2025-2026月考试卷8年级（数学）全等三角形证明题常考辅助线分类训练（解析版）

1 14 34 53 72N．【答案】【答案】(1)见详解【分析】本题主要考查了三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形2．如图是小勇制作的风筝，他根据DE=DF在△DEH和△DFH中，【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有LCAD=LBAD=45°,AD=BD=CD，而LB=LC=45°,所以LB=LDAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED兰△AFD，从而得出DE=DF，LBDE=LADF，从而得出LEDF=90°,即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF兰△DBE.得出FD=ED,LFDA=LEDB,再算出LEDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解1）连结AD,∴LB=LBAD=LDAC=45°,∴△BDE兰△ADF（SAS）,∴ED=FD,LBDE=LADF,∴LEDF=LEDA+LADF=LEDA+LBDE=LBDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.:△DAF兰△DBE（SAS）,：LEDF=LEDB+LFDB=LFDA+LFDB=LADB=90°.:△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形(2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转【答案】【答案】(1)△BCD的面积是(2)①说明见解析；②在此条件下重叠部【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和三角形全等．熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和三角形全等．熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的（3）证明过程类似（2根据（2）中的结论，可以直接写出．(2)如图2，若“=90°,连接EC、BE．试判断△BCE的形状，并(2)△BCE是直角三角形，理由见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质．【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质．（1）根据题意证明△ADE是等边三角形，再结合等边三角形的性质，即可得LADE的度数．根据题意证明（2）连接DE，根据题意得出△ABC，△ADE是等腰直角三角形，证明△ABD兰△ACE，可得LBCE=LACB+LACE，即可证明△BCE是直角三角形．:△ADE是等边三角形，:△:△ABD兰△ACE(SAS)，:△BCE是直角三角形．（2）如图②,图③,线段EF、AE、CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.（2）按（1）中的方法，连接OC，证明△AOE兰△OCF，即可得出结论:△AOE兰△OCF（AAS）（2）如图②,连接OC，:△AOE兰△OCF（AAS）7．如图，已知△ABC中，AB＝AC，LBAC＝90°,直角LEPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；（3）求证：LFEA＋LPFC＝45°;【答案】（1【答案】（1）见解析2）见解析3）见解析4）见解析．,,：LEBP=LFAP,,,：LEPB+LBPF=LBPF+LFPA,：LEPB=LFPA,在△EPB和△FPA中：:△EPB兰△FPA（ASA）,:△EPF是等腰直角三角形．（3）如图，连接EF,：LAFP=LBEP：LFEP=LFEA+LBEP=LFEA+LPFC=45°：S△EPB=S△FPA△PFC－S△PBE＝S△PFC－S△FPA=S△APC：S△APC=S△ABC．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质等点P在AC的延长线上，得△DCP与△DBE全等时，点E在CB的延长线上，此时CP=BE，然后根据点E，的值．在△CDE和△ADF中， 在△CBF和△GEB中，LFCB=LBGELCBF=LGEB， 在△CBF和△GEB中， 在△CBF和△GEB中，LFCB=LBGELCBF=LGEB，（1）由LCBA=LAED=LBAD=90°,得L1+L2=L2+LD=90°,则L1=LD，而AB=DA，即可证），在△PFN和△PED中，LMFP=LDEFLFPN=LEPDAE．在△AFD和△EAC中，在△FDG和△BCG中，由（12）知：△ADF兰△ECA，△GDF兰△GCB，【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定在Rt△BCE和Rt△BDF中，在△ABC和△ABD中，LCB,即点A在LEBF的平分线上．在Rt△AED和Rt△AFC中，,,在△ABC和△ABD中，LAD,【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质在△AHE与△DCA中【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形在△AGF与△ECA中，【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的【答案】证明见解析.22在Rt△ACB和Rt△EGA中:△ACB兰△EGA(HL)，在△ADF和△GEF中，:△ADF兰△GEF，【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.所以LACE+LACB+LCBF=LABF+LACB+LCBF=90°,所以LCMB=90°,即BF丄CE.：LCAE=LEAF+LFAC=LBAC+LFAC，在△ABF和△ACE中:△ABF兰△ACE(SAS).【答案】LACB=90°.和等腰直角三角形的性质即可求得答案.在△AOM与△OBN中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，难点是作出辅则有LDFB=LCGB=LCGA=90°,【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角19．如图，△ABC中，AB=AC,在AB求证：DE=DF．