2025-2026月考试卷8年级（数学）期中压轴题专训（解析版）

（1）当LDAB与LECB互余（如图）时，AB与BC的位置关系是AB丄BC．（2）在（1）的条件下，作△BPQ，使BP＝QP，LP＝90°,BM平分LABP，交直线a于点M，BN平分LQBC，交直线b于点N，将△BPQ绕点B转动，且BC始终在LPBQ的内部时，LDMB+LENB的（3）点F为直线a上一点，使得LAFB＝LABF，LABC的平分线交直线a于点G，当点A移动时，写LFBG出LECB的值【答案】（1）AB丄BC；（2）不变，LDMB+LENB＝67.5°;：（由条件可知LDAB＝LAGC，丫LDAB+LECB＝90°,：LAGC+LECB＝90°,：LCBG＝180°_LAGC_LECB＝90°,如图，过点B作BH聂a，：LDMB＝LMBH，LENC＝LHBN，：LDMB+LENB＝LMBH+LNBH＝LMBN，：LQBP＝45°,丫LABC＝90°,：LABC+LQBP＝LABP+LCBP+LCBP+LQBC＝LABP+LQBC+2LCBP＝135°,1由条件可知LNBC=LQBC，：2LMBP+2LNBC+2LCBP＝135°,：LMBP+LNBC+LCBP＝67.5°,：LMBN＝67.5°,：LDMB+LEBN＝67.5°;由条件可知LFGB＝LBHC，∴∠ABG=∠FGB+∠ECB=∠ABF+∠FBG，22025春•成都期中）已知△ABC中，BE平分∠ABC．（2）如图2，在△ABC中，∠C<∠BAC，BE平分∠CBA，P为线段BE上一点，PF⊥BE于P交CA延（3）如图3，已知三角形三条角平分线交于一点O（点O在射线BE上AP平分∠CAF交BE于点（0°<α<200°)后得△AO,D,，旋转后的三角形一边所在直线与PB平行，请直接写出所有符合条件的旋又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACD_∠ABC＝84°_42°=42°;（2）丫LABC+LBAC+LACB＝180°且LBAC＝m°,LABC＝n°,：LABC＝180°_LBAC_LACB＝180°_m°_n°,又丫BE平分LABC，丫FP丄BE即LFPE＝90°,：LF+LPEF＝90°,2222（3）丫LBAC＝50°,：LCAF＝180°_50°=130°,丫AP是LCAF的平分线，：LCAP＝65°,：LBAP＝LBAC+LCAP＝50°+65°=115°,丫LAPB＝50°,：LABP＝180°_LBAP_LAPB＝180°__115°_50°=15°,丫BE是LABC的平分线，：LACB＝180°_50°_30°=100°,又丫CO是LACB的平分线，：LBCO＝50°,：LBDO＝LBOC＝180°__15°_50°=115°,：LADO＝180°_LBDO＝180°__115°=65°,丫AO是LBAC的平分线，：LDAO＝LCAO＝25°,：LDAO+LADO＝25°+65°=90°,：LAOD＝90°;①如图，当AD'聂PB时，则LAPB+LPAD'＝180°,∴旋转角度α=130°_65°_50°=15°;②如图，当AO'∥PB，∴旋转角∠OAO'的度数α=130°_65°_25°=40°;∴∠CAQ＝65°_40°=25°,∴旋转角∠OAO'的度数α=360°_25°_65°_50°_25°=195°;∴旋转角∠OAO'的度数α=360°_25°_65°_50°=220°（舍去）；改变，于是猜想三角形的两个内角的平分线的夹角和第三个内角的度数之间存在着某种数量关系，所以【项目模型】如图2，直线MN与直线PQ相交于点O，点A在射）．【答案】特例发现：140；125；【解答】解：特例发现：当LAOB＝100°时，由条件可知LABO+LBAO＝80°,丫LBAO和LABO的平分线交于点E，：LEAB=LBAO，LEBA=：LAEB＝180°_LEAB_LEBA＝140°;当LAOB＝70°时，LABO+LBAO＝110°,丫LBAO和LABO的平分线交于点E，：LEABLBAO，LEBA=LABO，：LAEB＝180°_LEAB_LEBA＝125°;丫LAOB=α,：LABO+LBAO＝180°_α,丫LBAO和LABO的平分线交于点E，：LEAB+LEBA=2LBAO+2LABO=2(LBAO+LABO)=90°__2α,拓展应用：丫LAOB