2025-2026月考试卷8年级（数学）全等三角形模型之手拉手模型（解析版）

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何 1 手拉手模型......................................................................................................... 35将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。过点C作CP丄AD,CQ丄BE,则∠CQB=∠CPA=90°,又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（A条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。过点C作CP丄AD,CQ丄BE,则∠CQB=∠CPA=90°,又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（A结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠B条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点例123-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①△ACE≌△DCB；②DC∥EB；③AC=DN；④EM=BN；⑤LCMN=80o．其中正确的结论有()【答案】C【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△ACE≌△DCB，△CME≌△CNB．根据SAS证明△ACE≌△DCB即可判断①正确；根据平行线的性质证明DC∥EB即可判断②正确；证明【详解】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，LDAC=LACD=LBCE=60o，∴LACD+LDCE=LDCE+LECB，∴LACE=LDCB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，故①正确；∵A、C、B三点共线，LDCA=LCBE=60o，∴DC∥EB，故②正确；∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，LAEC=LDBC，∵LDCE=180o-60o-60o=60o，∴LMCE=LNCB=60o，∵ME=BN，AE=BD，∴AE-ME=DB-BN，∴AM=DN，∵AC>AM，∴AC>DN，故③错误；∵CM=CN，LMCN=60o，∴△CMN为等边三角形，∴LCMN=60o，故⑤错误；例22024·绵阳市八年级课时练习）△ACB和△DCE是共顶点C(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α,则你认为α为多少度，并证明．可得证；②由△ACD≌△BCE知∠ADC=∠BEC=120°,结合∠CED=60°可得∠AEB=60°;M∠ADC，继而知∠CDF+∠CEF=180°,即∠ECD+∠DFE=180°,从而得出答案．②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°,又∵∠CED=60°,∴∠AEB=60°;又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，∴DE=2DM，∴2DM+BD=BE=AD；（3）解：α=60°,理由如下：同理可证△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC，∴∠CDF+∠CEF=180°,∴∠ECD+∠DFE=180°,而α+∠DFE=180°,∴α=∠ECD=60°.【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的例323-24九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在△ABC中，7ABC=45o，过点C作CDTAB于点D，过点B作BMTAC于点M，连接MD，过点D作DNTMD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：①AC=BE；②DM=DN；③7AMD=45o；④NE=3ME．其中正确的有()个．【答案】A【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，相似三角结论，证明△DNM是等腰直角三角形，可得7AMD=45o，△DEFMN=2MF=4ME，即可证明结论．