考研数学二（高等数学）模拟试卷12

考研数学二(高等数学)模拟试卷12

一、选择题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

1、当x—O时，下列无穷小中，哪个是比其他三个更高阶的无穷小().

A、X?

B、1-cosx

c、

D、x-tanx

标准答案：D

知识点解析：当x-0时，1-cosx〜

y»•/1—?—1---5,因为1^^一-=lim'芋’=-„“甘用―

22inIM3所以x-tanx是比其他二

个无穷小阶数更高的无穷小，选(D)

2、若f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且"sior=l,则下列正确的是().

A、x=0是f(x)的零点

B、(0,f(0))是y=f(x)的拐点

C、x=0是f(x)的极大点

D、x=0是f(x)的极小点

标准答案：D

，(工)

lim

知识点解析:1±1sinr=1得f(0)-0,由1=

=.皿=.为二皿

.3一,(°)得x=0为极小点,

LOsinxuxD•x应选(D)

3、曲线y=x(x-l)(2-x)与X轴所围成的图形面积可表示为().

A^-fo2x(x-l)(2-x)dx

B、fo*x(x-1)(2-x)dx=fi2x(x-1)(2-x)dx

C、-fo!x(x-1)(2-x)dx+J)2x(x-1)(2-x)dx

D、fo2x(x-l)(2-x)dx

标准答案：C

知识点解析：曲线y=x(x・l)(2-x)与x轴的三个交点为x=0,x=l,x=2,当00,所

以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)

二、填空题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

jcosxcLr

4、蚣1；（1+吏=

标准答案：1

JcosxcLr

知识点解析:ln(l+x2)

tanr

标准答案：cotx.sec2x-x2+1

1N

知识点解析：y=lntanx-2ln(x2+l),y,=cotx.sec2x-x2+1

6、设f(x)=ln(2x2・x-l),则视&)=.

标准答案：fI(”T)![(IA)・+殍勒

知识点解析：f(x)=ln[2x+1)(x-1]=ln(2x+1)+ln(x-1),F(x尸]+2xx-1

Er)=(一1尸2・5—1)!I(一

J—(1+2幻-(x-ir

=(—尸(—D![rnfcF+]

farcsinTx.

7、」=

标准答案：(arcsin〃)2+C

[—河―一=f*叁0d(而=2farcsin^d(arcin/?)

J\/x(l-x)2」一工JS

知识点解析：=(arcsinTx)2+C

22

Q「[xln(x4-/rr?)4-(x+D

O•»J-1—____________

标准答案：8

知识点解析：因为ln(x+Jl+?)为奇函数,所以x21n(x+/l+?)为奇函数,

J+—1+上)+(x2+1)\/1—x2Jdx

=£尸4-1)/T^dr=2右/+1)/T^di

=味//r^?dLz+2:〃=?dr.

222z4

而(x\Z1—xdrsinrcoszdr=[(sin2c—sin/)dr=72-74=金

「":¥"=十,所以原式=2乂手+2乂强=字

Jo44168

9、设y=y(x,z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2确定的隐函数，则亦=

2z-L-

标准答案：广阳—2y

知识点解析：F+y+z=x2+y2+z2两边对2求偏导得ex+y+z°+型)=23生+2z,从而

3=2z一产力

美一—大一2y

10、连续函数f(x)满足f(x尸3H(x・t)dt+2,f(x)=.

标准答案：2e3x

知识点解析：由J2"(x-l)dt=Jx°f(u)(-du)=JoXf(u)du得f(x)=3j()Xf(u)du+2,两边对x

求导得P(x)-3f(x)=0,解得f(x尸C，3dx菖已3乂，取x=0得f(0)=2,则C=2,故

f(x)=2e3x.

三、解答题(本题共76题，每题1.0分，共76分。)

.._p.Iimsin(，/+1.)

11>求—「

limsin(/n2IK)=limsin[(+1—〃)TC+

=lim(-lTsin(+1-W)K=lim(-l)"sin丁-----=0.

标准答案：I"

知识点解析：暂无解析

sin6%+=0,求1而驻突

lims

12、若ix•r^OJT

标准答案：

由sinx="一或+o(a?)得sin6x=6z—(合,+。(]3)=6x—36x3+o(x3)

于是由0=lim-361+6工+：(.)+订GO=_36+lim比匕㈡，

IJTx-0JT

得曾§土夕幻=36.

知识点解析：暂无解析

limw?(arctan——arctan-J)

[3、“7g\Z1〃1/

标准答案：令f(x)=arctanx,由微分中值定理得

arctan——arctan七=匚2(:=*其中<?<~

，i〃+114-fn(n1)n4-1n

则lim〃？(arctan工一arctan-7-7)=limzr1,_

一\nn4-I/i1+f〃(打+1)

知识点解析：暂无解析

-p-[jcf(x—/)dz.

