的度数．7A+7B+7C+7D+7E+7F+7G+7H+7I+7J的度数是度．【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：360【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：360°；提升思维：1080【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确建立模型：延长BP交AC于点M，由三角形外角性质得7BPC=71+7PMC,7PMC=7A+72，由此即可尝试应用：设BD与CE相交于点N，由“建立模型”得7CND=7A+7C+7D，则7BNE=7CND=7A+7C+7D，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案；拓展创新：延长CA与DG的延长线相交于点K，则7CAG=180°-7KAG,7DGA=180°-7KGA，进而得7CAG+7DGA=360°-(7KAG+7KGA)=180°+7K，由“尝试应用”得7K+7B+7C+7D+7E=180°,则7CAG+7B+7C+7D+7E+77DGA=180°+7K+7B+7C+7D+7E=360°;内角和多出180°,据此规律即可得出答案．【详解】建立模型：证明：延长BP交AC于点M，如图1所示：由三角形外角性质得：7BPC=71+7PMC,7PMC=7A+72，:7BPC=71+7A+72；尝试应用：解：设BD与CE相交于点N，如图2所示：由“建立模型”得：7CND=7A+7C+7D，丫7BNE=7CND，:7BNE=7A+7C+7D，在△BEN中，7BNE+7B+7E=180°,:7A+7C+7D+7B+7E=180°,拓展创新：解：延长CA与DG的延长线相交于点K，如图3所示：:LCAG+LDGA=360O-(LKAG+LKGA)，在△KAG中，LKAG+LKGA=180O-LK，由“尝试应用”得：LK+LB+LC+LD+LE=180O，:LCAG+LB+LC+LD+LE+LDGA=LCAG+LDGA+LB+LC+LD+LE=180O+LK+LB+LC+LD+LE(1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是LA+LB=LD+LE，请你给予证明．(2)模型求解：如图2，线段EF在四边形ABCD内部，连接BE、CF，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：LA+LABE+LDCF+LD+LE+LF的度数．LA+LB+LC+LD+LE的度数．(4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星ABCDEFG”的七个内角和：L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7= (2)360o“,进行等量代换即可求解；【分析】（1）根据“三角形内角和是180o“,进行等量代换即可求解；律即可求出n角星内角和．【详解】（1）解：丫7A+7ACB+7B=180o，7D+7E+7DCE=180o，7DCE=7ACB，∴7A+7B=7D+7E；（2）解：由（1）可知，7E+7F=7EBC+7FCB，∴7A+7ABE+7DCF+7D+7E+7F=7A+7ABE+7DCF+7D+7EBC+7FCB=7A+7ABC+7ADC+7D（3）解：连接CD，由（1）得：7B+7E=71+72，在△ACD中，丫7A+7ACD+7ADC=180o，即7A+73+71+72+74=180o，:7A+7ACE+7B+7E+ADB=180o由（1）可得，LFCE+LCFD=LFDE+LCED，∴L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7=L1+LACF+LAFC+(L2+L7+L4+L5+LFDE+LCED)如图①,在△ABC中，BP平分LABC，CP平分LACB，请你判断LA和LP间的数量关系并说明理由．刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补解：结论：LP=理由：∵BP平分LABC，CP平分LACB，∴LP=180o-LPBC-LPCB【模型发展】如图②,点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请你判断LA和LP间的数量关系并【解决问题】如图③,在△ABC中，BP平分LABC，CP平分LACB，点Q是△PBC的外角平分线BQ与CQ的交点．若LA=68O，则LQ=度．【答案】探索发现【答案】探索发现90O+LA，90O+LA；模型发展：LP=90OLA，理由见解析；解决问题：28探索发现：根据角平分线的定义得到∠PB,再由三角形内角和定理得到LABC+LACB=180O-LA，则21LPBC=LCBD，LPCB=2理由：∵理由：∵BP平分LABC，CP平分LACB，∴∴LP=180O-LPBC-LPCB模型发展：模型发展：LP=90OLA，理由如下：∵点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，∴LPBC=LABC，LPCB=LBCA，∵LABC+LACB=180O-LA，∴LBCQ=LBCE,LCBQ=LCBD，∵LBCE=LP+LPBC,LCBD=LP+LPCB，∴LBCE+LCBD=LP+LPBC+LP+LPCB=LP+180O，∴LBCQ+LCBQ=(LP+180O)=LP+90O,故答案为：28．(1)如图1，连接BC，LABC=a，LACB=β,LMBC的平分线与LBCN的平分线交于点O，则a+β= (2)如图2，点E是线段BC延长线上一点，过点E作EF丄AN，垂足为点F，LMAN与LCEF的平分线交于点D，求LACE与LADE的数量关系；(3)如图3，若点G在LMAN内部（点G不在线段BC上LCGB=108o，连接BG与CG，LGBM与LGCN的平分线交于点H，求LBHC的度数． (2)2LADE-LACE=38o