+LABO+LBAO＝180°,LAOB＝90°,：LABO+LBAO＝90°,由条件可知LPAB+LMBA＝180°_LBAO+180°_LABO＝270°,丫LPAB和LMBA的平分线交于点F，2：LFAB=LPAB，LFBA=LMBA2：LFAB+LFBA=2LPAB+2LMBA=2(LPAB+LMBA)=135°,：LF＝180°_LFAB_LFBA＝45°,丫LFAB和LFBA的角平分线交于点E，当LE＝3LEAB时，则LEAB＝37.5°,：LFAB＝2LEAB＝75°,：LPAB＝2LFAB＝150°,：LBAO＝180°_LPAB＝30°;当LE＝3LEBA时，则LEBA＝37.5°,：LEAB＝180°_LE_LEBA＝30°,：LFAB＝2LEAB＝60°,：LPAB＝2LFAB＝120°,：LBAO＝180°_LPAB＝60°;当LEAB＝3LEBA时，丫LEAB+LEBA+LE＝180°,：LEAB＝50.625°,：LFAB＝2LEAB＝101.25°,：LPAB＝2LFAB＝202.5°,不符合题意；当LEBA＝3LEAB时，LEAB+3LEAB+112.5＝180°,：LEAB＝16.875°,（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q_∠HFT＝15°,且∠EFT=∠ETF．②求证：PQ∥FH．【答案】（1）30°;：（：4LCHG+60°=180°.：LCHG＝30°.：L1＝30°.（2）LAFE＝LE+LMHE，：LAFE＝LCME．丫LCME＝LE+LMHE，：LAFE＝LE+LMHE．（3）①设LAFE＝x，则LBFH＝90°_x，LEFB＝180°_x．：LBFT＝LETF．丫LEFT＝LETF，即LHFTLAFE；②证明：丫LQ_LHFT＝15°,：LQ＝15°+：LAFE+LCEF＝180°.：LCEF＝180°_x．：LCEH＝LCEF+LFEH＝180°_x+30°=210°_x．丫EQ平分LCEH，丫LQ+LQEH+LQPE＝180°,丫LH＝60°,：LQPE＝LH．52025春•诸暨市期中）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且a聂b，△ABC是（1）如图1，若L1＝48°,求L2的度数；（2）如图2，若L1的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把L2的位置改变，发现L2_L1=120°,请说明理由．（3）如图3，此时发现L1与L2又存在新的数量关系，直接写出L1与L2的数量关系．【答案】（1）42°;（3）L1+L2＝120°.【解答】解：（1）如图1，丫L1＝48°,L1+L3＝180°_90°=90°,：L3＝90°_48°=42°,：L2＝L3＝42°;：L2+LABD＝180°,L1＝LCBD，又丫LABD+LCBD＝LABC＝90°_LA＝60°,：L2+（60°_L1180°,即L2_L1＝120°;（3）L1+L2＝120°,理由如下：如图3，由三角形内角和定理可得，L1+L2+LB＝180°,而LB＝60°,：L1+L2＝120°.62025春•韩城市期中）【问题情境】【问题解决】①若∠G＝20°,求∠BEC的度数；∴∠BEC=∠HEF+∠HEB＝5②∠GMB_∠BEC是定值，且这个定值为20°,理由如下；∴∠BEC180°_∠AGC90°_∠AG∴∠GMB＝180°_∠GBM_∠BGM＝180°_70°_∠AGC＝110°_∠AGC．∴∠GMB_∠BEC＝110°_∠AGC_（90°_∠AGC20°,即∠GMB_∠BEC是定值，且这个定值为（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO_∠GED=M交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出∠CDE的度数．