【详解】解：∵CDTAB,BMTAC，∴7BDE=7CME=90o，∵7DEB=7MEC，∴∠DBE=∠DCA，∵7ABC=45o，CDTAB，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BD=CD，∵LBDC=LDNM=90o，∴LBDN=LCDM，过点D作DF丄MN于点F，则LDFE=LCME=90o，∵DN丄MD，DN=DM，∴MN=2FM=2FN，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∵LDEF=LCEM,LDFE=LCME，∴△DEF三△CEM(AAS)，∴ME=EF，例423-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，LABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，LDAE=90o，AD=AE．(1)如果AB=AC，LBAC=90o．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为，数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．(2)如图3，如果AB≠AC，LBAC≠90o，点D探究：当LACB多少度时，CE丄BC？请说明理由．【分析】本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角的关键是证明全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．（1）①根据LBAD=LCAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD丝△ACE质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明 理由：丫LBAD=90o-LDAC，LCAE=90o-LDAC，\LBAD=LCAE．又BA=CA，AD=AE，\△ABD≌△ACE(SAS)，\LACE=LB=45o且CE=BD． ②都成立丫LBAC=LDAE=90o，\LBAC+LDAC=LDAE+LDAC，\LBAD=LCAE \CE=BD，LB=LACE，\LACB+LACE=90o，即CE丄BD． 理由：过点A作AG丄AC交CB的延长线于点G，则LGAC=90o， 例52023春·广东·七年级专题练习）已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC=∠DBE．【答案】（1）证明见解析2）603）604）6【分析】（1）根据题意，得∠ABC=∠DBE＝60°,从而得LABE=LDBC；通过证明△ABE≌△CBD，得LBAE=LBCD；通过证明△BAM≌△BCN，得BM=BN，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明；（2）结合题意，通过证明△ABC为等边三角形，得LBAC=LBCA=60o；结合（1）角性质，推导得LAOD=120o，从而完成求解；（3）同理，通过证明△ABC为等边三角形，得LBAC=LBCA=60o；通过证明△ABE≌△CBD，得LBAE=LBCD；根据三角形外角性质，推导得LAOD=120o，从而完成求解；（4）根据题意，通过证明△ABC为等边三角形，推导得LABE=LCBD，通过证明△ABE≌△CBD，得LBAE=LBCD，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案．∴LMBN=180o-∴LMBN=180o-LABC-LDBE=60o，LABE=LABC+LMBN，LDBC=LDBE+LMBN∴LABE=LDBC∵BA＝BC，BD＝BE（2）∵∠ABC=∠DBE＝60°,BA＝BC∴△ABC为等边三角形；∴LBAC=LBCA=60o∵LBAE=LBCD∵LBAE=LBCD∴LAOD=LOAC+LACO=LOAC+LBCA+LBCD=LOAC+LBCA+LBAE∵LOAC+LBAE=LBAC∴LAOD=LBAC+LBCA=120o∴LAOC=180o-LAOD=60o，即直线AE和CD的夹角是60o故答案为：60；（3）∵∠ABC=∠DBE＝60°,BA＝BC∴△ABC为等边三角形；∴LBAC=LBCA=60o∵LABE=LABC+LMBN，LDBC=LDBE+LMBN，∠ABC=∠DBE＝60°∴LABE=LDBC如图，延长AE，交CD于点O∴LAOD=LOAC+LACO=LOAC+LBCA+LBCD=LOAC+LBCA+LBAE∵LOAC+LBAE=LBAC∴LAOD=LBAC+LBCA=120o∴LAOC=180o-LAOD=60o，即直线AE和CD的夹角是60o故答案为：60；∵∠ACB＝60°∴LACB=LCAB=60∵∠ACB＝60°∴LACB=LCAB=60o∴△ABC为等边三角形∵BD＝BE，∠ABC=∠DBE∴LDBE=60o∵LABE=LABC-LCBE，LCBD=LDBE-LCBE∴LABE=LCBD∴LAOF=LOAC+LACO=LOAC+LBCA+LBCD=LOAC+LBCA+LBAE∵LOAC+LBAE=LBAC∴LAOF=LBAC+LBCA=120o∴LAOC=180o-LAOF=60o，即直线AE和CD的夹角是60o故答案为：60．