考研数学二（解答题）模拟试卷316

考研数学二（解答题）模拟试卷316

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

2+3si112

limEH

1、求一“1+e—

标准答案：i；

知识点解析：暂无解析

（Z、+工）U

2、求f（»=（/-Darctanx"的间断点并分类.

标准答藁：%=—1、%=0、/=1、％=2为f（%）的间断点，由

lim/（x）=lim-尸）。——图

一一1-1（x-Darctanx得3=_】为第二类间断点，由

lim/（x）=lim--——•J占=—

一。x^oarctarrrx-1得％=0为可去间断点，

limlim

由11取）=8得x=l为第二类间断点，由£（2+0）=-2+可必=+8得/=2为第二

类间断点.

知识点解析：暂无解析

3、设yfi/x+cos’x,求严）。

标准答案：LW+（…呜）

知识点解析：暂无解析

1,2,…），证明：lim/

4、设ai=2,存在并求其极限值.

标准答案：

因为如=/但+>2.%・=1，所以有下界.

下面再证明脑力单调递减.'=2「%)=4(14-^)<4-(1+1)=1.

ana.Z\a;/Z

即j<a.,所以lima1t存在.

令lima.=A.代人lim=lim](a”+!),有A=+=1,A=-1(舍去).

ir-*cuir-*«4\QJJ/4\/1/

知识点解析：暂无解析

5、设f(x)在(-8,+8)上是导数连续的有界函数，|f(x)-f(x)|<l.证明:|f(x)|<l.

标准答案：因为f(x)有界，所以加/'八")=°.于是b曲)|一°斗巧小忖]出，

xx+xx

即一葭。)=/0一e*[fix)-r(x)]dx,两边取绝对值得e-|f(x)|<fxe'|f(x)-

+<o_x_x

f(x)|dx<fxedx=e,故|f(x)|Wl.

知识点解析：暂无解析

6、设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且®f(x)dx=A,,求JoidxJ(/f(x)f(y)dy。

标准答案：交换积分次序可得Jo1dxfx1f(x)f(y)dy=fo1dyfoyf(x)f(y)dx

=fo，dxf()xf(y)f(x)dy,因此，可得

(dx[/(z)/(y)dy=dx^/(z)/(y)dy+dx^/(x)/(y)dy]

2

=y^/CxJdx・(/(%)打=y40

知识点解析：暂无解析

7、在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总

人数为N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为xo,在任意时刻t已掌握新技术的

人数为x⑴(将x⑴视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新

技术人数之积成正比，比例常数k>0,求Nt).

标准答案："—N—io+ioe.；

知识点解析•：暂无解析

-1bb~

b1-b

A=••

••

8、设n阶矩阵Lfcb…1」(1)求A的特征值和特征向量:；(2)求可逆

矩阵P,使P“AP为对角矩阵.

A-1―b•••一b

—6人一1•••一b

•••

•••

标准答案：(1)1。当b，0时，I入E-AI=-6-6…A-l=[X_|_(n

一l)b]仄一(l-b)//故A的特征值为Q=l+(n-Db,A，2=...=Xn=l-b.对于斯

=l+(n-l)b,设对应的一个特征向量为。i，则

rlbb-

b1b

•••

••♦•

-bb-1J解得。=（1,1,…，1）\所以，属于

加的全部特征向量为kq=k（l,I,…，1）二其中k为任意非零常数.对于近

=...=Xn=l-b,解齐次线性方程组[(l-b)E-A]%=0,由

b-b•••_6]r11

-b-b•••一b000

•••

♦•*••••■

i」Lo0°」解得基础解系为々

j-b-b

=(1,—1,0,...»0)T,13=(1，0,—i,...»0)T,..0,0,...»—

1）T.故属于九2=3=猫的全部特征向量为k212+k3^3+…+kn&],其中k2,

k3，…，kn为不全为零的任意常数.2。当b=0时，A=E.A的特征值为为=入2…

=Xn=l,任意n维非零列向量均是特征向量.（2）1。当b#）时，A有，n个线性无

关的特征向量,令矩阵P=囱/…。]，则有p"AP=diag（l+（n—l）b,1-

b,…，1-b）.2。当b=0时，A=E,对任意n阶可逆矩阵P,均有P“AP=E.

知识点解析：暂无解析

求下列积分。

9、设f(x)=/ixe-y2,求Jo】x2f(x)dx；

标准答案：

xf(X)dx=/(/(])&=yx3/(x)-y^x5df(x)

=-&=9口&"=/3叱-

=K+*“(=看(孑—6

知识点解析：暂无解析

10、设函数f(x)在[0,1]连续目Ji2f(x)dx=A,求Jo&Jx"(x)f(y)dy。

标准答案：令①(X尸J/f(y)dy,则①，(X尸一心)，于是

-y02(x)|0=

Jo1dxfx1f(x)f(y)dy=Jo।'f(y)dy]f(x)dx=-Jo16(x)d①(x)=

知识点解析：暂无解析

ITisinG十力

11、求I=电+♦dxdy,其中D={(x,y)Ix2+y2<l,x>0,y>0}.