【答案】（1）135°;【解答】解：（1）丫LAOB＝90°,LOCD＝40°,：LCDO＝90°_LODD＝90°_40°=50°,丫LDCELDCO=20°,LCDELCDO=25°,：LCED＝180°_LDCE_LCDE＝180°_20°_25°=135°,（2）证明：丫LDCE=LDCO，LEDF=丫LDCO+LCDO＝90°,：LDCE+LEDF＝45°,丫LCFO＝LDCF+LCDO＝LDCF+2LEDF＝LEDF+45°,：LEDF＝LCFO_45°,丫LCFO_LGED＝45°,：LGED＝LCFO_45°,：LEDF＝LGED，（3）分情况讨论：①当LM＝4LN时，丫CM丄CN，即LMCN＝90°,：LM+LN＝90°,丫LCOM：LNCO＝LCOM_LN＝27°,丫CE平分LDCO，：LDCO＝2LNCO＝54°,：LCDO＝180°_90°_54°=36°,丫DE平分LCDO，②当LMCN＝4LN＝90°时，：LN＝22.5°,丫Lc0M：LNCO＝LCOM_LN＝22.5°,丫CE平分LDCO，：LDCO＝2LNCO＝45°,：LCDO＝180°_90°_45°=45°,丫DE平分LCDO，当LMCN＝4LM＝90°时，则LM＝22.5°,：LN＝180°_90°_22.5°=67.5°,：LNCO＝LCOM_LN＝_22.5°,不符合题意，舍去；当LN＝4LM时，同理可得LM＝18°,则LN＝72°,同理可得此时LNCO＝LCOM_LN＝_27°,不符合题意，舍去；综上，LCDE的度数为22.5°或18°.82025春•青羊区校级期中）在平面内，对于LP和LQ，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0使得，LP+tLQ＝180°,则称LQ是LP的“t系数补角”．例如：LP＝60°,LQ＝30°,有LP+4LQ＝180°,则LQ是LP的“4系数补角”．【概念理解】（1）若LP＝40°,LP的“2系数补角”是70°；LP的“5系数补角”是28°;在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点【初步认识】【问题解决】（3）如图2，连接EF，若点H为直线EF右边平）．∴∠BEG＝5×24°=80°,：LMGE＝LBEG＝60°,LMGF＝LDGF＝24°,：LEGF＝LMGE+LMGF＝84°;丫EM平分LFEH，FM平分LEFH，：LEFM=LEFH，LFEM：LEFM=LEFH，LFEM=LFEH，：LBEF+LDFE＝180°,：LBEH+LFEH+LDFH+LEFH＝180°,丫LBEH＝m，LDFH＝n，：LFEH+LEFH＝180°_（m+n1：LEMF=180°__(LEFM+LMEF)=90°+2(m+")丫LN是LEMF的“3系数补角”，12：LEMF+3LN＝180°,即90°+(m+")+3LN=180°,2：LFEH+LDFE+LBEH＝180°,：LFEH+LDFE＝180°_m，：LFEH+LEFH＝LFEH+LDFE+LDFH＝180°_m+n，丫EM平分LFEH，FM平分LEFH，丫LN是LEMF的3系数补角，12：LEMF+3LN＝180°,即90°+(m__")+3LN=180°,2同理可得LFEM+LEFM=2(180°+m__")=90°+2(m__")，丫LN是LEMF的3系数补角，：LEMF+3LN＝180°,即+3LN=180°,综上所述，LN的度数为30°__6(m+")或30°__6(m__")或30°+6(m__")．92025春•淮阴区校级期中）数学兴趣小组（1）【论证】如图1，延长BA至点D，过点A作AE聂BC，就可以说明LBAC+LB+LC＝180°成立，（2）【应用】如图2，在△ABC中，LBAC的平分线与LACB的角平分线交于点P，过点A作AE聂BC，M在射线AE上，且LACM＝LAMC，MC的延长线与AP的延长线交于点D．12①设LB=α,则LD=α（用含α的代数式表示2以每秒6°的速度顺时针方向旋转，当MN第一次与EF重合后，立刻再绕着点P以原速度逆时针方向旋C1221545458【解答】（1）证明：延长BA至点D，过点A作AE∥BC，8丫AP是LBAC的角平分线，在△ABC中，LB+LACB+2L3＝180°,：LACB＝LMAC，L1＝LBCD，丫LACM＝LAMC，：LACM＝LBCD＝L1，丫LD+L3＝LACM，LBCD+LACB+LACM＝180°,：2（LD+L3）+LACB＝180°,：LB+2L3＝2（LD+L3：LB＝2LD，丫LB=α,②丫AE聂BC，：LACB＝LMAC，丫CP是LACB的平分线，：LMAC＝2L2，丫2L2+LACM+L1＝180°,LACM＝L1，：2L2+2LACM＝180°,：L2+LACM＝90°,：LPCD＝180°_（L2+LACM90°;），当MN第一次与EF重合前，BC∥MN时，延长BC交EF于Q，1544解得：t当MN第一次与EF重合后，BC∥MN时，令BC交EF于D，∴∠ADB=∠CAP+∠C10t_30）°+30°=（10t）°,），102025春•周村区期中）【生活常识】平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠【应用探究】（3）β=2α,理由见解析．