【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在十三三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化方法迁移:如图（3△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一拓展创新:如图（4△ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为【答案】问题初探：BE＝CD，理由见解析；类比再探：∠EBD＝90°,辅助线见解析；方法迁移：BC=BD+BE；拓展创新：∠EBD＝120°,理由见解析结论；类比再探：过点M作MF∥AC交BC于点F，如图（5可得△BMF是等腰直角三角形，仿问题初探的思路利用SAS证明△BME≌△FMD，可得∠MBE=∠MFD=45°,进而可得结果；方法迁移：根据等边三角形的性质和角的和差关系可得∠BAE=∠CAD，然后可根据SAS证明△BAE≌△仿方法迁移的思路利用SAS证明△BME≌△GMD，可得∠MBE=∠MGB＝60°,进而可得结论．理由：如图（1∵∠DAE=∠BAC＝90°,∴∠BAE=∠CAD，类比再探：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F，如图（5则∠BMF=∠A=90°,∠BFM=∠C=45°,∴MB=MF，∵∠DME=∠BMF＝90°,∴∠BME=∠DMF，∵MB＝MF，ME＝MD，∴△BME≌△FMD（SAS∴∠MBE=∠MFD=45°;理由：如图（3∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠BAC＝60°,∴∠BAE=∠CAD，理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G，如图（6则∠BMG=∠A=60°,∠BGM=∠C=60°,∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM，∵∠DME=∠BMG＝60°,∴∠BME=∠DMG，∵ME＝MD，∴△BME≌△GMD（SAS∴∠MBE=∠MGB＝60°,∴∠EBD=∠MBE+∠MBG＝120°.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质、等腰直角三角连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用等边三角形的性质得出AD=AB,AC=AE,LBAD=LCAE=60°,然后有（2）利用正方形的性质得出AD=AB,AC=AE,LBAD=LCAE=90°,然后有LCAD=LEAB，再\LBAD+LBAC=LCAE+LBAC，即LCAD=LEAB，\AD=AB，AC=AE，LBAD=LCAE=90o，\LBAD+LBAC=LCAE+LBAC∴LCAD=LEAB，\BE=CD【答案】①见解析；②60°;③90°;④108°【分析】①根据等边三角形的性质可以得出△ABE≌△ADC．②丫△ABE≌△ADC，\LCDA=LEBA，\AB=AD，AE=AC，LBAD=LCAE=90o，LBDA=LDBA=45o，\LBAD+LDAE=LCAE+LDAE，即LBAE=LCAD，④如图，丫五边形ABHFD和五边形ACIGE是正五边形，\AB=AD，AE=AC，LBAD=LEAC=108o，\LBAD+LDAE=LEAC+LDAE，LABD=LADB=36o，\LBAE=LDAC，性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据正多边形的性性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据正多边形的性12023春·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向外作△ABD，使平分LBDA；③LE=LBAC；④DC=DB+DA．其中正确的有().【答案】D【答案】D∠CDA=120°-60°=60°,可知DC平分∠BDA；③由②可知，∠BAC=60°,∠E=60°,从而得到∠E=∠BAC．④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°,∴CD=CE，∠DCE=60°,∴△CDE为等边三角形，∴∠E=60°,∴∠BDC=∠E=60°,∴∠CDA=120°-60°=60°,∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC=60°,∠E=60°,∴∠E=∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°,∴DE=AE+AD．223-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤7AOB=60o．其中正确的有 【答案】C【答案】C的判定方法，判断出△ACD丝△BCE，即可判断出AD=△ACP丝△BCQ，即可判断出CP=CQ；然后根据7PCQ=60o，可得△PCQ为等边三角形，所以7PQC=7DCE=60o，据此判断出PQ∥AE即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出△ACP丝△BCQ，即可判断出AP=BQ．④首先根据DC=DE,7PCQ=7CPQ=60o，可得7DPC<60o，然后判断出然后判断出DP≠DC，再根据DC=DE，即可判断出DP≠DE．