1二『空唯上dzdy=『c。皿f'rsin^dr=Prsin/dr=

标准答案：Bf)J°J°J°2

知识点解析：暂无解析

[-d(a>0)

12、计算％/2a-欠,其中D是由圆心在点(a,a)、半径为a且与坐标轴

相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域.

标准答案：由于圆的方程为:(x-a)2+(y-a)2=a2,区域D的边界所涉及的圆弧为y=a-

42QK-£,所以

gy2a-x'0/2a-J0'0y/2a-x

=/；(^T-^)dx=(-2°=

知识点解析：暂无解析

-10・・・0

a2x—10

D=aj0x…0

••••

••••

13、计算n阶行列式1400x

Fxi..

标准答案：对第一列展开：D=»•>aiAii=(-1)1%iM“.Mii=其中G1是一个对

角线元素都是・1的i-1阶下三角矩阵，坨是一个对角线元素都是x的n・i阶上三角

矩阵,于是M『lGil|出|=(-1尸x*.代入得D=aixn”.

知识点解析：暂无解析

14、设向量组四，…，如为两两正交的非零向量组，证明：⑴，…，斯线性无

关，举例说明逆命题不成立.

标准答案:令kiai+…+%斯=0,由ai，…，向两两正交及(ai，kiai+...4-knan)=0,

得k](aia])=0,而(aiai)=IaiI2>0,于是如=0,同理可证k2—.=kn=0,故

ai，…，an线性无关.令ai=(J。2=(-2),显然a1，a2线性无关，但ai，012不正

交.

知识点解析：暂无解析

15、设3阶矩阵A的特征值人］=1,入2=2,13=3对应的特征向量依次为a1=(1,

1,1)T,(12=(1,2,4)T,(X3=(l,3,9)T.(I)将向量B=(L1,3)T用ai，g,

(X3线性表出；(口)求A、.

ZJ+x2+%3=1,

勺+Z

2X2+33=1,=

标准答案：(I)设Xiai+X20t2+X3a3=P，即I%I+4町'%-3力=

2,/2=-2,%3=1故p=2ai—2口2+。3.(II)Ap=2Acq—2Act2+Aa3，则Anp=

■2-2-1+3n-

2_2n*2+3n”.

nnnnn223+3*2

2Aaj-2Aa2+Aa3=2ai-2,2a2+3a3=-"**

知识点解析：暂无解析

16、设A为3阶矩阵，川，a2,。3是线性的无关3维列向量组，满足Aai=ai+

2a2+2013,Aa2=2ai+。2+2。3，Aa3=2ai+2a2+(13.(1)求A的特征值.(2)判断

A是否相似于对角矩阵？

标准答案：(1)用矩阵分解：A(a),a2，a3)=(ai+2a2+2a3,2ai+a2+2a3,2ai+

122-

212

2a2+a3)=(ai，012,ct3)B,这里B=L221I」从a,a,a线性无关的条件知

道，(a,a,a)是可逆矩阵.于是A相似于B.(1)

22'■2221r2221

B=212222-E.222

」的秩为其特征值为

•221--222--222I,0,0,

6.得B的征值为-1,一1,5.则A的征值也为一I,-1,5.(2)B是实对称矩

阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A也相似于对角矩阵.

知识点解析：暂无解析

17、设函数f(x)在x=l的某邻域内有定义，且满足If(x)・2ex|S(x・l)2,研究函数

f(x)在X=1处的可导性.

标准答案：把X=1代入不等式中，得f(l)=2e.当存1时，不等式两边同除以1h

o44)二2后」||n_—0

IX-1ILl1一1

而所^^=。"所「四匕抖十丝与卜glimg4m=2匕

1|,得IJ--1iLx—1x-1J1x—1

知识点解析：暂无解析

18、设A,B分别为mxn及nxs阶矩阵，且AB=O.证明：r(A)+r(B)Sn.

标准答案：令B=(|3i，的，…，氏)，因为AB=O,所以B的列向量组仇，

的，…，氏为方程组AX=O的一组解，而方程组AX=O的基础解系所含的线性无

关的解向量的个数为n—r(A),所以向量组例，…，仇的秩不超过n—r(A),又

因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)Sn—r(A),即，r(A)+r(B)<n.

知识点解析：暂无解析

19、由方程个2+听确定的函数z二z(x,