【解答】（1）证明：丫OM丄ON，：LMON＝90°,：L2+L3＝90°,又丫L1＝L2，L3＝L4，：LABC+LBCD=180°_L3_L4+180°_L1_L2=360°_2（L2+L3）=360°_2×90°=180°,（2）解：丫LMON＝48°,：L2+L3＝132°,LABC+LBCD=180°_L3_L4+180°_L1_L2=360°_2（L2+L3）=360°_2×132°=96°,：LBPC＝180°_（LABC+LBCD180°_96°=84°.（3）解：β=2α,理由是：丫LPBD+LP＝LO+L4，L3＝L4＝LO+L2，L1＝L2＝LPBD，：L1+β=α+α+L1，:β=2α.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB丄CB，AD丄CD，E，F分别是BC，CD上的点，且LEAFLDAB，探究图中EF，BE，DF之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长CB到点G，使BG＝DF．连接AG，先对比△ABG与△ADF的关系，再对比△AEF与△AEG的关系，可得出EF、BE、DF之间的数量关系，请问：他的结论是EF＝BE+DF；并对此问题给出完整解题过程．（2）已知：在四边形ABCD中，AB＝AD上，且LEAFLBAD；如图2，点E、点F分别在边CB、DC的延长线上；如图3，点E、点F分别（3）如图4，在四边形ABCD中，LABC+LADC＝180°,AB＝AD，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若EF＝BF+DE，请直接写出LEAF与LDAB的数量关系．【解答】解1）结论：EF＝BE+DF．丫AB＝AD，LABG＝LADF，:△ABG丝△ADF（SAS：LBAG＝LDAF，AF＝AG，：LFAG＝LDAB，丫LEAFLDAB，：LEAF＝LEAG，:△AEF丝△AEG（SSS故答案为：EF＝BE+DF．在DF上截取DG＝BE，连接AG，丫LABC+LD＝180O，LABC+LABE＝180O，：LABE＝LD，:△ADG丝△ABE，：LDAG＝LEAB，AE＝AG，：LEAG＝LBAD，丫LFAELBAD，：LEAF＝LGAF，又丫AF＝AF，:△EAF丝△GAF（SAS：AG＝AF，LBAG＝LFAD，：LBAD＝LFAG，丫LEAFLBAD，:△EAG丝△EAF，（3）结论：LEAFLDAB．丫LABC+LADC＝180°,LABC+LABF＝180°,：LADG＝LABF，:△ABF丝△ADG（SAS：AG＝AF，LDAG＝LBAF，AE=AEEF=EG:△AEF丝△AEG（SSS：LFAE＝LEAG，丫LFAE+LEAG+LGAF＝360°,：2LFAE+（LGAB+LBAF360°,：2LFAE+（LGAB+LDAG360°,即2LEAF+LDAB＝360°,122025春•锦江区校级期中）已知△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，LBAC＝LDAE＝90O．