⑤LAOB=LDAE+LAEO=LDAE+LADC=LDCE=60o，据此判断即可．∴LACB+LBCD=LDCE+LBCD，∴LACD=LBCE，∵△ACD丝△BCE，∴LCAD=LCBE，在△ACP和△BCQ中，LACP=LBCQ,LCAP=LCBQ,AC=BC，∵LAOB=LDAE+LAEO=LDAE+LADC=LDCE=60o，结论⑤正确．323-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、F是射线BC上两点，且AD丄AF，若AE=AD，LBAD=LCAF=15o，则下列结论中①△ABC是等腰直角三角形；②S△ABC=S四边形ADCE；③CE丄BF；④BCEF=2AD-CF．正确的有()【答案】D【分析】结合AD丄AF，LBAD=LCAF，可证明∠BAC=∠DAF=90o，即可判断结论①；证明得LB=LACE=45o，进而可知LECB=90o，即可判断结论③；证明LF=30o，由“直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半”可得EF=2CE，DF=2AD，结合CD=BC-BD=DF-CF，易得BCEF=2AD-CF，即可判断结论④.∵LBAD=LCAF，∴LBAC=LCAD+LBAD=LCAD+LCAF=LDAF=90o，∵AB=AC，LBAC=90o，∴LB=LACB=45o，∵LB=45o，LBAD=15o，∴LAD∵CD=BC-BD=DF-CF，∴BCEF综上所述，结论正确的有①②③④,共计4个．故选：D．423-24七年级下·重庆·期末）如图，在等边△ABC中，点D为线段AB上一点，BD=4AD，连接CD，点E为线段AC下方一点，连接CE，且CD=CE，LBDC=LACE，连接BE交AC于点M，点F为线段AC延长线上一点，AD=CF，连接EF．已知AD=2，则CM的长为．【答案】4【答案】4【分析】此题重点考查等边三角形的性质、等角的△ADC≌△FCE是解题的关键．由等边三角形的性质得AC=AB=5AD=10，则AF=12，可证明△ADC≌△FCE，得LA=LF,AC=FE=AB，再证明△AMB≌△FME，得AM=FMAF=6，则CM=4，于是得到问题的\AC=AB=AD+4AD=5AD=5×2=10，\AF=AC+CF=10+2=12，\LADC=LFCE，在△ADC和△FCE中，\△ADC≌△FCE(SAS)，\LA=LF,AC=FE，\AB=FE；\\△AMB≌△FME(AAS)，\CM=FM-CF=6-2=4，523-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，连结AD，CD，CE，若LDCE=66o，则LADC的度数为．【答案】126【答案】126o/126度【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理的的性质可证△ABD≌△CBE，可得LBAD=LBCE，由LDCE=66o可得LBAD+LBCD=66o，根据三角形内角和定理可得LACD+LCAD=54o，在△ACD中再根据三角形内角和定理即可求解．∴AB=CB，LABC=LDBE=60o，DB=EB，∵LABD+LDBC=LDBC+LCBE=60o，∴LABD=LCBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴LBAD=LBCE，∵LDCE=LBCE+LBCD=66o，∴LBAD+LBCD=66o，∵LBAD+LBCD+LABC+LACD+LCAD=180o，∴LACD+LCAD=180o-LABC-(LBAD+在△ACD中，LADC+LACD+LCAD=180o，62024八年级上·绵阳市·专题练习）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求证：AD=BE；(2)求LDOE的度数；(3)求证：△MNC是等边三角形．【分析】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，LACB=LDCE=60O，求出LACD=LBCE，证（2）根据全等求出LADC=LBEC，进而求出LADE+LBED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM=BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出LNCM=60O即可．\AC=BC，CD=CE，LACB=LDCE=60O，\LACB+LBCD=LDCE+LBCD，\LACD=LBCE，在△ACD和△BCE中\△ACD≌△BCE(SAS)，\AD=BE．\LADC=LBEC，:LCED=LCDE=60o，:LADE+LBED=LADC+LCDE+LBED:LCAD=LCBE，AD=BE，AC=BC，又丫点M、N分别是线段AD、BE的中点，:AM=BN，在△ACM和△BCN中，:△ACM≌△BCN(SAS)，:CM=CN，LACM=LBCN，又LACB=60o，:LACM+LMCB=60o，:LBCN+LMCB=60o，:LMCN=60o，:△MNC是等边三角形．723-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，四边形ABCD是正方形，BE丄BF，BE=BF，EF与BC交于点G．