14、求业J。

标准答案：

由Jx/(x-4)dr=xJ/(x—l)d/=xj/(u)(—dw)=xJJ(”)d〃得

关J。=JJ(u)d〃+—(1—2x)/(x—x2)].

知识点解析：暂无解札「

ln(l4-3x)4-2ae*,z>0

5arctan7^—F3b(jc4-1)2»x0

15、求常数a,b使得f(x)=11一工=在x=0处可导.

标准答案：因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续，从而有

f(0+0)=2a=f(0)=f(0-0)=3b,

A(0)=lim£(电寸@=limln(l+3x)+2aQ[l)=34.2^

w-T4r

1-^0/r-^3"

2

〃、5arctanT—2-------F36(x4-I)-36

r.(0)=limf⑺二3.=|im------kLZ-----------------=10+66

L。一1Z-2由

Q7,——7

f(x)在x=0处可导，则3+2a=10+6b,解得23

知识点解析：暂无解析

16、设k>0,讨论常数k的取值，使f(x尸xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个

零点及两个零点.

lim/(x)=k,lim/(x)=+8

标准答案：f(x)的定义域为(0,+oo),T-由

111

f(x)=lnx+l=0,得驻点为x=1,由f"(x)=/>0,得x=*为f(x)的极小值点，也为

最小值点，最小值为e⑴当k>e时，函数f(x)在(0,+8)内没有零

点；(2)当k-三时，函数f(x)在(0,48)内有唯一零点x-e(3)当0时，函数f(x)在

(0,+◎内有两个零点，分别位于(°'看)与(彳'+8)内.

知识点解析：暂无解析

17、求J串1dl

ff罟・sec/un/d/=f更应d/

JJTJse(rtJsec/

=J=[seadz-jcoszdz=In|sec/+tan/|-sin/+C

标准答案：

知识点解析：暂无解析

：).一

标准答案：令,工二t.dx=6t5dt,则

J7rh=6(备&=6IT+7d/=sjV一+]一当)出

=2/一3r+6，-6ln(l+Q+C=2右一3方+64-61n(1+力)+C

知识点解析：暂无解析

19、Jo(i+x)ym?

标准答案：

「"sec2冏=f<也

Jo(14-x)+?Jo(1+tan/)secZJosinz+cos/

=%186c《YM-孑)=新|由卜-3)+触(，-利|：。新(1+⑶

知识点解析：暂无解析

「心,

20、计算3(彳一]＞一2f

标准答案：

J3(1—1)4—27J3(1一1)4，(7—1)2—1

=[-^^d/=P(l-sin2/)cos/d/=々一挈

J才sec4tanrJ*oo

知识点解析：暂无解析

21、曲线丫二a・1)9・2)和*轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转

体的体积.

标准答案：取[x,x+dx]CZ[l,2],dv=2jrxI(x-l)(x-2)Idx=-27rx(x-l)(x-2)dx,

X

V=f12dv=-2n!12(x3-3x2+2x)dx=2

知识点解析：暂无解析

w(o,o)

22、设f(x,y)」°，(八山=(°，°)讨论函数《一)在点(0,0)处的连续性与可

偏导性.

标准答案：因为

1_

limf(jr,y)=lim/CxtX2)=痴/(工，V)=lim/Gr,—jr2)

洌—2日I2

，所以

国不存在，故函数f(x,y)在点(0,0)处不连续.因为

limZ<^tO)-/(oto)=0JimZ(0^)-/(Q,0)=0

in1y,所以函数f(x,y)在点(0,0)处

对x,y都可偏导.

知识点解析：暂无解析

三十上+刍

23、求U=x2+y2+/2在。bc=\上的最小值.

2

十+

标准答案：令F=x?+y2+z2+Ma6

A

一

2a

A

2A/

2t

从而x=­；---；----

(±-+-L4-A)从上+1+工)'"=,1±±)'

aa2b2e/十从十(Y+〃+C2

三十2+三

U=x2+y2+z2在abc=i上的最小值为

1,1,1,1x1

m,ntt=71,1\1；•(示+户+J)=T~T-T

(/+"+?)/+

知识点解析：暂无解析

24、计J&JM萨+£吼麻新

标准答案：令D尸{(z,y)Il<x<2,/?<y<x)},D2={(x,y)I2<x<4,/?<y<2},

DI+D2=D={(X,y)Il<y<2,y<x<y2},

则(小唱力+工心嗤力=牺：sin芳dr=一？卜3君力

=T：秒。5刎初=一阮zcos/d/

8/.w-sinzd/)=~3(x4-2).

=----j(

4ts\ntf

知识点解析：暂无解析

25、求微分方程xyM4-2y,