【解答】（1）证明：丫LBAC＝LDAE，：LBAE＝LCAD，:△ABE丝△ACD（SAS（2）解：连接AG，作AN丄DG于点N，：LAEB＝LADC，丫AE＝AD，LAFE＝LAND＝90O，:△AEF丝△ADN（AAS：AF＝AN，EF＝DN，LEAF＝LNAC，：LFAN＝LDAE＝90°,：LDHE＝90°,丫LBAC＝90°,：LADH+LAEH＝180°,丫LADH+LADG＝180°,：LADG＝LAEM，在△ADG与△AEM中，AD=AELADG=LAEM，DG=EM:△ADG丝△AEM（SAS：AG＝AM，LGAD＝LMAE，∴∠GAD=∠DAM，在△ACG与△ACM中，132025春•成都期中）【基础回顾】【变式探究】【拓展应用】边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD=∠CAE＝90°,AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AE：LDAB+LEAC＝90O，：LDBA＝LEAC，△ABD丝△CAE（AAS丫LEAB是△ABD的外角，：LEAB＝LADB+LDBA，：LEAC+LBAC＝LADB+LDBA，丫LADB＝LBAC，：LEAC＝LDBA，LEAC=LDBALCEA=LADB，AB=AC:△EAC丝△DBA（AAS过点D作DM丄AH交AH的延长线于点M，过点E作EN丄AH于点N，如图所示：：LAGB＝LM＝90O，：LABG+LBAG＝90O，：LBAG+LDAM＝90O，：LABG＝LDAM，2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，：（∴BP＝AB_AP8_2t）cm，②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，（1）如图1，过点E作EF∥AC交边A：LBCD＝180°_LBCA＝120°,丫LDBE＝120°,：LEFA＝LA＝60°,：LEFB＝180°_LEFA＝120°,：LEFB＝LBCD＝120°,丫LDBE＝120°,LABC＝60°,：LEBF+LCBD＝LDBE_LABC＝60°,在△BCD中，LBCD＝120°,：LD+LCBD＝180°_LBCD＝60°,：LEBF＝LD，LEBF=LDLEFB=LBCD，BD=BE:△BEF丝△DBC（AAS：LF＝LA＝LABC＝LBCA＝60°,：LCBF＝180°_LABC＝120°,丫LDBE＝120°,：LEBF+LCBD＝360°_LDBE_LCBF＝120°,在△BCD中，LCBD+LBDC＝180°_LBCA＝120°,：LEBF＝LBDC，∴AF＝BF_AB＝x_kx，∴AF＝AB_BF＝kx_x，BGk+1k+1AG1__kk__1．AG1__kk__1．162025春•平顶山期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与B、C重合连接AD，（2）如图2，若∠BAC＝90°,则∠DCE的度数为90°;（3）如图3，若∠BAC=α,∠DCE=β,请直接写出α与β之间的数量关系．（3）α+β=180°.：（AB=ACLBAD=LCAE，AD=AE）．（3）α+β=180°,理由：丫LDAE＝LBAC=α,：LCAE＝LBAD=α_LCAD，:△ACE丝△ABD（SAS：LACE＝LB，：LDCE＝LACE+LACB＝LB+LACB，丫LBAC=α,LDCE＝LB+LACB=β,且LBAC+LB+LACB＝180°,:α+β=180°.172025春•雁塔区校级期中）在学习全等三角形的知识时个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成，一个等腰三角形绕着公共顶点旋转过程中，兴趣小组进行（3）活动探究三：如图3，在（2）的条件下，当LCAO＝90°时，延长AO交BD于点E，若AE＝10，：（丫LAOB＝LCOD＝90°,：LAOB+LAOC＝LCOD+LAOC，即LBOC＝LAOD，:△BOC丝△AOD（SAS丫LAOB＝LCOD＝90°,：LAOF＝LCOD＝90°,：LEOC+LCOF＝LCOF+LFOD，：LEOC＝LFOD，:△EOC丝△FOD（AAS丫LH＝90°,：LDOH+LODH＝90°,：LAOC+LDOH＝90°,：LAOC＝LODH，又丫LCAO＝90°,：LCAO＝LH＝90°,:△CAO丝△OHD（AAS122丫LAOB＝90°,LH＝90°,：LBOE＝LH＝90°,182025春•武侯区校级期中）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且LEBD＝60°,C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．