(1)求证：AE=CF；(2)若LABE=65o，求LEGC的大小．【答案】(1)【答案】(1)证明见详解(2)70o【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边关键1）利用△AEB≌△CFB来求证AE＝CF．（2）利用角的关系求出LBEF和LEBG，LEGC=LEBG+LBEF求得结果．∵LABE+LEBC=90o，LCBF+LEBC=90o，∴LABE=LCBF，又∵BE=BF，∴LBEF=LEFB=45o，又∵LABE=65o，到线段DE，连接AE，CE，过点A作AF丄CE交线段CE的延长线于点F，连接BF．(1)当AE=AB时，求a的度数；(2)求证：LAEF=45o；(3)求证：AE∥FB．【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、平行线的判定；根据特殊图形得的结果得出证明1）根据旋转的性质可得DC=DE，由正方形的性质可得AE=AD=DE，根据已知AE=AB，可得出△AED是等边三角形，求出LADE的度数，即可求解；（2）根据旋转的性质得出△CDE和△ADE都是等腰三角形，由题可知旋转角是LEDC，进而得出LADE、LDEA、LAEC与a之间的关系，再根据平角的特点即可求解；边形，进一步可判定是矩形，根据角度关系得出LGAB=BCP，判定矩形是正方形，得出LHFB=45o，结由旋转可知，DC=DE，:AE=AD=DE，:△AED是等边三角形，:LADE=60o，:a=LADC-LADE=90o-60o=30o；（2）证明：在△CDE中，DC=DE，在△ADE中，AD=ED，LADE=90o-a，\LAEF=45o；则四边形BGFH是平行四边形，\平行四边形BGFH是矩形，丫LAFP=LABC=90o，LAPF=LBPC，\LGAB=BCP，\BG=BH，\矩形BGFH是正方形，\LHFB=45o，由（2）可知：LAEF=45o，\LHFB=LAEF=45o，\AE∥FB．923-24八年级上·河北·期中）如图，四边形ABCD中，LB=90。，连接对角线AC，且AC=AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF丄DE，垂足为F，若AB=AF．(1)求证：①LDAC=LFAB；②DF=CE+EF；(2)若AB=BC，LCDE=20O，求LCAF的度数．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)5O（2）由三角形全等的性质可得到LDAF=LCAB=45O，根据等边对等角性质得到LCDA=LDCA=65O，\LAFD=LABC=90O，在Rt△ADF和Rt△ACB中，\Rt△ADF≌Rt△ACB(HL)，\LDAF=LCAB，\LDAF+LFAC=LCAB+LFAC，即LDAC=LFAB；②连接AE，\LAFE=LABC=90O，在Rt△AFE和Rt△ABE中，\EF=EB，:DF=CB，:DF=CE+BE=CE+EF；:LBAC=LBCA=45o，由①知Rt△ADF≌Rt△ACB，:LDAF=LCAB=45o，:LADF=90o-45o=45o，:LCDA=LDCA=65o，:LCAF=LDAC-LDAF=50o-45o=5o．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形性质、三1023-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，△ABC和△EBD中，LABC=LDBE=90o，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．(1)求证：AE=CD；(2)求证：AE丄CD；(3)求证：MB平分∠AMD．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析关键1）欲证明AE=CD，只要证明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出LBAE=LBCD，由LNMC=180o-LBCD-LCNM，LABC=180o-LBAE-LANB，又LCNM=LANB，LABC=90o，可得LNMC=90o\LABC+LCBE=LDBE+LCBE，即LABE=LCBD，在△ABE和△CBD中，\AE=CD；\LBAE=LBCD，丫LNMC=180O-LBCD-LCNM，LABC=180O-LBAE-LANB，又LCNM=LANB，LABC=90O，\LNMC=LABC=90O，\AE丄CD．即MB平分∠AMD．(1)如图1，求证：AP=BD；(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA丄PM，且PB=2PM．①求证：BP丄BD；②判断PC与PA的数量关系并证明．