考研数学二（线性代数）模拟试卷5

考研数学二(线性代数)模拟试卷5

一、选择题(本题共5题，每题L0分，共5分。)

1、n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B,则().

IAI—

A、D

—

Al—

B、B

若

I则B

C、|=0

若

I=0则B

D、>0|>0

标准答案：C

知识点解析：因为A经过若干次初等变换化为B,所以存在初等矩阵P]…，P”

Qi，...Q(,使得B=PS..PIAQI，而Pi，…，Ps,Qi，Qt,都是可逆矩阵，所

以r(A)=r(B),若IAI=0,即r(A)<n,则r(B)Vn,即IBI=0,选(C)

2、向量组a”a2，...»am线性无关的充分必要条件是().

A、向量组eq,a2，…，ctm，0线性无关

B、存在一组不全为零的常数ki，k2，…,km，使得kiai+k2a2+...+kmam#0

C、向量组ai，。2，…，am的维数大于其个数

D、向量组内，(12，…，am的任意一个部分向量组线性无关

标准答案：D

知识点解析：(A)不对，因为见，。2，…，am，。线性无关可以保证囚，。2，・•・，

am线性无关，但川，a：,...»am,线性无关不能保证eq,g，…，am,。线性无

关：(R)不对,因为由,心・・・・，am线性无关可以保证对任意一组非零常数

k2，...»km,有kiai+k2a2+...+kman/0，但存在一组不全为零的常数k],ki，...»

km使得kiai+k2(X2+...+kmam并不能保证ai，ct2，…，am线性无关;(C)不对,向

量组四，a2,…，am线性无关不能得到其维数大于其个数，如囚=(。)，a24J线

性无关，但其维数等于其个数，选(D)

3、设四，a2为齐次线性方程组AX=0的基础解系，Pi,的为非齐次线性方程组

AX二b的两个不同解，则方程组AX=b的通解为

(AWq+12(q-a)+”.4(B)3a1+居(6：—)+^

;

(C)^,aik2(p].⑴法必♦比(因+图)+'1).

()•/4

A、

B、

c、

D、

标准答案：D

知识点解析：因为囚，川+。2为方程组AX=O的两个线性无关解，也是基础解系，

而2为方程组AX=b的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)

4、设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则().

A、A的n个特征值都是单值

B、A是可逆矩阵

C、A存在n个线性无关的特征向量

D、A一定为n阶实对称矩阵

标准答案：c

知识点脑析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向

量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵

也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其

可对角化的必要条件，选(C)

5、设A,B为三阶矩阵，旦特征值均为2,1,1,以下命题；(1)A〜B；(2)A,B

合同；(3)A,B等价；(4)IAI=IB|中正确的命题个数为().

A1个

、

B2个

、

c3个

、

D4个

、

标准答案：B

知识点解析：因为A,B的特征值为・2,1,1,所以|AI=IB1=2,又因为

r(A)=r(B)=3,所以A,B等价，但A,B不一定相似或合同，选(B)

二、填空题(本题共7题，每题分，共7分。)

6、设三阶矩阵A=(a,yi，丫2)，B=(P，yi，ya),其中a,(3,力，也是三维列向

量，且IAI=3,|BI=4,则I5A-2BI=.

标准答案：63

知识点解析：由5A-2B=(5a,5yi，5y2)-(2仇2yi，2y2)=(5a-2p,3yi，3y2)，得I

5A-2BI=I5a-2p,3yi，3y2I=9I5a-2p,yi，72I=9(5Ia,yi，72I-2Ip»yi»

Y2I)=63

7、设a=(l,-1,2),，p=(2,1,1)，,A=apT,则A”二

211

-2-1-1

标准答案：3nJ422

知识点解析：pTa=3,A2=apT.apT=3apT=3A,则.非与小么与11/422

8、设A为三阶矩阵，且IAI=3,则I(-2A)*I=.

标准答案：576

知识点解析:因为(-2A)*=(-2)2A*=4A*,所以I(-2A)*|=|4A*I=43IA|

-=64x9=576.

9、设三阶矩阵A,B满足关系A」BA=6A+BA,且A=°°4,则

B=.

标准答案：1

知识点解析：由A"=6A+BA,得A/B=6E+B,于是(A」-E)B=6E,B=6(A',-E)-,=

10、设I-1，Q3J线性相关，则a=.

标准答案：5/3

知识点解析：ai，(X2，线性相关的充分必要条件是Iai，(X2，a.3I=

111

20—1=0,从而a=^

—1a3

工

i+2x?—2X3=0

3xi-xj-f-ALTS-0

11、设B，O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组3»+*?-八=0的解,

则k=,IBI=.

标准答案：1,0

2-2

-1k

知识点解析：令231-1J,因为B的列向量为方程组的解且B#)，所以

AB=O且方程组有非零解，故IAI=0,解得k=l.因为AB=O,所以r(A)+r(B)S3

且r(A巨1,于是r(B)S2<3,故IBI=0.