②如图2，若点C不与点D重合，证明：AE＝BF+CD；：（证明：丫DE＝DF，：LE＝LF，丫LEBD＝60°,:△ABD是等边三角形，：LBAD＝60°,LDAE=LDBFLE=LF，DE=DF②证明：如图2，作DH∥AC交EF于点H，∴BH_BA＝BD_BC，LDHE=LDBFLE=LF，DE=DF（2）AE＝BF_CD或AE＝CD_BF，证明：作DH∥AC交EF于点H，∴BA_BH＝BC_BD，:△DHE丝△DBF（AAS丫AE＝HE_AH，且HE_AH＝BF_CD，：AE＝BF_CD；丫AE＝AH_HE，且AH_HE＝CD_BF，综上所述，AE＝BF_CD或AE＝CD_BF．192025春•南岸区校级期中）已知AB＝AC，AE＝AD，LBAC＝LEAD．2【解答】（1）证明：由题意可得：∠BAC_∠EAC=∠EAD_∠EAC，即∠BAE=∠CAD，）．：180°_LBEF＝180°_LBEG，即LAEF＝LAEG，:△AFE丝△AGE（SAS：LGAE＝LFAE＝45°,：LDAG＝LBAC_LEAG＝45°=LEAG，:△DAG丝△EAG（SAS（3）由题意可得：LBAC_LEAC＝LEAD_LEAC，即LBAE＝LCAD，:△ABE丝△ACD（SAS：S△ABE＝S△ACD＝2，CD＝BE，LAEB＝LADC，：S△ABC=2AC.AB=2AB2=8，LABC＝LACB＝45°,丫LBCF＝180°_LACB_LACD＝180°_45°_（45°+LCBF90°_LCBF，：LBFC＝180°_LCBF_LBCF＝90°,如图，作AG丄BF于G，AH丄DF交FD的延长线于H，FN丫180°_LAEB＝180°_LADC，：LAEG＝LADH，丫LAGE＝LAHD＝90°,:△AEG丝△ADH（AAS：LAFB＝LAFH＝45°,丫DFCF，202025春•重庆校级期中）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”（2）如图2，在△ABC中，LBAC＝90°,AB＝AC，过点A作直线AE，BD丄AE于点D，CE丄AE于点（3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，LACB＝LAED＝90°,AC在BC上，连接BD，试猜想线段AB：LBAC＝90°,：L1+L2＝90°,丫△ADB和△ACE都是直角三角形，且直角顶点都在直线l上，：LAEC＝LBDA＝90°,：L1+L3＝90°,：L2＝L3，在△AEC和△BDA中，L2=L3:△AEC丝△BDA（AAS在△ABC中，LBAC＝90°,AB＝AC，：L1+L2＝90°,：LBDA＝LE＝90°,：L2+L3＝90°,：L3＝L1，在△BDA和△AEC中，LBDA=LE=90°L3=L1AB=AC:△BDA丝△AEC（AAS丫DE＝AE_AD＝BD_EC，:△ACE的面积为：CE•AE，丫△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，LACB＝LAED＝90°,：AC＝BC，LABC＝45°,AE＝DE，L1+LAEC＝90°,L2+LAEC＝90°,：L1＝L2，丫CF＝CE，LACB＝90°,:△CDF是等腰直角三角形，：L3＝45°,：LAFE＝180°_L3＝135°,丫AC_CF＝BC_CE，AF=EBAE=DE∴∠ABD=∠EBD_∠ABC＝135°_45°=90°,212025春•滨湖区期中）折纸中的数学（题中所有角都是指【问题情境】【问题初探】（1）如图①,若点A,，点D,，点P恰好在一条直线上，则∠EPF的度数是90°;（2）如图②,若点A,落在PF上，点D,落在PE上，则∠EPF的度数是60°;【问题再探】【问题深探】）．【答案】（1）90°;（4270_2n_m）°.