考研数学二（解答题）模拟试卷326

考研数学二（解答题）模拟试卷326

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

/sin]

lim

+1

1求

x2sin^1

sin一

limvlim-x-•—--x

l+b，4,+1i8，4丁2+12.

x

L

，仃+12,

标准答案：

知识点解析：暂无解析

求Iim(sin3z+e2』)而"

2、j-*0

Iim(sin3i++)-=]im{[l+(sin3]+e〃-l)]*"1'—}**77

标准答案：

知识点解析：暂无解析

_2__________

1+-z---+-

lim---------j—；----.

3、(COSJT-ex)sinx2

标准答案：由

\J\+J?=(1+/)+=1+-i-X2---1-X*+0(/)f

4O

xis

COSX=1-yr=1+Jr?+O(J*?)得当JT0时.»COSX—C，-------»

乙

14-^—+1t+oGr，)1

I•o

故lim—乙_r——也——二—12-

i°(COSJ*-e')siny

F

知识点解析：暂无解析

lim.、

4、设**°(x-'sin3/4-a/'~+b)=0,求a,b.

Iim(x-3sin3x+ar-2+6)=.包业土竽土丝

标准答案：L。L。%由麦克

(3工>9_

33

劳林公式得sin3%=3%—3!+O(%3)=3%—2Z+0(Z),于是sin3《+a%+b/=(3

a=-3,

911nlsin3z+az+/<g_2

+a)%+(b-24+0(%3)而L°z*=0,所以12

知识点解析：暂无解析

5、设ai，a2,...»as是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关.

标准答案:方法一用定义.设c1a1+C2«2+...+csas=0,对每个i,ciIIaiII=（出，

c।a।+C2a2+...+csas）=0,而IIaII#0,于是5=0.方法二计算秩.以ai，C2，…,

as为列向量组构造矩阵A=（ai，a2，…，as）,则由例3.50的结果，A,A是对角矩

阵，并且对角线上的元素依次为IIaiII2,||a2II2,…,IIasII2,它们都不为

0.丁是r（ai，（12，...»as）=r（A）=r（ATA）=S,从而川，g,...»痣线性无关.

知识点解析：暂无解析

RI2R2

6、设总体X服从N（，a）,Y服从N（2，o）,又Xi，X2,...»Xn和Yi，

Y2,Yn分别为取自总体X和Y的简单随机样本.求

标准答案:

由

于

>"2

\2

n(Y,-F)=(%-1周，

于是£(£(%-4)=(„,-1)E(S;)=3-l)a2.

=(%T)E⑸)=(%—)/.

"I_*a

y(X,-f)2+y(1；-F)2,„,

fr

故[-小名----卜齐(小油

_(%-I-+(n?-1)『

nI+n2-2

知识点解析：暂无解析

7、设A是n阶非零实矩阵，A*是A的伴随矩阵，.d是A的转置矩阵，如果

AT=A*,证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出.

标准答案：因为A*=AT,按定义有Aij=aij(Vi,j=l,2,n),其中Aij是行列

式IAI中aij的代数余子式.由于AM，不妨设a”#),那么|A|

222

=aiiAii+ai2Ai2+...+ainA]n=aii+ai2+...+ain/0.于是A=(ai，012，…，的)的n个

列向量线性无关.那么对任一n维列向量0,恒有ai，a2,…，an,0线性相

关.因此p必可由ai，由，…，叫】线性表出.

知识点解析：暂无解析

Ibb

bI-b

•••9

•♦•・••・•

8、n阶矩阵b…I」，求A的特征值和特征向最。

A-1―b—b

-bA-I-6

••♦♦

•••••••

标准答案：矩阵A的特征多项式为I入E—Al二--b…A-1=[X-1

—(n—l)b][X—(1—b)]n,,则A的特征值为l+(n-l)b和I—b(n—1重)。①当

b=0时，A的特征值是l(n重)，任意n维非零列向量均为A的特征向量。②当

b#)时，对方程组[(1+n—l)bE—A]x=O的系数矩阵作初等行变换得

"n-1—1—1-rr00…00-

-nn00-I1…00

—>♦•••—►••••*

-n0•••n0-10…10

--n00n」•-10…01-解得上述方程组

,l)To

的基础解系为日二(1,1,1,..所以A的属于入=l+(n—l)b的全部特征向

量为k&=k(l,1,1,19,其中k/Oo对方程组[(1--b)E—A]x=O的系数矩阵

作初等行变换得L-6-6…-6」Lo0..0J解得上述方程组的基础

4噌R.

在x轴上的投影,K从而得出

dFx〜爷^8sm9.匕*cos女场一笔验sin字.

K2由对称性可知,

12、求微分方程x『，+3y=0的通解.

标准答案：令y=p,则

z翌+3/>—0或乎+—/>=0,

dxdxx

解得/>=G"=*,即:/=§•，则:y=-枭+

知识点解析：暂无解析工

13、求1(j3/arcsin%dx-

11=tmt

3x2arcsiardx=3/sin，d(sin£)=rd(sin3z)

0

丁一「sin,出=［一

oJo，3

标准答案：

知识点解析：暂无解析

14、设A=（cq,a2，…，an）是实矩阵，证明A,A是对角矩阵Oai,。2，…，斯两

两正交.

标准答案：ATA的(i,j)位元素为(四，aj).于是ATA是对角矩阵=当讷时，ATA

的(i,j)位元素为0」当的时，ai，dj正交.ai，。2，…，an两两正交.

知识点解析：暂无解析

ax2+bxy+cx4=0.

az।+x2=0,

bx\♦%3=0，

15、己知a,b,c不全为零，证明方程组'c盯+”4=°只有零解.

标准答案：因为系数行列式

0abe000

a100100

="(a2+b2+c2)#0,

60100I0

c001

001所以齐

次方程组只有零解.

知识点解析：暂无解析

⑹J"，

17dxM

=[-土=ln(2+x2)I=In6-In2=In3.

标准答案：02+X10

知识点解析：暂无解析

17、设A是三阶矩阵，其特征值是1,2,3,若A与B相似，求|B*+El

标准答案：因为A〜B,所以B的特征值为入产1,b=2,13=3,B*的特征值为

网=6,仍1.3,⑻

猫‘入z'=2,B+E的特征值为7,4,3,故IB+EI=84.

知识点解析：暂无解析

18、设有一薄板，其边沿为一抛物线，如图3-6所示，若顶点恰在水面上，试求

压力加倍？

图3-6

标准答案：不难求出抛物线方程为“二看尸则在水下X到x+dx这一小块所受的静压

dP)=x•6

力为所以整块薄板所受到的静压力为

Pt=广dP,=^rCxidx=I920.

6°若板下沉h,此时板受到的静压力为

P2=+xdx=160/i+1920.

要使P2=2P”则h=12.

知识点解析：暂无解析

设二维随机变出(X.Y)的概率密度为

2一1一y,0<rV