12、设A是三阶实为i阵，其特征值为人尸3,5M=5,且勾=3对应的线性无

0

1

关的特征向量为ai=,则>2=入3=5对应的线性无关的特征向量为_______.

0]1

a?=1•\_0

标准答案：10'1

知识点解析：因为实对祢矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令入2=入3=5对应的

特征向量为工3得大2=入3=5对应的线性无关的特征向量为

0]1

a2~I•dj0

0j1

三、解答题（本题共75题,每题1.0分，共万分。）

111][100

2-10210

设A=10102】.求

13、I-2BI；

标准答案：I-2BI=(-2)3|BI=-8；

知识点解析：暂无解析

14、AB-BA.

33II11220

AB=0-I0=412，则AB-ai=-4-2-2

标准答案：1215-21-440

知识点解析：暂无解析

15、设向量组ai，（X2,013线性无关,证明：ai+a2+ci3>ai+2a2+3a3，ai+4a2+9a3线

性无关.

标准答案：令k|（ai+a2+a3）+k2（ai+2a2+3a3）+k3（ai+4a2+9口3）=0，即

(k]+k2+k3)ai+(k|+2k2+妹3)a2+(k]+3k2+9k3)a3=0，因为⑴，a2，(13线性无关，所以

鬲+期+比3=。111

〈自+2k+4网=0D=124=JI(i-j)=2/0

有0+3&+9的=0而139,由克拉默法则

得k|=k2=k3=0,所以ai+a2+a3，ai+2a2+3a3，ai+4a2+9a3线性无关.故

ai+a2+a3，ai+2a2+3as，ai+4a2+9。3线性无关.

知识点解析：暂无解析

16、设Ct],a2，…，Ctm»Pl>,Bn线性无而问里组Cl|,（X2，・・.，ClnvY

线性相关.

标准答案：因为向量组01],012，…，ttnv01，02'…,0n线性无关，所以向量组

ai,口2，…，am也线性无关，又向量组ai，8，…,an]，Y线性相关，所以向量丫

可由向量组a]，（X2，…，dm线性表示，从而丫可由向量组（XI，（12，…，am，01，

。2，…，Bn线性表小.

知识点解析：暂无解析

17、四元非齐次线性方程组AX=b有三个解向量囚，a2，（X3且r（A）=3,设ai+a2=

Plj3|

77

2（X2+013=4I,求方程组人*4的通解.

标准答案：因为r（A）=3,所以方程组AX=b的通解形式为AX+n,其中《为Ax=0的

一个基础解系，n为方程组人乂力的特解，根据方程组解的结构的性质，

-3

2

&=(ct2+a3)=(ai+a2)=a3-a：=6J,r|=l/2(ai+a2)=-i,所以方程组AX=b的通解为

1

4+

-3-J（k为任意常数）.

6

知识点解析：暂无解析

18、设向量组⑴，az，…，氏为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，

Ap#0.证明：齐次线性方程组BY=0只有零解，其中B=（p,p+ai，p+as）.

标准答案：ai，az，…，as线性无关，因为ApM，所以dp+ai，。十%线性无

关，故方程组BY=0只有零解.

知识点解析：暂无解析

设M为A的特征值.

19、证明：AT与A特征值相等；

标准答案：因为IXE-ATI=I（入E-A）TI=IXE-AI,所以人丁与A的特征值相

等.

知识点解析：暂无解析

20、求A?,A?+2A+3E的特征值;

标准答案：因为Aa=Xoa（（#O）,所以人％=无人€（=瓦%,

（A2+2A+3E）a=（ko2+2Xo+3）a,于是A?,A?+2A+3E的特征值分别为城，

X（）2+2X（）+3.

知识点解析：暂无解析

21、若IAI押，求A/，A*,E-A”的特征值.

la

标准答案：因为IAI=入状2…入i#0，所以及#0，由Aa=X()a得Xoa=a。由

A*Aa=IAIa得A"a=A®,又(E-A")a=(1需)"于是A/，A*,E-A”的特征

.l.iAJ及i—

值分别为九人。反幼

知识点解析：暂无解析

22、设非零n维列向量a,[3正交且A=a(f.证明：A不可以相似对角化.

标准答案：令大为矩阵A的特征值，X为入所对应的特征向量，则AX6X,显然

A2X=X2X,因为a,0正交，所以人2=。/.apT=O,于是#X=0,而X#),故矩阵A

的特征值为加=入2『..=入n=0.又由a，P都是非零向量得AWO,因为r(OE-

A)=r(A)>l,所以n-r(OE-A)Wn・l

知识点解析：暂无解析

-102

a1I

设人=*。。有三个线性无关的特征向量.

23、求a；

A+1o-2

-aA-l-1

标准答案：由I入E-AI=7。A=(九十2)("-二0得矩阵A的特征值为入1=2,

九2-九3=1，因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化，从而r(E-

20-20

—a0-1o0□-1

A)=l,由E-A=T。100。得a=-l.

知识点解析：暂无解析

24、求A的特征向量；

标准答案：将★尸・2代入QE-A)X=0,即(2E+A)X=0,由2E+A=-

1021o102-