【解答】解1）由折叠得∠APE=∠A'PE，∠DPF=∠D'PF，：LAPE+LDPF＝LA'PE+LD'PF，丫LAPE+LDPF+LA'PE+LD'PF＝180°,：2（LA'PE+LD'PF180°,：LA'PE+LD'PF＝90°,：LEPF＝LA'PE+LD'PF＝90°,（2）由折叠得：LAPE＝LA'PD'，LDPF＝LA'PD'，：LAPE＝LA'PD'＝LDPF，丫LAPE+LA'PD'+LDPF＝180°,：LA'PD'＝60°,即LEPF＝60°,由折叠的性质得：LAPE＝LA'PE，LDPF＝LD'PF，：LAPE+LDPF＝LA'PE+LD'PF，丫LAPE+LDPF+LA'PE+LD'PF+LA'PD'＝180°,：2（LA'PE+LD'PF）+β=180°,由折叠的性质得：LAPE＝LA'PE，LDPF＝LD'PF，：LAPE+LDPF＝LA'PE+LD'PF＝LEPF+LA'PD'，又丫LAPE+LDPF+LEPF＝180°,：LEPF+LA'PD'+LEPF＝180°,：2LEPF＝180°_LA'PD'＝180°_β,综上所述：LEPF：LA'PE＝LAPE＝n°,又丫LCPD＝m°,：LCPA'＝180°_LA'PE_LAPE_LCPD180_2n_m）°,丫射线PC是LA'PD'的角平分线，：LCPD'＝LCPA'180_2n_m）°,：LDAA'＝LCPD_LCPD'2m+2n__180）°,：LEPF＝180°_LAPE_LDPF270_2n_m）：LA'PE＝LAPE＝n°,：LDPA'180_2n）°,又丫LCPD＝m°,：LCPA'＝LCPD_LA'PD2n+m__180）°,丫射线PC是LA'PD'的角平分线，：LCPD'＝LCPA'2n+m__180）°,：LDAA'＝LCPD+LCPD'2n+2m__180）°,：LEPF＝180°_LAPE_LDPF270_2n_m）°;综上，LEPF的度数为（270_2n_m）°.222024秋•黄埔区校级期中）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，LBCD＝LA．①试说明LBCD＝2LCBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求LA的度数．【解答】解1）丫AB＝AC，：LABC＝LACB，丫LBDC是△ADC的一个外角，：LBDC＝LA+LACD，丫LACB＝LBCD+LACD，LBCD＝LA，：LBDC＝LACB，：LABC＝LBDC．：LBEC＝90°,：LCBE+LACB＝90°,设LCBE=α,则LACB＝90°_α,：LACB＝LABC＝LBDC＝90°_α,：LBCD＝180°_LBDC_LABC＝180°_（90°_α)_（90°_α)=2α,：LBCD＝2LCBE；②丫LBFD是△CBF的一个外角，：LBFD＝LCBE+LBCD=α+2α=3α,：LBDC＝LBFD＝3α,丫LACB＝LABC＝LBDC＝90°_α,：90°_α=3α,:α=22.5°,：LA＝LBCD＝2α=45°;：LDBE＝LBFD＝3α,丫LDBE＝LABC_LCBE＝90°_α_α=90°_2α,：90°_2α=3α,:α=18°,：LA＝LBCD＝2α=36°;：LDBE＝LBDF，丫LBDF＝LABC＞LDBF，综上所述：如果△BDF是等腰三角形，LA的度数为45°或36°.232024秋•渝水区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，LAOB＝110°,LBOC=α,△BOC丝△ADC，LOCD＝60°,连接OD．丫LOCD＝60°,:△OCD是等边三角形．：LODC＝60°,：LADC＝LBOC=α=150°,：LADO＝LADC_LODC＝150°_60°=90°,:△AOD是直角三角形．：LCOD＝LODC＝60°.丫LAOB＝110°,LADC＝LBOC=α,：LAOD＝360°_LAOB_LBOC_LCOD＝360°__110°_α_60°=190°_α,LADO＝LADC_LODC=α_60°,：LOAD＝180°_LAOD_LADO＝180°_（190°_α)_(α_60°)=50°.①当LAOD＝LADO时，190°_α=α_60°,:α=125°.②当LAOD＝LOAD时，190°_α=50°,:α=140°.③当LADO＝LOAD时，α_60°=50°,:α=110°.相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三）；（3）【应用】在△ABC中，LA＝54°,CD是△ABC的等角分割线，请直接写出LABC的度数．