只需要再证一组边对应相等，根据已知条件又LACB=LFCH，在△DBE和△DHF中，LB=LFHCBE=HF,LBED=LHFD【答案】6惠LCDO=LA=LACB=LABC=60°,丫LFOB+LBOE=LEOF=120°,LDOF+LFOB=LBOD在在△DOF和△BOE中，:△DOF兰△BOE（ASA（2）求证：BF//AC；【答案】（1【答案】（1）△AEG是等边三角形，理由见解析2）证明见解），的性质可得LAEG=LABC=60°,然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根据等边三角形的性质可得AC=BC,CE=CF,LACB=LECF=60°,从而可得LACE=LBCF，再根据三角形全等的判定定理与性质可得LCBF=LCAE=60°,从而可得LCBF=LACB，然后根据平行线的（3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得LDAE=LEBF,AE=BF，再根据等腰三角形的性质可得LD=LACE，从而可得LD=LBCF，然后根据三角形的内角和定理可得LBEF=LBCF=LD，最后根据:△AEG是等边三角形；在△ACE和△BCF中，LACF，:△ACE兰△BCF(SAS)，：LDAE=LEBF，AE=BF，由（2）已证：LACE=LBCF，在△BEF中，LBEF=180°__LEBC__LCBF__LBFE=120°__LCBF__LB：LBEF=LBCF=LD，在△ADE和BEF中，F，:△ADE兰BEF(AAS)，【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与形的性质等知识点，较难的是题（3正确找出两个三角形全等的条【答案】(1)【答案】(1)=得到LD=LBED，则BD=BE，证得AE=DB；△DEB兰△ECF，得到BD=EF=AE，进而证得猜想:△CDE是等腰三角形，:△AEF是等边三角形．在△DEB和△ECF中:△DEB兰△ECF(AAS)．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全:△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．在△PDF和△QDC中:△PDF兰△QDC（AAS在△PFD和△QCD中24．已知在等腰△ABC中，AB=AC(1)如图（1当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数1(3)MD=2ME1△DBM兰△EFM，接着利用全等三角形的性质△DBM兰△EFM，接着利用全等三角形的性质证明：过点E作EF//AB交BC于点F，在△DBM和△EFM中在△DBM和△EFM中丫LDBM=LEFM，LDMB=LEMF惠△DBM△EFM，【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判25．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，【答案】【答案】(1)详见解析=DQ；:△APF是等边三角形，在△DPF和△DQC中，c，:△DPF兰△DQC（AAS可得AE＝EF，由（1）知，△DPF兰△DQC【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查的是等边三角形的判定与性质，全等【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查的是等边三角形的判定与性质，全等(2)在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE:△APF是等边三角形，连结CE．已知E为DF中点，LBEC=LF．【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，（1）根据线段中点的定义得到DE=FE，等量代换得到LBEF=LBCE，求得LBEF+LBEC=90°,即：LBEF=LBCE，在△CDE和△CFE中，【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．LCAD=LG．由AE=EF，可得LCAD=LEFA，结合LBFG=LEFA，得到LBFG=LG，即可求解．30．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键【详解】证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM在△CFE和△BME中FE=MELCEF=LBEM①请在图中通过作辅助线构造△BPE，并证明BE=OD．【答案】(1)见解析【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与【详解】解1）如图①,延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，如图③,延长AE，DF交于点G，在△ABE和△GCE中，与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助②如图2，当A、E、D不在同一直线上时，点F是BD的中点，连接EF，求LAEF；(2)如图3，当B、C、D不在一条直线上时，且BC≠CD，连接BD，点F是BD的中(2)LAEF=60°②延长EF至G，使GF=EF，证△BGF兰△虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把同（1）得：△ABD兰△CED，:△BCE兰△NBM(SAS)，【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边【答案】(1)证明见解析②延长CF至点P，使PF=CF，连接BP，延长FC交AD于点M，根据条件证理由:如图，延长CF至点P，使PF=CF，连接BP，延长FC交AD于点M，在△BFP和△EFC中，:△BFP兰△EFC(SAS):△ABD兰△ECD(1)若LBED=60O,LBAD=40°,求LBAF的度数．:△ADB兰△KDC，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础【答案】【答案】(1)证明见解析此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正由（由（2）可知：LABC=45°,即L2+L3=45°,小明的解题思路：先证明△ABE兰；再证明了△AEF兰，即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为EF=BE+FD．(3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量【答案】(1)【答案】(1)图见解析，△ADG,△AGF本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补解题思路为先证明△ABE兰△ADG，再证明△AEF兰△AGF，即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为EF=BE+FD；惠（2分类讨论：①点F在线段CE的延长线上时，由（1）可知BD=CE，LB=LACE，LADB=LAEC， 在△ABD和△ACE中，理由如下：延长EF到点G，使FG=EF．由（1）可知：△ABD兰△ACE，由（由（1）可知：△ABD兰△ACE，【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等【答案】EF【答案】EF=BE+FC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定(1)如图1，当120°<LBAC<180°,且△A①求证：LFEA=LFCA；②猜想线段FE、FA、FB之间的数量关系，并证明你的结论．(2)当60°<LBAC<120°,且△ACE与△ABC在直线AC的同侧时，利用图2探究线段FE、FA、FB之间的【答案】【答案】(1)①见解析；②EF=BF__AF，理由见解析证△ABF兰△ACF，可得LABF=LACF，则结论可得；②先证△AFH是等边三角形，由AAS可证△ABH兰△AEF，可得EF=BH，可得结论；（2）先证△AFH是等边三角形，由AAS可证△ABF兰△AEH，可得BF=EH，可得结论．:△ABF兰△ACF（SSS:△AFH是等边三角形，:△ABH兰△AEF（AAS），:△ABF兰△ACF（SSS:△AFH是等边三角形，:△ABF兰△AEH（AAS），【答