【答案】(1)【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②PC=2PA，证明见解析（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK(SAS)，推出AP=CK，②根据△PDB≌△PCK得到LDPB=LCPK，设LDPB=LCPK=x，根据LAPC=LCDB列出方程，求出∴LBCD=LACP，在△BCD和△ACP中，（2）①证明：如图中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK，:APM=90o，:△AMP丝△CMK(SAS)，:AP=CK，LAPM=LK=90o，同法可证△BCD丝△ACP，:BD=PA=CK，丫PB=2PM，:PB=PK，:△PDB丝△PCK(SSS)，丫LPBD=LK=90o，:PB丄BD．②结论：PC=2PA．证明：丫△PDB丝△PCK，:LDPB=LCPK，设LDPB=LCPK=x，则LBDP=90o-x，丫LAPC=LCDB，:x=30o，:LDPB=30o，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．1223-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．(1)求证：AE=BD；(2)求证：MN∥AB．(3)设AE和DB的交点为F，连FC，求证：FC平分7AFB．【答案】【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析（1）先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，LDCA=60o，7ECB=60o，故可得出LDCA+LDCE=LECB+LDCE，7ACE=7DCB，根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形LMCN=60o可知△MCN为等边三角形，故LNMC=LDCN=60o故可得出结论．（3）作CPTAE，CQTDB，由△ACE≌△DCB可得它们的面积相等，即可得到CP=CQ，再由角平分线的逆定理可得FC平分7AFB．LMCN=60o可知△MCN为等边三角形，故LNMC=LDCN=60o故可得出结论．（3）作CPTAE，CQTDB，由△ACE≌△DCB可得它们的面积相等，即可得到CP=CQ，再由角平分线的逆定理可得FC平分7AFB．:AC=DC，CE=CB，LDCA=60o，7ECB=60o，丫LDCA=LECB=60o，:LDCA+LDCE=LECB+LDCE，7ACE=7DCB，\△ACE≌△DCB\AE=BD；（2）由（1）得，△ACE≌△DCB，\LCAM=LCDN，丫LACD=LECB=60o，而A、C、B三\LDCN=60o，在△ACM与△DCN中，\△ACM≌△DCN(ASA)\MC=NC，\△MCN为等边三角形，\LNMC=LDCN=60o，\LNMC=LDCA，\MN聂AB．丫△ACE≌△DCB，\S△ACE=S△DCB，\PC=CQ，::LAFC=LBFC，∴FC平分LAFB．AC=BC，CE=CD，AC>CE，点A、D、E在同一直线上，AD交CB于点F，连接BD．(1)若LACB=LECD=60o，则LADB的度数为；（2）同（1）可知△ACE≌△BCD，得到A明△ACF≌△BCH(ASA)，得到CF=CH，利用线段之间的和差关系和等量代换，即可得出结论．∴LACE=LDCB=60o-LECF，∴△ACE≌△BCD，△ECD为等边三角形，∴LBDC=LAEC=180o-LCED=1∴LADB=LCDB-LCDE=60o；∴LDCB=LDBC，∴LBCH=90o，LCED=LCDE=45o，∵LH+LCBH=90o，LHCD+LDCB=90o，∴LH=LHCD，同（1）法可得：△ACE≌△BCD，∴LADB=LCDB-LCDE=90o，∵LACF=LADB=90o，LAFC=LBFD，∴LCAF=LCBH，∵AC=BC，LACF=LBCH，∵∵AC=BC，∴BC=AB-CF．BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．【猜想证明】请证明1）求证：BE=CD2）求证：△AMN是等边三角形．【类比探究】如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN.请探究：（3）若点N恰好也是AE的中点，且AE=2，求△ABE的面积．【答案】（1【答案】（1）见解析2）见解析3）△ABE的面积为2【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．（1）由等边三角形的的性质得AB=AD,AE=AC,7BAD=7EAC=60o，可推导出7BAE=7DAC，进而证明△BAE≌△DAC，得出BE=CD；（2）由BMBE，DNCD，且BE=CD，证明BM=DN，而AB=AD，7ABM=7AND，可证明△BAM≌△DAN，得7BAM=7DAN，AM=AN，可推导出7MAN=7BAD=60o，则△AMN是等边三角形．（3）由等腰直角三角形的性质得AB=AD,AE=AC,7BAD=7EAC=90o，可推导出7BAE=7DAC，进而证明△BAE≌△DAC，得BE=CD，∠ABE=∠ADC，而BMBE，DNCD，所以BM=CD，可证明△BAM≌△DAN，得7BAM=7DAN，AM=AN，推导出7MAN=7BAD=90o，因为AE=2，点N是AE的中点，所以AM=AN=EN=1，则S△AMNAMgAN，所以S△AEM=2SAMN=1，S△ABE=2S△AEM=2．