【解答】（1）解：丫LACB＝90°,：LACD+LDCB＝90°,：LADC＝90°,：LA+LACD＝90°,：LA＝LDCB，同理LB＝LACD，丫LACB＝LADC＝LCDB，：LACB＝180°_LA_LB＝80°：LACD＝LA，LDCB＝LA，：LBDC＝180°_LDCB_LB＝80°,：LBDC＝LACB，丫CD＝DA，LBDC＝LACB，LDCB＝LA，LB＝LB，如图，DA＝DC时，LACD＝LA＝54°,：LACB＝LBDC＝54°+54°=108°,：LABC＝180°_LA_LACB＝180°_54°__108°=18°;12如图，DA＝AC时，LACD=LADC=(2LBCD＝LA＝54°,：LACB＝63°+54°=117°,：LABC＝180°_LA_LACB＝180°_54°_（63°+54°)=9°;1LBDC＝LBCD，设LBDC＝LBCD＝x，则LB＝180°_2x，则LACD＝LB＝180°_2x，丫LACB＝LACD+LBCD：180°_2x+54°=x，：LB＝180°_2x＝24°,：LABC的度数为9°或24°或42°或18°.的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•rAC•r：（：AB.PE+AC.PF+BC.PM=：AB.PE+AB.PF+AB.：AB.PE+AB.PF+AB.PM=AB.BG：2AB.PE+2AB.PF__2AB.PM=2AB.BG，：PE+PF_PM＝BG．262024秋•南岗区校级期中）已知在△ABC中，AB＝AC，且LBAC=α.作△ACD，使得AC＝CD．（1）如图1，若LACD与LBAC互余，则LDCB（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若LACD与LBAC互补，过点C作CH丄AD于点H，求证：CHBC；（3）若△ABC与△ACD的面积相等，则LACD与LBAC满足什么关系？请直接写出你的结论．1【答案】（1）α2）证明见解析3）LACD＝LBAC或LACD与LBAC【解答】（1）解：丫AB＝AC，丫LACD与LBAC互余，：LDCB＝LACB_LACD＝90°__α_（90°_α)=α222：LEAC=LBAC，LACH=LACD，CE=BC，212：LEAC+LACH=（LBAC+LACD2丫LACD与LBAC互补，丫LEAC+LACE＝90°,：LACE＝LACH，丫LAHC＝LAEC＝90°,AC＝AC，:△ACH丝△ACE（AASLACD＝LBAC或LACD与LBAC互补；理由如下：：LACD＝LBAC；：LBAC＝LDCG，丫LDCG+LACD＝180°,：LBAC+LACD＝180°,：LBAC与LACD互补．272025春•郫都区校级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与），）．（1）如图1，已知AE、BE分别是LBAO和LABO的角平分线，①当LABO＝60°时，求LAEB的度数；②点A、B在运动的过程中，LAEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出LAEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知LBAO、LOAG的角平分线与LBOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出LABO的度数．【解答】丫AE、BE分别是LBAO和LABO的角平分线，：LAEB＝180°_LABE_LBAE＝135°.答：LAEB的度数是135°.②LAEB的大小不会发生变化．理由如下：同①,得LAEB＝180°_LABE_LBAE=180°__LABO__12=180°__（LABO+LBAO）21=135°.答：LAEB的大小不会发生变化，LAEB的度数是135°.如图2，丫LBAO、LOAG的角平分线与LBOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，即LEAF＝90°,又LBOQ＝90°,：由题意：①LELEAF，或②LELF．①LEOQ＝45°,LOAE+LE＝LEOQ＝45°,：LOAE＝15°,：LABO＝60°.②LELF，丫LE+LF＝90°,：LE＝22.5°,LEOQ＝45°,：LOAE＝22.5°,：LBAO＝45°,：LABO＝45°