:AB=AD，AE=AC，7BAD=7EAC=60o，在△BAE和△DAC中，:△BAE≌△DAC(SAS)，（2）证明：丫点M，N分别是BE，CD的中点，：BM=BE，DNCD，：BM=DN，在△BAM和△DAN中，:△BAM≌△DAN(SAS)，：LBAM=LDAN，AM=AN，：LMAN=LDAN+LDAM=LBAM+LDAM=LBAD=60o，:△AMN是等边三角形．：LBAE=LDAC=90o+LDAE，在△BAE和△DAC中，:△BAE≌△DAC(SAS)，::BE=CD，LABE=LADC，丫点M，N分别是BE，CD的中点，:BM=DN，在△BAM和△DAN中，:△BAM≌△DAN(SAS)，:LBAM=LDAN，AM=AN，:LMAN=LDAN+LDAM=LBAM+LDAM=LBAD=90o，丫AE=2，且点N也是AE的中点，丫AE=2AN，BE=2EM，:S△ABE=2S△AEM=2×1:△ABE的面积为2．两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一(1)如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，LBAC=LDAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边【答案】【答案】(1)△AEC，BD=CE(2)BD=CE且BD丄CE，理由见解析(3)BE=CD，LPBC+LPCB=60O【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的（3）由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60O，利用等式的性质得到LDAC=LBAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE得BE=DC，LADC=LABE，求出LBPC=120O，即可求出LPBC+LPCB的度数．∴LDAE+LBAE=LBAC+LBAE．∴LDAB=LEAC，故答案为：△AEC，BD=CE；∴LDAE+LBAE=LBAC+LBAE．∴∴LDAB=LEAC，∴BD=CE，LDBA=LECA，∵LECA+LECB+LABC=90o，∴LDBA+LECB+LABC=90o，即LDBC+LECB=90o，综上所述：BD=CE且BD丄:AD=AB，AE=AC，LDAB=LEAC=LAEC=LACE=60o，:LDAB+LBAC=LEAC+LBAC，即LDAC=LBAE，在△DAC和△BAE中，:△DAC≌△BAE(SAS)；:BE=DC，LADC=LABE，∴LBPC=LDBP+LBDP=LDBA+LABE+LBDP=LDBA+LADC+LBDP162024·黑龙江·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图①,若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD；【类比探究】如图②,若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并直接写出这【问题解决】在CD上截取CH=CE，连接EH，易证△CEH是等边三角形，得出EH=EC=CH，证明△DEH丝△FEC(SAS)，得出DH=CF，即可得出结论；为等边三角形，则DG=CD=CG，证明△EGD丝△FCD(SAS)，得出EG=FC，即可得出CF-CE=CD．【详解】解：【问题解决】如图①,在CD上截取CH=CE，连接EH，如图所示：∴EH=EC=CH，LCEH=60o∴DE=FE，LDEF=60o，∴LDEH+LHEF=LFEC+LHEF=60o，∴LDEH=LFEC，∴△DEH≌△FEC，【类比探究】CF-CE=CD；理由见如下：过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图∴LEDG=LFDC，即CF-CE=CD．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与1723-24七年级下·广东深圳·期末）等边三角形和等腰直角三角形是我们熟悉的特殊三角形．数学课上，已知线段AB，点C是平面内一动点，且AB=AC，连接BC，点D在BC右侧，且BC=BD,LCBD=90o，连接CD、AD,AD交BC于点E．【答案】（1【答案】（1）152）AD=BF+2DF，理由见解析3）DE的长为4根据AH+HD≥AD，得到当A、H、D三点共线时，AD取得最大值，根据题意，得LHBD=LHDB，证明LEBH=LHEB，继而得到HE=HB=HD=2，解答即可．∴等边三角形ABC，（2）线段AD与2DF+BF之间的数量关系为：AD=BF+2DF．理由如下：∵LCBD=90o，LCBD的角平分线BF交AD于F，∴LABH=90o-LCBH=LHBD，故当A、H、D三点共线时，AD取得最大值，根据题意，得LHBD=LHDB，∴LEBH=LHEB，∴HE=HB=HD=2，∴当AD最长时，DE=HE+HD=4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形不等式求最值，熟练掌握等边18